北京良乡第四中学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试卷(包含答案解析)

一、选择题
1．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点()3,4A -，且法向量为(1,2)n =-的直线（点法式）方程为：()()()13240x y ⨯++-⨯-=，化简得2110x y -+=.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点()1,2,3A ，且法向量为(1,2,1)m =--的平面的方程为（ ） A ．220x y z +--= B ．220x y z ---= C ．220x y z ++-=
D ．220x y z +++=
2．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是 ( )
A ．
B ．
C ．
D ．
3．某单位实行职工值夜班制度，已知,,,,5A B C D E 共名职工每星期一到星期五都要值一次夜班，且没有两人同时值夜班，星期六和星期日不值夜班，若A 昨天值夜班，从今天起
,B C 至少连续4天不值夜班，D 星期四值夜班，则今天是星期几（ ）
A ．五
B ．四
C ．三
D ．二
4．用反证法证明某命题时，对其结论“a ，b 都是正实数”的假设应为（ ）
A ．a ，b 都是负实数
B ．a ，b 都不是正实数
C ．a ，b 中至少有一个不是正实数
D ．a ，b 中至多有一个不是正实数
5．体育课上,小红、小方、小强、小军四位同学都在进行足球、篮球、羽毛球、乒乓球等四项体自运动中的某一种，四人的运动项目各不相同，下面是关于他们各自的运动项目的一些判断:
①小红没有踢足球，也没有打篮球； ②小方没有打篮球,也没有打羽毛球；
③如果小红没有打羽毛球,那么小军也没有踢足球； ④小强没有踢足球,也没有打篮球.
已知这些判断都是正确的,依据以上判断，请问小方同学的运动情况是( ) A ．踢足球 B ．打篮球 C ．打羽毛球 D ．打乒乓球
6．用数学归纳法证明“l+2+3+…+n 3=632
n n
+，n ∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k 时对应
的等式左边加上（ ） A ．k 3+1 B ．（k 3+1）+（k 3+2）+…+（k+1）3
C ．（k+1）3
D
．63(1)(1)2
k k +++
7．在等差数列{}n a 中，如果,,,m n p r N *∈，且3m n p r ++=，那么必有
3m n p r a a a a ++=，类比该结论，在等比数列{}n b 中, 如果,,,m n p r N *∈，且3m n p r ++=，那么必有（ ）
A ．3++=m n p r b b b b
B ．3
++=m n p r b b b b C ．3=m n p r b b b b
D ．3
m n p r b b b b =
8．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：四面都为正三角形的正四面
体的内切球切于四个面的什么位置？ A ．正三角形的顶点
B ．正三角形的中心
C ．正三角形各边的中点
D ．无法确定
9．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式
11111++
+
中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程
1
1x x +
=求得152
x +=，类似上述过程，则33++=（ ）
A ．
131
2
+ B ．3 C ．6
D ．22
10．如果把一个多边形的所有便中的任意一条边向两方无限延长称为一直线时,其他个边都在此直线的同旁,那么这个多边形就叫凸多边形.平行内凸四边形由2条对角线,凸五边形有5条对角线,以此类推,凸16变形的对角线条为( ) A ．65
B ．96
C ．104
D ．112
11．已知,,(0,2)a b c ∈，则(2),(2),(2)a b b c c a ---中（ ） A ．至少有一个不小于1 B ．至少有一个不大于1 C ．都不大于1 D ．都不小于1 12．下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的是（ ）
A ．平面内的三条直线
，若，则.类比推出：空间中的三条直线，若，则 B ．平面内的三条直线
，若
，则
.类比推出：空间中的三条向量
，若
，则
C ．在平面内，若两个正三角形的边长的比为，则它们的面积比为.类比推出：在空间中，若两个正四面体的棱长的比为，则它们的体积比为
D ．若
，则复数
.类比推理：“若
，则
”
二、填空题
13．用数学归纳法证明(1)(2)
()2135(21)+++=⋅⋅⋅-n n n n n n 的过程中，由k 到
1k +时，右边应增加的因式是____________.
