珠山区三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

珠山区三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．已知直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m，l2：2x+（5+m）y=8平行，则实数m的值为（）
A．﹣7 B．﹣1 C．﹣1或﹣7 D．
2．已知集合A={y|y=x2+2x﹣3}，，则有（）
A．A⊆B B．B⊆A C．A=B D．A∩B=φ
3．设M={x|﹣2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，函数f（x）的定义域为M，值域为N，则f（x）的图象可以是（）
A．B．
C．D．
4．执行如图所以的程序框图，如果输入a=5，那么输出n=（）
A．2 B．3 C．4 D．5
5． 若复数满足7
1i i z
+=（为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A ．1 B ．1- C ． D ．i -
6． 命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是（ ）
A ．若α≠
，则tan α≠1 B ．若α=
，则tan α≠1
C ．若tan α≠1，则α≠
D ．若tan α≠1，则α=
7． 执行如图所示的程序框图，若输入的分别为0，1，则输出的
（ ）
A ．4
B ．16
C ．27
D ．36
8． 已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，23cos 2A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（ ） A ．10
B ．9
C ．8
D ．5
9． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）
A ．四棱柱
B ．四棱锥
C ．三棱台
D ．三棱柱
10．若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列结论正确的是（ ） A ．α∥β，l ⊂α，n ⊂β⇒l ∥n B ．α∥β，l ⊂α⇒l ⊥β C ．l ⊥n ，m ⊥n ⇒l ∥m D ．l ⊥α，l ∥β⇒α⊥β
11．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β．直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则（ ） A ．α∥β且l ∥α B ．α⊥β且l ⊥β C ．α与β相交，且交线垂直于l D ．α与β相交，且交线平行于l
12．已知点P （x ，y ）的坐标满足条件，（k 为常数），若z=3x+y 的最大值为8，则k 的值为（ ）
A ．
B ．
C ．﹣6
D ．6
二、填空题
13．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且 仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是 .（注：结果请用数字作答）
【命题意图】本题考查计数原理、排列与组合的应用，同时也渗透了分类讨论的思想，本题综合性强，难度较大.
14．已知点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，M ，N 是该抛物线上两点，|MF|+|NF|=6，M ，N ，F 三点不共线，则△MNF
的重心到准线距离为 ．
15．设()x x
f x e
=
，在区间[0,3]上任取一个实数0x ，曲线()f x 在点()00,()x f x 处的切线斜率为k ，则随机事件“0k <”的概率为_________.
16．在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ=sin θ与ρcos θ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为 ．
17．若函数f （x ）=3sinx ﹣4cosx ，则f ′（）= ．
18．已知z ，ω为复数，i 为虚数单位，（1+3i ）z 为纯虚数，ω=，且|ω|=5，则复数ω= ．
三、解答题
19．（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，1)cos 2cos a B b A c -=， （Ⅰ）求
tan tan A
B
的值；
（Ⅱ）若a =4
B π
=
，求ABC ∆的面积．
20．已知f（x）=x2+ax+a（a≤2，x∈R），g（x）=e x，φ（x）=．
（Ⅰ）当a=1时，求φ（x）的单调区间；
（Ⅱ）求φ（x）在x∈[1，+∞）是递减的，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）是否存在实数a，使φ（x）的极大值为3？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．
21．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若，求的值．
22．已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，满足a3=8，a3﹣a2﹣2a1=0．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式
（Ⅱ）记b n=log2a n，求数列{a n•b n}的前n项和S n．
23．设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1．
（1）若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围；
（2）对于x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，求m的取值范围．
24．（理）设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若对所有的x≥0，均有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．
珠山区三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：因为两条直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m，l2：2x+（5+m）y=8，l1与l2平行．
所以，解得m=﹣7．
故选：A．
【点评】本题考查直线方程的应用，直线的平行条件的应用，考查计算能力．
2．【答案】B
【解析】解：∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，
∴y≥﹣4．
则A={y|y≥﹣4}．
∵x＞0，
∴x+≥2=2（当x=，即x=1时取“=”），
∴B={y|y≥2}，
∴B⊆A．
故选：B．
【点评】本题考查子集与真子集，求解本题，关键是将两个集合进行化简，由子集的定义得出两个集合之间的关系，再对比选项得出正确选项．
3．【答案】B
【解析】解：A项定义域为[﹣2，0]，D项值域不是[0，2]，C项对任一x都有两个y与之对应，都不符．
故选B．
【点评】本题考查的是函数三要素，即定义域、值域、对应关系的问题．
4．【答案】B
【解析】解：a=5，进入循环后各参数对应值变化如下表：
p 15 20 结束
q 5 25
n 2 3
∴结束运行的时候n=3．
故选：B．
【点评】本题考查了程序框图的应用，考查了条件结构和循环结构的知识点．解题的关键是理解题设中语句的意义，从中得出算法，由算法求出输出的结果．属于基础题．
5． 【答案】A 【解析】
试题分析：42731,1i i i i i ==-∴==-,因为复数满足7
1i i z +=,所以()1,1i i i i z i z
+=-∴=-，所以复数的虚部为,故选A.
