基本图形在竞赛中的应用
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隐藏． 如 图 ｌ ， 加 辅 ０添 助线．
， ，
由图 ７ 因 为 Ａ Ａ 所 以 ， Ｏ上 Ｂ ． ， Ｂ＝ Ｄ， Ａ Ｄ 可解 得 Ｏ Ｆ＝１ ．
所以， Ａ Ｄ的面积为√ △ Ｂ ３。 又Ａ ， Ｅ＝ 故 四 形口 ＝ ４ 边 ＾ Ｄ ２ ３． ｃ 【 】 注 本题叠加了相似三角形与垂径定 理 逆定理 两个不 同类 型 的基 本 图形 ． 例 ４ 如 图 ８ 已知 Ａ ， Ｂ是 ｏ 的直 径 ， ０ Ｂ Ｃ上 Ａ Ｏ Ｂ， Ｃ平 行 于弦 Ａ 过 点 Ｄ 作 Ｄ，
例 ２ 如 图 ２ 在 四边 形 Ａ Ｃ 中 ，Ｃ与 ， ＢＤ Ａ
Ｂ 交 于 点 Ｄ， Ｄ
（） １ 基本 图形结论 的直接应 用 ； （） ２ 基本 图形 的叠加 ；
（） ３ 基本 图形 的 隐藏 ； （） ４ 基本 图形 的叠加 和 隐藏 的综合 ； （） ５ 基本 图形 的构造 ； （） ６ 基本 图形 的演变．
例 １ 如图 １ 工地上竖 立着两根 电线杆 ， Ａ Ｃ 它们 相 距 １ 分 别 自两杆 上 高 出 Ｂ、Ｄ， ５ｍ， 地 面 ４ｍ、 ｌ Ａ、 ６Ｉ 的 Ｃ处 向两侧地面 上的点 Ｅ ｌ 和 Ｄ、 和 Ｆ处 用 钢
（９ ８ 山东 省初 中数学竞赛 ） １９ ，
【 分析】 本题实质是把图 ３ ４的两个基 、
Ｄ Ｅ上 Ａ Ｂ于 点 ， 联
由 Ｏ ／ Ａ 得 Ｍ，Ｈ ， ／
ｏＦ ＨＤ ＯＭ — ＤＡ ’
由 Ｏ ∥Ｈ 得 Ｅ Ａ，
ＯＭ
一
Ａ
一
Ｅ
Ｂ
ＯＥ 一
图 ｌ Ｏ
【 】 个 基 本 注 几
图形进 行叠 加和 隐藏 ， 得 图形复杂 ， 使 难度 较 大 ， 题时要 善于补 形 ， 解 以辨别 相关 的基本 图
只需 证△ ０ Ｐ∽ △ Ｄ 卿 需 证 ＝ Ｆ图 ６及题 意可 得
Ｃ ｊ Ｂ ＝Ａ 曰 Ａ Ｄ．
而 Ｄ 伽 ，Ｉ 尸＝ 贝 需证 ＝ Ｊ
．
Ａ Ａ Ａ ： △ Ａ Ｅｃ Ａ Ａ Ｂ Ｂ ＝ Ｅ・Ｃ Ｂ ｏ Ｃ
ｊ Ａ ＢＥ ＝
注意到 Ｏ Ｍ∥Ａ ， Ｂ ｃ两点 观察 ， Ｄ从 、 其 实是把 两 幅 图 ３形 状 的 图 形 进 行 了 叠 加 和
直线 ｚ Ｂ 且 ／ Ｄ。 ／
与 Ａ ＤＣ Ｂ 、 Ｂ、 、 Ｃ
Ａ 及 Ａ 的 延 Ｄ Ｃ
长 线 分 别 交 于 点 肘、ｒ Ｓ和 Ｊ、 『 、 、 求证 ：
ＰＭ ・ ＰＮ ＝ ＰＲ ・ Ｐｓ．
图２
本 文拟通过 对 几 道例 题 的讲 解 ， 明基 说 本 图形 在解竞赛 题 中的应用．
长且 ，詈＝
关系 是 （ ） ．
．它 内 Ａ 的 则的角 、 Ｂ
Ｂ ， Ｃ＝ 只需 证 出 Ｂ Ｃ＝ｃ 即可． 由 ｏ ＃ Ｆ 而 ｃ