14．有甲、乙、丙、丁四位学生参加数学竞赛，其中只有一名学生获奖，有其他学生问这四个学生的获奖情况，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都没有获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位学生的话有且只有两个人的话是对的，则获奖的学生是__________．
15．甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时， 甲说：丙没有考满分； 乙说：是我考的； 丙说：甲说真话．
事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是_____． 16．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：
则第个图案中有白色地面砖 块.
17．在平面几何中，正三角形ABC 的内切圆半径为1r ，外接圆半径为2r ，则
121
2
r r =，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球半径为1R ，外接球半径为
2R ，则
1
2
R R =__________． 18．36的所有约数之和可以按以下方法得到：因为223623=⨯，所以36的所有正约数之
和为()()()()()
22222222
133223232232312213391++++⋅+⋅++⋅+⋅=++++=，
参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为__________．
19．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则
121
4
S S =，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则
1
2
V V =____. 20．小明在做一道数学题目时发现：若复数
111cos i?sin ?,z αα=+222 cos i?sin ,z αα=+，333cos i?sin z αα=+(其中123,,R ααα∈), 则121212cos()i?
sin(+)z z αααα⋅=++，232323cos()i?sin(+)z z αααα⋅=++ ，根据上面的结论，可以提出猜想: z 1·
z 2·z 3=__________________． 三、解答题
21．已知111
1,
,,,
,
112123
123n
++++++
+，其前n 项和为n S .
（1）计算1234,,,S S S S ；
（2）猜想n S 的表达式，并用数学归纳法进行证明. 22．数列{}n a 满足2(n n S n a n =-∈N *）. （1）计算1234,,,a a a a ，并由此猜想通项公式n a ； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.
23．已知各项均不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()
141n n n S a a n N *+=⋅+∈，其中
11a =.
（1）求证：135,,a a a 成等差数列； （2）求证：数列{}n a 是等差数列；
（3）设数列{}n b 满足()1
21n
b n
n N a *=+
∈，且n T 为其前n 项和，求证：对任意正整数n ，不等式212log n n T a +>恒成立. 24．当*n N ∈时，11111
1234212n S n n
=-
+-++
--，1111123
2n T n n n n
=
+++++++ （Ⅰ）求1S ，2S ，1T ，2T ；
（Ⅱ）猜想n S 与n T 的关系，并用数学归纳法证明.
25．数列{}n a 满足()
*
21n n S a n n N +=+∈.
（1）计算1234,,,a a a a ，并由此猜想通项公式n a ； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想. 26．设等差数列的公差
，且，记
（1）用
分别表示
，并猜想
；
（2）用数学归纳法证明你的猜想.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
类比平面中求动点轨迹方程的方法，在空间任取一点P （x ，y ，z ），则AP =（x ﹣1，y ﹣
2，z﹣3），利用平面法向量为n=（﹣1，﹣2，1），即可求得结论．
【详解】
类比平面中求动点轨迹方程的方法，在空间任取一点P（x，y，z），则AP=（x﹣1，y﹣2，z﹣3）
∵平面法向量为n=（﹣1，﹣2，1），
∴﹣（x﹣1）﹣2×（y﹣2）+1×（z﹣3）＝0
∴x+2y﹣z﹣2＝0，
故选A．
【点睛】
本题考查了类比推理，考查了空间向量数量积的坐标运算，由于平面向量与空间向量的运算性质相似，利用求平面曲线方程的办法，构造向量，利用向量的性质解决空间内平面方程的求解问题，属于中档题．
2．C
解析：C
【分析】
结合题意可知,代入数据,即可.
【详解】
A选项,13不满足某个数的平方,故错误;
B选项,,故错误;
C选项,故正确;
D选项,,故错误.故选C.
【点睛】
本道题考查了归纳推理，关键抓住利用边长点数计算总点数,难度中等.