考点：1、复数的基本概念；2、复数代数形式的乘除运算. 6． 【答案】C
【解析】解：命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是
“若tan α≠1，则α≠”．
故选：C ．
7． 【答案】D
【解析】【知识点】算法和程序框图
【试题解析】A=0，S=1，k=1，A=1，S=1，否；k=3，A=4，S=4，否；k=5，A=9，S=36，是， 则输出的36。

故答案为：D 8． 【答案】D
【解析】解：∵23cos 2A+cos2A=23cos 2A+2cos 2A ﹣1=0，即cos 2
A=
，A 为锐角，
∴cosA=， 又a=7，c=6，
根据余弦定理得：a 2=b 2+c 2﹣2bc •cosA ，即49=b 2
+36﹣
b ，
解得：b=5或b=﹣（舍去），
则b=5． 故选D
9． 【答案】A 【解析】
试题分析：由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，直角梯形的上下底分别为3和4，直角腰
为1，棱柱的侧棱长为1，故选A.
考点：三视图
【方法点睛】本题考查了三视图的问题，属于基础题型，三视图主要还是来自简单几何体，所以需掌握三棱锥，四棱锥的三视图，尤其是四棱锥的放置方法，比如正常放置，底面就是底面，或是以其中一个侧面当底面的放置方法，还有棱柱，包含三棱柱，四棱柱，比如各种角度，以及以底面当底面，或是以侧面当底面的放置方法，还包含旋转体的三视图，以及一些组合体的三视图，只有先掌握这些，再做题时才能做到胸有成竹. 10．【答案】D
【解析】解：对于A，α∥β，l⊂α，n⊂β，l，n平行或异面，所以错误；
对于B，α∥β，l⊂α，l 与β可能相交可能平行，所以错误；
对于C，l⊥n，m⊥n，在空间，l与m还可能异面或相交，所以错误．
故选D．
11．【答案】D
【解析】解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，
又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．
由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，
与m，n异面矛盾．
故α与β相交，且交线平行于l．
故选D．
【点评】本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．
12．【答案】B
【解析】解：画出x，y满足的可行域如下图：z=3x+y的最大值为8，
由，解得y=0，x=，
（，0）代入2x+y+k=0，∴k=﹣，
故选B．
【点评】如果约束条件中含有参数，可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x，y后，即可求出参数的值．
二、填空题
13．【答案】48
【解析】
14．【答案】．
【解析】解：∵F是抛物线y2=4x的焦点，
∴F（1，0），准线方程x=﹣1，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
∴|MF|+|NF|=x1+1+x2+1=6，
解得x1+x2=4，
∴△MNF的重心的横坐标为，
∴△MNF 的重心到准线距离为．
故答案为：．
【点评】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．
15．【答案】
35
【解析】解析：本题考查几何概率的计算与切线斜率的计算．
001()x x k f x e -'==
，由0()0f x '<得，0
1x >，∴随机事件“0k <”的概率为2
3． 16．【答案】 （1，2） ．
【解析】解：由2ρcos 2θ=sin θ，得：2ρ2cos 2
θ=ρsin θ，
即y=2x 2
．
由ρcos θ=1，得x=1．
联立
，解得：
．
∴曲线C 1与C 2交点的直角坐标为（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查了方程组的解法，是基础题．
17．【答案】 4 ．
【解析】解：∵f ′（x ）=3cosx+4sinx ， ∴f ′（
）=3cos
+4sin
=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了导数的运算法则，掌握求导公式是关键，属于基础题．
18．【答案】 ±（7﹣i ） ．
【解析】解：设z=a+bi （a ，b ∈R ），∵（1+3i ）z=（1+3i ）（a+bi ）=a ﹣3b+（3a+b ）i 为纯虚数，∴．
又ω
=
=
=，|ω
|=，
∴
．
把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．
∴ω=
±=±（7﹣i）．
故答案为±（7﹣i）．
【点评】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义及其模的计算公式即可得出．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）由1)cos2cos
a B
b A c
-=及正弦定理得
