2021年四川省绵阳市实验中学高二数学文模拟试卷含解析

2020-2021学年四川省绵阳市实验中学高二数学文模拟试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 观察下列各式：= ，+ = ，+ + = …，则+
+…+ 等于（）
A、
B、
C、
D、
参考答案：
C
【考点】归纳推理【解答】解：= ，+ = = ，
+ + = …，
则+ +…+ = ，
故选：C．
【分析】观察分子分母的变化规律即可得到答案．
2. 函数在上的单调情况是（）
A. 单调递增；
B. 单调递减；
C. 在上单调递增，在上单调递减；
D. 在上单调递减，在上单调递增；
参考答案：
A
【分析】通过求导来判断的单调性。

【详解】因为，所以在单调递增，故选A.
【点睛】此题考查利用导数判断函数单调性，此题为基础题.
3. 直线，当变动时，所有直线都通过定点（）
A．B． C．D．
参考答案：
C
略
4. 已知复数z满足（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
参考答案：
A
【分析】
算出后可得其对应的点所处的象限.
【详解】因为，故，其对应的点为，它在第一象限，故选A.
【点睛】本题考查复数的除法及复数的几何意义，属于基础题.
5. O为坐标原点，F为抛物线的焦点，P为C上一点，若，则的面积为（）
A．2 B．C．D．4
参考答案：
C
∵抛物线C的方程为∴，可得，得焦点
设P（m，n），根据抛物线的定义，得|PF|=m+=，即，解得
∵点P在抛物线C上，得∴∵|OF|=
∴△POF的面积为
6. 设x，y满足约束条件，则z=4x+y的最小值为（）
A. －3
B. －5
C. －14
D. －16
参考答案：
C
【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.
【详解】
画出表示的可行域，如图，
由可得，可得，
将变形为，
平移直线，
由图可知当直经过点时，
直线在轴上的截距最小，最小值为，故选C.
【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
7. 已知i 是虚数单位，若复数z满足，则( )
A. －2i
B.2i
C.－2
D.2
参考答案：
B
8. 若椭圆上有个不同的点为右焦点，组成公差的等差数列，则的最大值为（）
参考答案：
B
9. 若不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
不等式恒成立，即，即恒成立，即
恒成立，所以，解得，所以实数a的取值范围是，故选B.
10. 如果a,b是异面直线，P是不在a,b上的任意一点，下列四个结论：（1）过P一定可作直线L与a , b都相交；（2）过P一定可作直线L与a , b都垂直；（3）过P一定可作平面与a , b都平行；（4）过P一定可作直线L与a , b都平行，其中正确的结论有（）
A、0个
B、1个
C、2个
D、3个
参考答案： 答案：B
错解：C 认为（1）（3）对 D 认为（1）（2）（3）对
错因：认为（2）错误的同学，对空间两条直线垂直理解不深刻，认为作的直线应该与a,b 都垂直相交；而认为（1）（3）对的同学，是因为设能借助于两个平行平面衬托从而对问题的分析欠严密。

二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在正方体
中，直线
与平面
所成的角是
.
参考答案：
45
12. 已知抛物线
上一点到焦点的距离等于5，则到坐标原点的距离
为 。