3．B
解析：B
【解析】
分析：A昨天值夜班，D周四值夜班，得到今天不是周一也不是周五，假设今天是周二，则周二与周三B，C至少有一人值夜班，与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周三，则周五与下周一B，C至少有一人值夜班，与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；由此得到今天是周四．
详解：∵A昨天值夜班，D周四值夜班，∴今天不是周一也不是周五，
若今天是周二，则周一A值夜班，周四D值夜班，则周二与周三B，C至少有一人值夜班，
与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；
若今天是周三，则A周二值夜班，D周四值夜班，则周五与下周一B，C至少有一人值夜班，
与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；
若今天是周四，则周三A值夜班，周四D值夜班，周五E值夜班，符合题意．
故今天是周四．
故答案为：B ．
点睛：（1）本题主要考查推理证明，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)类似这种题目，一般利用假设分析法，先逐一假设，找到矛盾，就否定这种假设.
4．C
解析：C 【解析】
分析：“都是”的否定为“不都是”，观察选项只有C 符合.
详解：“都是”的否定为“不都是”，故“a ，b 都是正实数”否定为“a ，b 中至少有一个不是正实数”. 故选C.
点睛：本题考查命题的否定，属基础题.
5．A
解析：A
【解析】分析：由题意结合所给的逻辑关系进行推理论证即可. 详解：由题意可知：小红、小方、小强都没有打篮球，故小军打篮球； 则小军没有踢足球，且已知小红、小强都没有踢足球，故小方踢足球. 本题选择A 选项.
点睛：本题主要考查学生的推理能力，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6．B
解析：B 【解析】
分析：当项数从n k =到1n k =+时，等式左边变化的项可利用两个式子相减得到。

详解：当n k = 时，等式左边3123....k =+++
当1n k =+时，等式左边33333123....(1)(2)(3)...(1)k k k k k =+++++++++ 所以增加的项为3333(1)(2)(3)...(1)k k k k +++++ 所以选B
点睛：本题考查了数学归纳法的应用，当项数变化时分析出增加的项，属于简单题。

7．D
解析：D 【详解】
分析：结合等差数列与等比数列具有的类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关的特点，即可类比得到结论.
详解：由题意，类比上述性质：在等比数列{}n b 中，
则由“如果,,,m n p r N *∈，且3m n p r ++=”，则必有“3
m n p r b b b b =”成立，故选D.
点睛：本题主要考查了等差数列与等比数列之间的类比推理，其中类比推理的一般步骤：①找出等差数列与等比数列之间的相似性或一致性；②用等差数列的性质取推测等比数列的性质，得到一个明确的结论（或猜想）.
8．B
解析：B
【解析】
分析：由题意结合几何体的空间关系进行类比推理即可求得最终结果.
详解：绘制正三棱锥的内切球效果如图所示，很明显切点在面内而不在边上，则选项AC 错误，由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：四面都为正三角形的正四面体的内切球切于四个面的正三角形的中心.
本题选择B选项.
点睛：在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．
9．A
解析：A
【解析】
由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的
()
33 0
m m
++=>，则两边平方得，得2
333...m
++=，即
2
3m m
+=，解得
113113
22
+
m m
==舍去，故选A.
10．C
解析：C
【解析】
可以通过列表归纳分析得到；
多边形45678
对角线22+32+3+42+3+4+52+3+4+5+6
16边形有2+3+4+ (14)
2
=104条对角线．
故选C．
11．B
解析：B 【分析】
用反证法证明，假设同时大于1，推出矛盾得出结果 【详解】
假设()21a b ->，()21b c ->，()21c a ->， 三式相乘得()()()2221a b b c c a -⋅-⋅->，
由()02a b c ，，，∈，所以()2
20212a a a a -+⎛⎫
<-≤= ⎪⎝⎭
，同理()21b b -≤，
()21c c -≤，则()()()2221a a b b c c -⋅-⋅-≤与()()()2221a b b c c a -⋅-⋅->矛