（ Ｂ ＞ Ａ （ ） Ｂ＝２ Ａ Ａ） ２ Ｂ
（ ） Ｂ＜ Ａ （ ） Ｃ ２ Ｄ 不确定
４
中 等 数 学
收 稿 日期 ：００—１ ２ 修 回 日期 ：０ ０—１ ２ １ ０— １ ２１ ２—１ ５
．
同理 ， 由图 ４可得 ＝Ｏ Ｂ
．
２１ ０ １年第 ６期
３
从而 ，Ｍ： Ｒ 即 朋 ・Ⅳ＝ ・ ． 两 Ｐ Ｐ 丽 Ｐ
，
Ａ Ｆ及 Ｏ Ｂ＝Ｏ Ａ可得 Ｂ Ｃ＝Ｃ ． Ｆ
【 把隐藏的基本图形进行补形 ， 注】 再应
Ｈ 则
／ Ａ Ｏｃ Ａ Ａ Ｐ ￣ Ｂ ｇ Ｍ ，
而 Ｏ Ｏ Ａ； Ｂ＝
Ａ ／Ｐ ／ Ｄ Ｂ ／ Ｈ／Ｃ ．
／ ￣ＤＰ ｃ Ａ Ａ Ｈ ｇ Ｄ Ｂ ｊ ＰＨ ． ／
＝ ；
△ Ａ ｏ∽△ Ａ
所以，ｉ ： Ｂ Ｐ 两ｌ ｌ Ｏ
Ｏ 两 Ａ Ｄ＝ Ｏ
．
Ｉ ｃ ＝ ￣ Ｂ ，Ｂ ｔ Ｐｏ Ｃ Ａ ＨＡ Ｄ 器．
２
中 等 数 学
基 本 图 形 在 竞 赛 中 的 应 用
钱 卫 华
（ 浙江省安吉县实验初中 ，１３０ ３ ３０ ）
中 图 分类 号 ： ２ ． ０１３ １ 文 献标 识 码 ： Ａ 文章 编 号 ： ０ ５— ４ ６ ２ １ ）６—００ １０ ６ １ （０ １０ ０ ２—０ ３
（ 本讲 适合初 中）
两式相加可得 ＋ １ ＝ １ 历 两
．
任何一个 复杂 的几何 图形都 是 由几 个简 单 的基本 图形 构成 的 ， 解决 的方式 也 必 定是 围绕这几个 基本 图形 的研 究来 解 决． 本 图 基
形 在竞赛 中的应用具体 有 以下几个方 面 ：
所以， ： ． 朋
本 图形进行 了叠加 ．
Ｂ ０ Ｄ
丝绳拉 紧 ， 以固定 电
线杆． 钢 丝 绳 Ａ 则 Ｄ 与Ｂ Ｃ交 点 Ｐ 离 地
面的高度 为— — ｍ．
图１
图
图 ４
（ ０ ０， 国 初 中数 学 竞 赛 ） ２０ 全
证明
由图 ３可得
解 如 图 １ 过 点 Ｐ作 朋 上 Ｂ 于点 ， Ｄ
用基 本 图形 的有关 结论 是解此 类 问题 的基 本
例 ３ 如 图 ５ 已知 四 边 形 Ａ Ｃ 的外 ， ＢＤ
圆心 、 Ｍ 为半 径 的团上 一点． 证 ： Ｏ 求
一
８
⑧
图７
ＯＰＦ ＝
ＯＥＰ．
（９６， 国初 中数学联 赛 ） １９ 全
【 分析】 容易想到要证 ０ Ｆ＝ Ｏ Ｐ， Ｐ Ｅ
形 综合 解决 问题．
例 ６ 设 ａ ｂ ｃ分 别 是 △ Ａ Ｃ 的 三 边 、、 Ｂ
结Ａ ， Ｄ Ｃ 与 Ｅ交 于点
Ｐ 问 ： Ｐ 与 Ｐ 是 ． Ｅ Ｄ
曰 Ｃ
否 相 等 ？证 明 你 的
结论 ．
图８
（０ ３ 全 国初 中数学 竞赛 ） ２０ ， 【 分析 】 明显 本 题 隐 藏 了图 ３的 基本 很 图形 ， 由此可延 长 Ａ Ｂ Ｄ、 Ｃ交 于 点 Ｆ， 结论 ： 有