1)sin cos2sin cos sin sin cos+cos sin
A B B A C A B A B
-==，（3分）
cos3sin cos
A B B A
=
，∴tan
tan
A
B
=6分）
（Ⅱ）tan A B
==
3
A
π
=
，
sin4
2
sin sin
3
a B
b
A
π
π
===，（8分）
sin sin()
C A B
=+=，（10分）
∴ABC
∆
的面积为111
sin2(3
222
ab C==（12分）20．【答案】
【解析】解：（I）当a=1时，φ（x）=（x2+x+1）e﹣x．φ′（x）=e﹣x（﹣x2+x）
当φ′（x）＞0时，0＜x＜1；当φ′（x）＜0时，x＞1或x＜0
∴φ（x）单调减区间为（﹣∞，0），（1，+∞），单调增区间为（0，1）；
（II）φ′（x）=e﹣x[﹣x2+（2﹣a）x]
∵φ（x）在x∈[1，+∞）是递减的，
∴φ′（x）≤0在x∈[1，+∞）恒成立，
∴﹣x2+（2﹣a）x≤0在x∈[1，+∞）恒成立，
∴2﹣a≤x在x∈[1，+∞）恒成立，
∴2﹣a≤1
∴a≥1
∵a≤2，1≤a≤2；
（III）φ′（x）=（2x+a）e﹣x﹣e﹣x（x2+ax+a）=e﹣x[﹣x2+（2﹣a）x]
令φ′（x）=0，得x=0或x=2﹣a：
由表可知，φ（x）极大=φ（2﹣a）=（4﹣a）e a﹣2
设μ（a）=（4﹣a）e a﹣2，μ′（a）=（3﹣a）e a﹣2＞0，
∴μ（a）在（﹣∞，2）上是增函数，
∴μ（a）≤μ（2）=2＜3，即（4﹣a）e a﹣2≠3，
∴不存在实数a，使φ（x）极大值为3．
21．【答案】
【解析】（I）证明：连接OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC
∴OD∥AE又AE⊥DE
∴DE⊥OD，又OD为半径
∴DE是的⊙O切线
（II）解：过D作DH⊥AB于H，
则有∠DOH=∠CAB
设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，∴AH=7x
由△AED≌△AHD可得AE=AH=7x
又由△AEF∽△DOF可得∴
【点评】本题考查平面几何中三角形的相似和全等，辅助线的做法，是解题关键，本题是难题．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，
由a n＞0可得q＞0，且a3﹣a2﹣2a1=0，
化简得q2﹣q﹣2=0，
解得q=2或q=﹣1（舍），
∵a3=a1•q2=4a1=8，∴a1=2，
∴数列{a n}是以首项和公比均为2的等比数列，
∴a n=2n；
（Ⅱ）由（I）知b n=log2a n==n，
∴a n b n=n•2n，
∴S n=1×21+2×22+3×23+…+（n﹣1）×2n﹣1+n×2n，
2S n=1×22+2×23+…+（n﹣2）×2n﹣1+（n﹣1）×2n+n×2n+1，
两式相减，得﹣S n=21+22+23+…+2n﹣1+2n﹣n×2n+1，
∴﹣S n=﹣n×2n+1，
∴S n=2+（n﹣1）2n+1．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，错位相减法求和等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，注意解题方法的积累，属于中档题．
23．【答案】
【解析】解：（1）当m=0时，f（x）=﹣1＜0恒成立，
当m≠0时，若f（x）＜0恒成立，
则
解得﹣4＜m＜0
综上所述m的取值范围为（﹣4，0]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）要x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，
即恒成立．
令﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣
当m＞0时，g（x）是增函数，
所以g（x）max=g（3）=7m﹣6＜0，
解得．所以
当m=0时，﹣6＜0恒成立．
当m＜0时，g（x）是减函数．
所以g（x）max=g（1）=m﹣6＜0，
解得m＜6．
所以m＜0．
综上所述，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，其中将恒成立问题转化为最值问题是解答此类问题的关键．
24．【答案】
【解析】解：（1）由f'（x）=ln（x+1）+1≥0得，∴f（x）的增区间为，减区间为
．
（2）令g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax．“不等式f（x）≥ax在x≥0时恒成立”⇔“g（x）≥g（0）在x≥0时恒成立．”g'（x）=ln（x+1）+1﹣a=0⇒x=e a﹣1﹣1．
当x∈（﹣1，e a﹣1﹣1）时，g'（x）＜0，g（x）为减函数．
当x∈（e a﹣1﹣1，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）为增函数．
“g（x）≥0在x≥0时恒成立”⇔“e a﹣1﹣1≤0”，即e a﹣1≤e0，即a﹣1≤0，即a≤1．
故a的取值范围是（﹣∞，1]．。