(晨鸟)2020年高考文科数学《基本初等函数》题型归纳与训练

2020年高考文科数学《
基本初等函数》题型归纳与训练
【题型归纳】
题型一
幂函数的图像与性质
例1 已知幂函数
x f y
的图象过点）
，（2
2
21，则2log 2f 的值为( )
A.
2
1 B
．
2
1 C ．
1
D
．1
【答案】A
【解析】由幂函数a
x x
f 的图象过点），
（222
1，得2
2)
2
1()2
1
(f ，2
1a
，则幂函数2
1x x f ，
∴2
122
f ，∴2
12
log 2f .故选A .
【易错点】幂函数的运算法则，以及对数的运算公式.
【思维点拨】熟练掌握幂函数的函数类型
a
x x f .
例2 如果幂函数2
32
12p p x x f Z p 是偶函数，且在,
0上是增函数，求
p 的值，并写出相应的
函数
x f 的解析式.
【答案】1p ，2
x x
f .
【解析】因为
x f 在,
0上是增函数，
所以02
32
12
p
p
，，所以
31p
. 又因为
x f 是偶函数且Z p ，所以1p
，故2
x x
f .
【易错点】易忘记Z p 这一关键条件，以及幂函数在
,
0递增时指数的特征
.
【思维点拨】熟练掌握幂函数的函数a
x x
f 的奇偶性特征，以及幂函数在,
0上是单调递增时幂函
数的指数恒为正数
.
题型二二次函数的图像和性质（最值）例1 已知532
x x
x
f ，1,t t x
，若x f 的最小值为t h ，写出t h 的表达式 .
2
【答案】)
2
3(53)
2325(429)2
5(15)
(2
2
t
t
t
t
t t t
t h 【解析】如图所示，函数图像的对称轴为23x
（1）当231t
，即25t
时，151
2
t t
t
f t h .
（2）当123t
t
，即
2325t
时，
4
2923f
t h . （3）当2
3t
时，532
t
t
t
f t h .
综上可得2
2
551,22953()
,
4
22335.2t
t t h t t t
t t
≤≤
【易错点】首先要注意二次函数的开口方向，然后才可以根据二次函数的对称轴去进行分类讨论.【思维点拨】所求二次函数解析式（所以图像也）固定,区间变动,可考虑区间在变动过程中,二次函数的单
调性,从而利用二次函数的单调性求函数在区间上的最值.
例2 已知函数0
2022
2
x
x
x
x x x x f ，若关于x 的不等式02
2
b
x af x
f 恰有1个整数解，则
实数a 的最大值是(
)
A ．2
B ．3
C ．5
D ．8
【答案】D
【解析】作出函数
x f 的图象如图实线部分所示，由
02
2
b
x af x
f 得
2
42
42
2
2
2
b
a a
x
f b
a a ，若
0b ，则0x f 满足不等式，即不等式有
2个整数解，不满足题意，所以0b ，所以0x f a ，且整数解x 只能是3，当42
x
时，
08
x
f ，
所以
38a ，即a 的最大值为8，故选D .
【易错点】这是二次函数的复合函数，务必理清楚和掌握函数的图像.
【思维点拨】根据数型结合画出函数的图像，然后利用方程的求根公式进行解题.
题型三
指数函数
例1 已知奇函数
f x
在R 上是增函数.若2
1log 5
a
f ，2lo
g 4.1
b
f ，0.8
2
c f ，则,,a b c
的大小关系为（
）.
A.
a b c B.b a c C.c b a D.c a b
【答案】C
【解析】因为()f x 在R 上是奇函数，所以2
2
211log log log 55
5
a f f f ，又因为()f x 在
R 上是增函数，且0.8
2220
2
2log 4log 4.1log 5，所以0.8
22
12
log 4.1log 5
f f f ，即
c b a .故选C ．
【思维点拨】本题主要考查函数的奇偶性与指数、对数的运算，为基础题。

首先根据奇函数的性质和对数
运算法则，
，再比较比较大小.
例2 设函数
1,0()
2,0
x
x x f x x
≤，则满足1()
()12
f x f x
的x 的取值范围是_________．
【答案】【解析】
当12
x
时，不等式为
12
2
2
1x
x
恒成立；
当102
x ≤
，不等式12
112
x
x
恒成立；当
0x ≤时，不等式为11112
x x
，解得14
x
，即
104
x ≤；
2log 5a
f 0.8
22log 5,log 4.1,2
1,
4
4
综上，x 的取值范围为1(
,)4
．
【思维点拨】本题以分段函数（含指数函数）为载体，求解不等式。