盾，即假设不成立，所以()()()222a b b c c a ---，，不能同时大于1，所以至少有一个不
大于1， 故选B 【点睛】
本题考查的是用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，在此基础上推出矛盾，是解题的关键，同时还运用了基本不等式，本题较为综合
12．D
解析：D 【分析】
对四个答案中类比所得的结论逐一进行判断，即可得到答案 【详解】
对于，空间中，三条直线，若，则与不一定平行，故错误 对于，若
，则若
，则
不正确，故错误
对于，在平面上，正三角形的面积比是边长比的平方，类比推出在空间中，正四面体的体积是棱长比的立方，棱长比为，则它们的体积比为，故错误 对于，在有理数中，由
可得，
，解得
，故正确 综上所述，故选 【点睛】
本题考查的知识点是类比推理，解题的关键是逐一判断命题的真假，属于基础题．
二、填空题
13．【分析】根据右边式子的含义以及n 的变化给式子带来的变化进行求解【详解】当时右式为当时右式为则右边应增加的因式是故答案为：【点睛】本题考查数学归纳法中由到时增加项的求解解题的关键是理解左边式子的意义属 解析：2(21)k +
【分析】
根据右边式子的含义，以及n 的变化给式子带来的变化，进行求解. 【详解】
当(*)n k k N =∈时,右式为2135(21)k k ⋅⋅⋅-，
当1n k =+时,右式为
12135(21)(21)22135
(21)(21)k k k k k k +⋅⋅⋅-+=⋅⋅⋅⋅-+，
则右边应增加的因式是2(21)k +， 故答案为：2(21)k + 【点睛】
本题考查数学归纳法中由n k =到1n k =+时增加项的求解,解题的关键是理解左边式子的意义，属于容易.
14．丙【解析】分析：分别假设甲乙丙丁的一个人获奖分析四个人的话能求出获奖的同学详解：若甲获奖则都说了假话不符合题意若乙获奖则甲乙丁说了真话丙说了假话不符合题意若丁获奖则甲丙丁说假话乙说真话不符合题意故丙
解析：丙
【解析】分析：分别假设甲，乙，丙，丁的一个人获奖，分析四个人的话，能求出获奖的同学
详解：若甲获奖，则都说了假话，不符合题意
若乙获奖，则甲，乙，丁说了真话，丙说了假话，不符合题意 若丁获奖，则甲，丙，丁说假话，乙说真话，不符合题意 故丙获奖
点睛：本题是一个简单的合情推理题，主要考查了合情推理的含义和作用。

属于基础题。

15．甲【详解】分析题意只有一人说假话可知假设只有甲说的是假话即丙考满分则乙也是假话故假设不成立；假设只有乙说的是假话则甲和丙说的都是真话即乙没有得满分丙没有得满分故甲考满分假设只有丙说的是假话即甲和乙说
解析：甲 【详解】
分析题意只有一人说假话可知，
假设只有甲说的是假话，即丙考满分，则乙也是假话，故假设不成立；
假设只有乙说的是假话，则甲和丙说的都是真话，即乙没有得满分，丙没有得满分，故甲考满分.
假设只有丙说的是假话，即甲和乙说的是真话，即丙说了真话，矛盾，故假设不成立. 综上所述，得满分的是甲.
16．4n+2【解析】解：观察分析图案得到规律第1个第2个第3个…个图案有白色地板砖分别是61014…个组成一个公差是4首项为6的等差数列因此第n 个图案中有白色地面砖有6+（n-1）×4=6+4n-4=4
解析：4n+2 【解析】
解：观察、分析图案，得到规律，第1个、第2个，第3个…个图案有白色地板砖分别是6，10，14…个，组成一个 公差是4，首项为6的等差数列．
因此第n 个图案中有白色地面砖有6+（n-1）×4=6+4n-4=4n+2． 故答案为：4n+2．
17．【解析】从平面图形类比空间图形从二维类比三维可得出如下结论：正四面体的外接球和内切球半径之经是3：1所以填
解析：
13
【解析】
从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，可得出如下结论：正四面体的外接球和内切球半径之经是3：1.所以填
13。

18．【解析】试题分析：类比的所有正约数之和的方法有：的所有正约数之和可按如下方法得到：因为所以的所有正约数之和为所以的所有正约数之和为故应填考点：1合情推理
解析：465． 【解析】
试题分析：类比36的所有正约数之和的方法有：200的所有正约数之和可按如下方法得到：因为3220025=⨯，所以200的所有正约数之和为
232(1222)(155)465+++++=，所以200的所有正约数之和为465，故应填465．
考点：1、合情推理．
19．【解析】设正四面体的棱长为高为四个面的面积为内切球半径为外接球半径为则由得；由相似三角形的性质可求得所以考点：类比推理几何体的体积 解析：
127
【解析】
设正四面体ABCD 的棱长为a ，高为h ，四个面的面积为S ，内切球半径为r ，外接球半径为R ，则由11
43
3Sr Sh ⨯=
，得1144r h ===；
由相似三角形的性质，可求得R =，所以12V V =3311()().327r R ==
考点：类比推理，几何体的体积.