参考答案：
13. 在△ABC 中，若sinA:sinB:sinC=5:7:8，则∠B 的大小是__________． 参考答案：
略
14. 函数的单调递增区间是 .
参考答案：
略
15. 若直线l 经过原点和(－1,1)，则直线l 的倾斜角大小为 ．
参考答案：
原点的坐标为
原点与点
的斜率
，即
为倾斜角），又
点
在
第二象限，，故答案为.
16. 已知
=2
， =3， =4，…若=6，（a ，t 均为正实数），则类
比以上等式，可推测a ，t 的值，a+t= ．
参考答案：
41
【考点】类比推理． 【专题】计算题；压轴题．
【分析】观察所给的等式，等号右边是，，…第n 个应该是，左边
的式子
，写出结果．
【解答】解：观察下列等式
=2
，
=3
，
=4，…
照此规律，第5个等式中：a=6，t=a 2﹣1=35 a+t=41． 故答案为：41．
【点评】本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系，本题是一个易错题．
17. 已知“x －a <1”是 “x 2－6x <0”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围________
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 椭圆，其右焦点为,点在椭圆C上,直线l的方程为
.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若过椭圆左焦点F1的直线(不过点P)交椭圆于A,B两点,直线AB和直线l相交于点M,记PA，PB，PM的斜率分别为，，
求证:
参考答案：
由题意知，，①
把点代入椭圆方程得，②
①代入②得，
，
故椭圆方程为
（）设的斜率为，易知
则直线的方程为，设，
由得，
，，
，，
又三点共线
即
又
19. （Ⅰ）求证： +＜2
（Ⅱ）已知a＞0，b＞0且a+b＞2，求证：，中至少有一个小于2．
参考答案：
【考点】不等式的证明．
【分析】（Ⅰ）利用了分析法，和两边平方法，
（Ⅱ）利用了反证法，假设：，都不小于2，则≥2，≥2，推得即a+b≤2，这与已知a+b＞2矛盾，故假设不成立，从而原结论成立．
【解答】（Ⅰ）证明：因为和都是正数，所以为了证明+＜2，
只要证（+）2＜（2）2
只需证：10＜20，
即证：2＜10，
即证：＜5，
即证：21＜25，
因为21＜25显然成立，所以原不等式成立．
（Ⅱ）证明：假设：，都不小于2，则≥2，≥2，
∵a＞0，b＞0，
∴1+b≥2a，1+a≥2b，
∴1+b+1+a≥2（a+b）
即a+b≤2
这与已知a+b＞2矛盾，故假设不成立，从而原结论成立．
20. 已知函数f（x）=是定义域为（﹣1，1）上的奇函数，且．
（1）求f（x）的解析式；
（2）用定义证明：f（x）在（﹣1，1）上是增函数；
（3）若实数t满足f（2t﹣1）+f（t﹣1）＜0，求实数t的范围．
参考答案：
【考点】36：函数解析式的求解及常用方法；3E：函数单调性的判断与证明．
【分析】（1）由函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，所以f（0）=0，再据可求出a的值．
（2）利用增函数的定义可以证明，但要注意四步曲“一设，二作差，三判断符号，四下结论”．（3）利用函数f（x）是奇函数及f（x）在（﹣1，1）上是增函数，可求出实数t的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=是定义域为（﹣1，1）上的奇函数，
∴f（0）=0，∴b=0；…
又f（1）=，∴a=1；…
∴…
（2）设﹣1＜x1＜x2＜1，则x2﹣x1＞0，
于是f（x2）﹣f（x1）=﹣=，
又因为﹣1＜x1＜x2＜1，则1﹣x1x2＞0，，，
∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），
∴函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数；
（3）f（2t﹣1）+f（t﹣1）＜0，∴f（2t﹣1）＜﹣f（t﹣1）；…
又由已知函数f（x）是（﹣1，1）上的奇函数，∴f（﹣t）=﹣f（t）…
∴f（2t﹣1）＜f（1﹣t）…
由（2）可知：f（x）是（﹣1，1）上的增函数，…
∴2t﹣1＜1﹣t，t＜，又由﹣1＜2t﹣1＜1和﹣1＜1﹣t＜1得0＜t＜
综上得：0＜t＜…
21. 等比数列，，且，是和的等差中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足()，求数列的前项和.参考答案：
略
22. 如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，，.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求点A到平面CQP的距离.
参考答案：
（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）由正方形的性质可得，由线面垂直的性质可得，由线面垂直的判定定理可得平面，从而可得结果；（Ⅱ）设到平面的距离为，则，即
，分别求出两个三角形的面积以及的值，代入计算即可得结果.
【详解】（Ⅰ）∵为正方形，∴，又平面，平面，∴，，∴平面，
平面，∴.
（Ⅱ）设到平面的距离为，
∵，即，
∴.
又，，
在中，，，，，∴，
即，
∴，即到平面的距离为.
【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理及线面垂直的性质，考查了等积变换求点面距离，属于中档题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理.。