（ ０ ０ 全 国初 中数 学竞赛 ） ２０ ， 解 题给 比例式可 化简为
， ，
由图 ７ 因 为 Ａ Ａ 所 以 ， Ｏ上 Ｂ ． ， Ｂ＝ Ｄ， Ａ Ｄ 可解 得 Ｏ Ｆ＝１ ．
所以， Ａ Ｄ的面积为√ △ Ｂ ３。 又Ａ ， Ｅ＝ 故 四 形口 ＝ ４ 边 ＾ Ｄ ２ ３． ｃ 【 】 注 本题叠加了相似三角形与垂径定 理 逆定理 两个不 同类 型 的基 本 图形 ． 例 ４ 如 图 ８ 已知 Ａ ， Ｂ是 ｏ 的直 径 ， ０ Ｂ Ｃ上 Ａ Ｏ Ｂ， Ｃ平 行 于弦 Ａ 过 点 Ｄ 作 Ｄ，
例 ２ 如 图 ２ 在 四边 形 Ａ Ｃ 中 ，Ｃ与 ， ＢＤ Ａ
Ｂ 交 于 点 Ｄ， Ｄ
（） １ 基本 图形结论 的直接应 用 ； （） ２ 基本 图形 的叠加 ；
（） ３ 基本 图形 的 隐藏 ； （） ４ 基本 图形 的叠加 和 隐藏 的综合 ； （） ５ 基本 图形 的构造 ； （） ６ 基本 图形 的演变．
例 １ 如图 １ 工地上竖 立着两根 电线杆 ， Ａ Ｃ 它们 相 距 １ 分 别 自两杆 上 高 出 Ｂ、Ｄ， ５ｍ， 地 面 ４ｍ、 ｌ Ａ、 ６Ｉ 的 Ｃ处 向两侧地面 上的点 Ｅ ｌ 和 Ｄ、 和 Ｆ处 用 钢
（９ ８ 山东 省初 中数学竞赛 ） １９ ，
【 分析】 本题实质是把图 ３ ４的两个基 、
Ｄ Ｅ上 Ａ Ｂ于 点 ， 联
由 Ｏ ／ Ａ 得 Ｍ，Ｈ ， ／
ｏＦ ＨＤ ＯＭ — ＤＡ ’
由 Ｏ ∥Ｈ 得 Ｅ Ａ，
ＯＭ
一
Ａ
一
Ｅ
Ｂ
ＯＥ 一
图 ｌ Ｏ
【 】 个 基 本 注 几
图形进 行叠 加和 隐藏 ， 得 图形复杂 ， 使 难度 较 大 ， 题时要 善于补 形 ， 解 以辨别 相关 的基本 图
只需 证△ ０ Ｐ∽ △ Ｄ 卿 需 证 ＝ Ｆ图 ６及题 意可 得
Ｃ ｊ Ｂ ＝Ａ 曰 Ａ Ｄ．
而 Ｄ 伽 ，Ｉ 尸＝ 贝 需证 ＝ Ｊ
．
Ａ Ａ Ａ ： △ Ａ Ｅｃ Ａ Ａ Ｂ Ｂ ＝ Ｅ・Ｃ Ｂ ｏ Ｃ
ｊ Ａ ＢＥ ＝
注意到 Ｏ Ｍ∥Ａ ， Ｂ ｃ两点 观察 ， Ｄ从 、 其 实是把 两 幅 图 ３形 状 的 图 形 进 行 了 叠 加 和
直线 ｚ Ｂ 且 ／ Ｄ。 ／
与 Ａ ＤＣ Ｂ 、 Ｂ、 、 Ｃ
Ａ 及 Ａ 的 延 Ｄ Ｃ
长 线 分 别 交 于 点 肘、ｒ Ｓ和 Ｊ、 『 、 、 求证 ：
ＰＭ ・ ＰＮ ＝ ＰＲ ・ Ｐｓ．
图２
本 文拟通过 对 几 道例 题 的讲 解 ， 明基 说 本 图形 在解竞赛 题 中的应用．
长且 ，詈＝
关系 是 （ ） ．
．它 内 Ａ 的 则的角 、 Ｂ
Ｂ ， Ｃ＝ 只需 证 出 Ｂ Ｃ＝ｃ 即可． 由 ｏ ＃ Ｆ 而 ｃ
（ Ｂ ＞ Ａ （ ） Ｂ＝２ Ａ Ａ） ２ Ｂ
（ ） Ｂ＜ Ａ （ ） Ｃ ２ Ｄ 不确定