20．【解析】试题分析：运用推理考点：1归纳推理2复数的运算 解析：()()123123cos sin i αααααα+++++
【解析】
试题分析：运用推理()()123123cos sin i αααααα+++++
考点：1.归纳推理.2.复数的运算.
三、解答题
21．（1）4381,,,325；（2）21
n n S n =+，证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）由题可得前4项，依次求和即可得到答案； （2）由（1）得到前四项和的规律可猜想21
n n
S n =+，由数学归纳法，即可做出证明，得到结论。

【详解】
（1）计算12141,1123
S S ==+
=+，344163318,312342212345
S S =
+===+=+++++. （2）猜想21
n n
S n =
+. 证明：①当1n =时，左边11S ==，右边21
111
⨯=
=+，猜想成立. ②假设()
*
n k k =∈N 猜想成立，即
111121*********
k k S k k =+++⋯+=++++++⋯++成立，
那么当1n k =+时，()()
11
22
1231
112k k k S S k k k k k +=+
=
++++
++++++， 而()()()()()()()2
212122
1121211
k k k k k k k k k +++==+++++++，故当1n k =+时，猜想也成立. 由①②可知，对于*n ∈N ，猜想都成立. 【点睛】
本题主要考查了归纳、猜想与数学归纳法的证明方法，其中解答中明确数学归纳证明方法：（1）验证1n =时成立；（2）假设当n k =时成立，证得1n k =+也成立；（3）得到证明的结论．其中在n k =到1n k =+的推理中必须使用归纳假设．着重考查了推理与论证能力．
22．（1）123437151,,,248a a a a ====，121
2
n n n a --=；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）分别令1,2,3,4n =，可求解1234,,,a a a a 的值，即可猜想通项公式n a ；
（2）利用数学归纳法证明. 试题
（1）123437151,,,248a a a a ====，由此猜想121
2
n n n a --=；
（2）证明：当1n =时，11a =，结论成立；假设n k =（1k ≥，且k N +∈），结论成
立，即121
2
k k k a --=
当+1n k =（1k ≥，且k N +∈）时，
()11112122k k k k k k k a S S k a k a a a ++++=-=+--+=+-，即122k k a a +=+，所以1111
21
22212222
k k k k k k a a +-+--++-===，这表明当1n k =+时，结论成立， 综上所述，1212
n n n a --=()n N +
∈.
考点：数列的递推关系式及数学归纳法的证明.