考查了分类思想。

解题需注意； (1)
求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现
a f f 的形式时，应从内到外依次求值
.
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围
.
题型四对数函数例1
已知函数log ()a y
x
c （,a c 为常数，其中0,1a
a ）的图象如图，则下列结论成立的是
A ．0,1a c
B ．1,01a c
C ．01,1a c
D ．01,01
a c 【答案】
D
【解析】由图象可知
01a ，当0x 时，log ()
log 0a a x c c
，得01c ．
例2若函数
212
log ,
()
log (),0x x
f x x x
,若()
()f a f a ,则实数a 的取值范围是（
）
A ．(1,0)(0,1)
B ．(,1)(1,)
C ．(1,0)(1,
) D
．(
,1)
(0,1)
【答案】
C
【解析】由分段函数的表达式知，需要对
a 的正负进行分类讨论
.
21122
2
<0
()
()
log log log ()
log ()
a
a f a f a a
a a a 或001101
12
a a a
a
a
a
a
或或
．
例3
若函数
x
a y ,0(a
且)1a 的值域为
1|y
y ，则函数x y
a log 的图象大致是(
)
【答案】
B
【解析】由于x
a y 的值域为
1|y y ，∴1a ，则x y a log 在,
0上是增函数，
又函数
x y
a log 的图象关于y 轴对称.因此x y
a log 的图象应大致为选项
B .
【思维点拨】指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性
有关的问题时，首先要看底数a 的范围.
题型五函数的应用例1
某食品的保鲜时间
y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系b
kx e
y
(
718.2e 为自
然对数的底数，
k ，b 为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是
192小时，在22 ℃的保鲜时间是
48小时，
则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时. 【答案】24
【解析】由已知条件，得b
e 192
，
又2
112248e
e e
b
b
k ，
∴2111k
e ，设该食品在
33 ℃的保鲜时间是
t 小时，
则2433b
k e
t
.
【思维点拨】重点考察对指数函数应用题的理解和计算
.
【巩固训练】
幂函数的图像与性质1.函数m
x m m x
f 12
是幂函数，且在
,
0x 上为增函数，则实数m 的值是(
)
A ．－1
B ．2 C
．3
D ．－1或2
【答案】B 【解析】由题知
112
m
m m ，解得
2m .故选B .
6
2.已知11
{2,1,,,1,2,3}22，若幂函数()
f x x 为奇函数，且在(0,)上递减，则
=_____．
【答案】
1
【解析】由题意()f x 为奇函数，所以只能取
1,1,3，又()f x 在(0,)上递减，所以1．
3.已知幂函数
a
x x f 的部分对应值如下表：
x
1
x
f 1
则不等式2x f 的解集是
.
【答案】
4
,4【解析】由2
1
2
2)
2
1
(f ，故422
1x x
x f ，故其解集为4,4.
题型二
二次函数的图像和性质（最值）
1.已知,,a b c
R ，函数2
f x
ax
bx c .若041f f f ，则（
）.
A. 0a ，40a b
B. 0a ，40a b
C.
0a
，20a b
D.
0a
，20
a b
【答案】A 【解析】因为041f f f >，所以函数图象应开口向上，即0a >，且其对称轴为2x ，即
22b a
，
所以
40a b ，故选A .
2.已知函数
20122
x
x x
x x x
f ，若函数
m x f x g 有3个零点，则实数m 的取值范围是_______．
【答案】
1
,0【解析】若函数
m x
f x
g 有3个零点，即x f y
与m y
有3个不同的交点，作出x f 的图象和
m y 的图象，可得出m 的取值范围是
1,0．
12
22
3.已知对任意的
1,1a ，函数a x a x
x f 24
42
的值总大于0，则x 的取值范围是(
)
A ．(1,3)
B ．(－∞，1)∪(3，＋∞）
C ．(1,2)
D ．(－∞，2)∪(3，＋∞）
【答案】B 【解析】
4422442
2
x x
a
x
a
x a
x
.令4422
x x
a x a
g ，则由题知，当
1,1a
时，0a
g 恒成立，则须
)
1(0
)1(g g ，解得
1x 或3x .故选B .
题型三
指数函数
1. 已知
，则函数和在同一坐标系中的图象只可能是图中的（
）
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】根据题意，由
，函数在R 上为减函数，可排除选项
A 、C ，又
，则
函数的图象是开口向下.故选D. 2.已知函数（且）的图象如下图所示，则的值是________．
【答案】6 【解析】由函数（且）过点代入表达式得：，
所以
01a x
y a 2
(1)y
a x 0
1a x
y
a 110a 2
(1)y
a x 2
y
a
b 0a 1a a b x
y
a
b 0a 1a (2,0),(0,3)2,4a b 6
a b y x
o
1
A
y x
o
1
B
y x
o
1
C
y
x
o
1
D
8
3.与函数的图象有且仅有两个公共点，则实数的取值范围是____.
【答案】
【解析】的图象由的图象向下平移一个单位，
再将轴下方的图象翻折到
轴上方得到，分和两种情况分别作图，如图所示，当时不合题意；时，需要
，即，故答案为
.
题型四对数函数
1.若点(,)a b 在lg y
x 图像上，a
,则下列点也在此图像上的是（）
A ．1(
,)b a
B
．(10,1
)a b C ．10(
,1)b a
D
．2
(,2)
a b 【答案】D 【解析】当2
x
a 时，2
lg 2lg 2y
a
a b ，所以点2
(,2)a b 在函数lg y
x 图象上．
2.如果
,0log log 2
12
1y
x
那么（
）
A ．1y x
B ．1x
y C ．1x y D ．1y x
【答案】D
【解析】根据对数函数的性质得1x y ．
3.当10
2
x ≤
时，
4
log x
a x ，则a 的取值范围是
（
）
A ．2
(0,)2
B
．2(,1)2
C
．(1,2) D ．(2,2)
【答案】B
2y a 101x
y a
a a 且a 10,
2
101x
y a
a a
且x
a y x x 1a
10a 1a 10a 120
a 2
10
a
10,
2
【解析】由指数函数与对数函数的图像知
1
2
1
1log 42
a
a ，解得
212
a ，故选 B.
4已知
1a
b ，若5log log 2
a b b a
，b
a
a
b ，则a =________，b =_______.
【答案】
42
【解析】设log b a
t ，则1t
，因为2
1522t t a b t ，
因此2
22
22, 4.
b
a
b
b
a
b b
b
b
b
b
a
6.在同一直角坐标系中
,函数a
x x f ,x x
g a log 的图象可能是(
)
【答案】D 【解析】因为0a ,所以a
x x
f 在,
0上为增函数,故A 错.在B 中,由
x f 的图象知1a ,由x
g 的图象知
10a ,矛盾,故B 错.在C 中,由x f 的图象知10a ,由x g 的图象知1a ,矛盾,故C 错.
在D 中,由
x f 的图象知10
a ,由x g 的图象知10
a ,相符,故选D.。