４
中 等 数 学
收 稿 日期 ：００—１ ２ 修 回 日期 ：０ ０—１ ２ １ ０— １ ２１ ２—１ ５
．
同理 ， 由图 ４可得 ＝Ｏ Ｂ
．
２１ ０ １年第 ６期
３
从而 ，Ｍ： Ｒ 即 朋 ・Ⅳ＝ ・ ． 两 Ｐ Ｐ 丽 Ｐ
，
Ａ Ｆ及 Ｏ Ｂ＝Ｏ Ａ可得 Ｂ Ｃ＝Ｃ ． Ｆ
【 把隐藏的基本图形进行补形 ， 注】 再应
Ｈ 则
／ Ａ Ｏｃ Ａ Ａ Ｐ ￣ Ｂ ｇ Ｍ ，
而 Ｏ Ｏ Ａ； Ｂ＝
Ａ ／Ｐ ／ Ｄ Ｂ ／ Ｈ／Ｃ ．
／ ￣ＤＰ ｃ Ａ Ａ Ｈ ｇ Ｄ Ｂ ｊ ＰＨ ． ／
＝ ；
△ Ａ ｏ∽△ Ａ
所以，ｉ ： Ｂ Ｐ 两ｌ ｌ Ｏ
Ｏ 两 Ａ Ｄ＝ Ｏ
．
Ｉ ｃ ＝ ￣ Ｂ ，Ｂ ｔ Ｐｏ Ｃ Ａ ＨＡ Ｄ 器．
２
中 等 数 学
基 本 图 形 在 竞 赛 中 的 应 用
钱 卫 华
（ 浙江省安吉县实验初中 ，１３０ ３ ３０ ）
中 图 分类 号 ： ２ ． ０１３ １ 文 献标 识 码 ： Ａ 文章 编 号 ： ０ ５— ４ ６ ２ １ ）６—００ １０ ６ １ （０ １０ ０ ２—０ ３
（ 本讲 适合初 中）
两式相加可得 ＋ １ ＝ １ 历 两
．
任何一个 复杂 的几何 图形都 是 由几 个简 单 的基本 图形 构成 的 ， 解决 的方式 也 必 定是 围绕这几个 基本 图形 的研 究来 解 决． 本 图 基
形 在竞赛 中的应用具体 有 以下几个方 面 ：
所以， ： ． 朋
本 图形进行 了叠加 ．
Ｂ ０ Ｄ
丝绳拉 紧 ， 以固定 电
线杆． 钢 丝 绳 Ａ 则 Ｄ 与Ｂ Ｃ交 点 Ｐ 离 地
面的高度 为— — ｍ．
图１
图
图 ４
（ ０ ０， 国 初 中数 学 竞 赛 ） ２０ 全
证明
由图 ３可得
解 如 图 １ 过 点 Ｐ作 朋 上 Ｂ 于点 ， Ｄ
用基 本 图形 的有关 结论 是解此 类 问题 的基 本
例 ３ 如 图 ５ 已知 四 边 形 Ａ Ｃ 的外 ， ＢＤ
圆心 、 Ｍ 为半 径 的团上 一点． 证 ： Ｏ 求
一
８
⑧
图７
ＯＰＦ ＝
ＯＥＰ．
（９６， 国初 中数学联 赛 ） １９ 全
【 分析】 容易想到要证 ０ Ｆ＝ Ｏ Ｐ， Ｐ Ｅ
形 综合 解决 问题．
例 ６ 设 ａ ｂ ｃ分 别 是 △ Ａ Ｃ 的 三 边 、、 Ｂ
结Ａ ， Ｄ Ｃ 与 Ｅ交 于点
Ｐ 问 ： Ｐ 与 Ｐ 是 ． Ｅ Ｄ
曰 Ｃ
否 相 等 ？证 明 你 的
结论 ．
图８
（０ ３ 全 国初 中数学 竞赛 ） ２０ ， 【 分析 】 明显 本 题 隐 藏 了图 ３的 基本 很 图形 ， 由此可延 长 Ａ Ｂ Ｄ、 Ｃ交 于 点 Ｆ， 结论 ： 有
（ ０ ０ 全 国初 中数 学竞赛 ） ２０ ， 解 题给 比例式可 化简为