23．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析． 【详解】
（1）解：141n n n S a a +=+①；1141n n n S a a --=+②；①－②,化简可得114n n a a +--=，53314a a a a -=-=，得证；
（2）解：由11a =，得23a =，结合第（1）问结论，可得21n a n =-，即{}n a 是等差数列；
（3）解：根据题意，2
2log 21
n n b n =-，22462log 13521n n
T n =⨯⨯⨯⨯-…；
要证2122log log (21)n n T a n +>=+
，即证246213521
n n ⨯⨯⨯⨯>-… 当1n =
时，2> 假设当n k =
时，
246213521
k
k ⨯⨯⨯⨯>-… 当1n k =+
时，24622222
135212121k k k k k k ++⨯⨯⨯⨯⨯>-++
…=
>2(22)(21)(23)k k k +>++，展开后显然成立， 所以对任意正整数n ，不等式212log n n T a +>恒成立． 24．解：（I ）11
2S =
，2712S =， 112T =，2712
T =
（II ）猜想：*
()n n S T n N =∈,证明见解析 【解析】
试题分析：（Ⅰ）令n S 中的1n =，即可求出111
122
S =-
=，令2n =，即可求出21117
123412
S =-+-=，同理，令n T 中的1n =，即可求出112T =，令2n =，即可求出
2117
3412
T =
+=；（Ⅱ）根据第（Ⅰ）问中求得的11S T =，22S T =，猜想可得：n n S T =，用数学归纳法证明，首先证当1n =时命题成立，然后假设当(1)n k k =≥时命
题成立，即11111111
1
1.234
212123
2n n n n n n
-
+-++-=++++
-+++下面证明当1n k =+时，命题也成立，必须要用到上面的假设，从111
212(1)
k k S S k k +=+
-++出发开始进行证明，得到
111212(1)k k S T k k +=+
-++111
111123
2212(1)
k k k k k k =++++
+-+++++，经过合并整理，可以得到11k k S T ++=，由以上可知，命题对一切正整数都成立，所以猜想成立，问题得证．本题主要考查数学归纳法证明的步骤及格式要求． 试题 （Ⅰ）111122S =-
=，21117123412
S =-+-= 111112T =
=+，2117212212
T =+=++ （Ⅱ）猜想：*
()n n S T n N =∈即：
11111111
1
1.234
212123
2n n n n n n
-
+-++
-=++++
-+++（n N *∈）…4分 下面用数学归纳法证明 ①1n =时，已证11S T =
②假设n k =时，(1,)k k S T k k N *
=≥∈，即：
11111111
11.234
212123
2k k k k k k
-
+-++
-=++++
-+++ 则111212(1)k k S S k k +=+
-++11
212(1)
k T k k =+-++ 111111
123
2212(1)
k k k k k k =
++++
+-+++++ 1111123
2112(1)k k k k k ⎛⎫=
+++
+- ⎪+++++⎝⎭
11
111(1)1(1)2
2212(1)
k k k k k =
++
+
++++++++1k T +=
由①，②可知，对任意n N *∈，n n S T =都成立． 考点：数学归纳法．
25．（1）()
1*
212
n n n
a n N +-=∈；（2）见解析 【解析】
分析：（1）根据题设条件，可求a 1，a 2，a 3，a 4的值，猜想{a n }的通项公式． （2）利用数学归纳法的证明步骤对这个猜想加以证明．
详解：（1）根据数列{}n a 满足()
*
21n n S a n n N +=+∈，
当1n =时，11121S a a ==-+，即132
a =
； 当2n =时，212241S a a a =+=-+，即274
a =； 同理341531,816
a a =
=， 由此猜想()
1*21
2
n n n
a n N +-=∈； （2）当1n =时，13
2
a =
，结论成立； 假设n k =（k 为大于等于1的正整数）时，结论成立，即121
2k k k
a +-=，
那么当1n k =+（k 大于等于1的正整数）时
()11121121k k k k k a S S k a k a +++=-=++---+，∴122k k a a +=+， ∴1211
21
22212222
k k k k k k a a ++++-++-===，即1n k =+时，结论成立， 则()
1*21
2
n n n
a n N +-=∈. 点睛：此题主要考查归纳法的证明，归纳法一般三个步骤：（1）验证n=1成立；（2）假设n=k 成立；（3）利用已知条件证明n=k+1也成立，从而求证，这是数列的通项一种常用求解的方法 26．（1）.；（2）见解析.
【解析】
试题分析：（1）分别求出
的值，观察共有性质，从而可归纳猜想出
；
（2）根据数学归纳法的基本原理，①当n ＝1时，验证猜想正确，②假设当n ＝k 时(k ∈N *)时结论成立，证明当n ＝k ＋1时结论正确即可. 试题 （1）T 1＝
＝
；
T2＝＋＝×＝×＝；
T3＝＋＋＝×＝×＝
由此可猜想T n＝.
（2）证明：①当n＝1时，T1＝，结论成立．
②假设当n＝k时(k∈N*)时结论成立，
即T k＝.
则当n＝k＋1时，T k＋1＝T k＋＝＋＝
＝.
即n＝k＋1时，结论成立．
由①②可知，T n＝对于一切n∈N*恒成立．。