1.2_傅里叶变换基本内容

rff (x, y ) = rff (− x,− y )
rfg ( x, y ) ≠ rfg ( x, y ) 互相关运算不满足交换律
2010-11-28 现代光学信息处理技术 富里叶变换理论
相关的定义同性质
– 相关与卷积的关系
f ( x) ⊗ g ( x) = ∫
∞ −∞
f (ξ ) g ∗ (ξ − x)dξ = ∫
– 二维空间频率(当i同j取不同的值的时候）
当着i同j取不同的值的时 候，我们会拥有一系列的 空间频率，这些空间频率 的组合，可以形成我们希 望出现的物或我们熟悉的 物的分布
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富里叶变换理论
空间频率
– 二维空间频率的物理意义
• 首先它是一种有效数据表示方式，描述一副图像并不需用一个个像素 分布表示出来，而是通过一系列的不同“空间频率”的 cosines函数 来表述图像
若函数可以看作是某个可变换函数所组成的序列的极限对序列中每一函数进行变换组成一个新的变换式序列这个新序列的极限就是原来函数的广义傅里叶变换sinlim20101128现代光学信息处理技术物理意义傅里叶变换定理dfdf20101128现代光学信息处理技术傅里叶变换定理偶函数奇函数我们称这样的函数gf是厄米型函数即20101128富里叶变换理论现代光学信息处理技术这时傅里叶变换定理虚实奇偶函数傅里叶变换的性质2gx是实值偶函数所以是实值偶函数所以是虚值奇函数20101128富里叶变换理论现代光学信息处理技术傅里叶变换定理实函数厄米型函数虚值偶函数虚值偶函数虚函数反厄米型函数虚值奇函数实值奇函数实值偶函数实值偶函数偶函数偶函数实值奇函数虚值奇函数奇函数奇函数若实部为偶函数虚部为奇函数则函数是厄米型函数若实部为奇函数虚部为偶函数则函数是反厄米型函数20101128富里叶变换理论现代光学信息处理技术傅里叶变换定理空域的压缩在频域表现为频谱展宽及能量的降低空域的展宽在频域表现为频谱压缩及能量的增加两个函数和的富里叶变换等于它们各自变换的和20101128富里叶变换理论现代光学信息处理技术傅里叶变换定理物空间的位置平移带来频域空间的相移这种相移只有通过干涉才可以显示出来20101128富里叶变换理论现代光学信息处理技术傅里叶变换定理dfdf能量输入频谱面物面能量频谱面能量20101128富里叶变换理论现代光学信息处理技术傅里叶变换定理dxdx证明过程如下
讨论(1)：g(x)是实函数，这时有
∞ ∞ −∞ −∞
g i ( x) = 0, g ( x) = g r ( x)
G ( f ) = ∫ g ( x ) cos 2πfxdx − j ∫ g ( x ) sin 2πfxdx
这时
R( f ) = ∫ g ( x) cos 2πfxdx
−∞
∞
偶函数 奇函数
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卷积的定义与性质:Matlab实现
– convn vs. 准确函数卷积的比较：
4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
3.1
x = linspace(-8,8,321); dx = x(2)-x(1); g1 = g(x); g2 = convn(f(x),h(x),'same')*dx; plot(x,g1,x,g2);
∞
−∞
x −ξ ∗ f (ξ ) g ∗ dξ = f ( x ) ∗ g ( − x ) −1
f(x,y)与g(x,y)的相关
g(x,y) 与f(x,y)的相关
– 相关的相似性量度
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富里叶变换理论
空间频率
– 空间频率的定义
对给定的i同j，物分布： A cos(x⋅2πi/N) B cos(y⋅2πj/M)＝ A cos(x⋅2πfx) Bcos(y⋅2πfy) 这里我们定义：
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相关的定义同性质
– 相关定义
rfg ( x, y ) = ∫∫ f (ξ ,η ) g ∗ (ξ − x,η − y )dξdη = f ( x, y ) ⊗ g ( x, y )
−∞ ∞
– 相关的四个过程：第二个函数取复共轭、位移、相乘、积分 – 自相关
−∞
∫ ∫ g ( x, y ) exp[− j 2π ( f
x
x + f y y ) dxdy = ℑ{g ( x, y )}
]
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傅里叶变换定理
– 虚、实、奇、偶函数傅里叶变换的性质
G ( f ) = ∫ g ( x )e
−∞ ∞ − j 2πfx
dx = ∫ g ( x ) cos 2πfxdx − j ∫ g ( x ) sin 2πfxdx
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
>> x = linspace(-2,2,321); >> dx=x(2)-x(1); >> subplot(2,1,1) >> plot(x,rect(x),'k','LineWidth',1.5); >> axis([-2 2 0 2]); >> g = convn(rect(x),rect(x),'same')*dx; >> subplot(2,1,2); >> plot(x,g,'k','LineWidth',1.5); >> axis([-2 2 0 2]);
G( f ) = G ∗ (− f )
富里叶变换理论
I ( f ) = − ∫ g ( x ) sin 2πfxdx
−∞
∞
我们称这样的函数G(f)是厄米型函数 ， 即
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傅里叶变换定理
– 虚、实、奇、偶函数傅里叶变换的性质 (2)g(x)是实值偶函数
∞ ∞ G ( f ) = ∫ g r ( x) cos 2πfxdx + ∫ g i ( x) sin 2πfxdx −∞ −∞ ∞ ∞ + j ∫ g i ( x) cos 2πfxdx − ∫ g r ( x) sin 2πfxdx −∞ −∞
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ℑ{ 1} = δ ( f x , f y )
傅里叶变换定理
– 物理意义
g ( x, y ) = ∫∫ G ( f x , f y ) exp j 2π ( f x x + f y y ) df x df y = ℑ−1 {G ( f x , f y )}
−∞ ∞
[
]
∞
G( f x , f y ) =
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3.05 3 2.95 2.9 2 2.5 3 3.5 4
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富里叶变换理论
卷积的定义与性质:Matlab实现
– MatLab卷积举例：DrawRectRectConv_3.m
2 1.5 1 0.5
rect(x)*rect(x) = tri(x)
0 -2 2 1.5 1 0.5 0 -2
• 可以模拟或去除噪声（以某种频率表示的） • 物理过程在频率域可以得到更好的表示或分析
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傅里叶变换定理
– 定义 类似于傅里叶级数正交展开，空间域函数看做复指数函数在整个连 续频率区间上的频谱加权（这里的加权就是频谱）积分和
g ( x) = ∫ G ( f )e j 2πfx df
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傅里叶变换定理
– 存在条件
g ( x ) = ∫ G ( f )e
−∞
∞
j 2πfx
df
G ( f ) = ∫ g ( x)e − j 2πfx dx
−∞
∞
1.函数绝对可积 2.在任一有限区域里，g(x,y)必须只有有限个间断点和有限个极大和极小点 3. g(x,y)必须没有无穷大间断点 根据存在条件知：Delta函数、正、余弦函数、阶跃函数不存在FT 但又：如果函数严格描述一个实际物理量，则上述条件自然满足；
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1
1、傅里叶变换基本内容
• 几种常用的函数
– – – – – – – 阶跃函数 符号函数 矩形函数 三角形函数 Sinc函数 高斯函数 园域函数
• 相关的定义及性质
– – – – 定义 物理意义 性质 卷积的MATLAB实现
• 空间频率 • FT定义及其存在条件
– – – – – – – – 定义及存在条件 广义傅里叶变换 虚、实、奇、偶函数FT的性质 可分离函数的FT FT-BESSAL变换 周期函数的变换 几种常用函数的傅里叶变换 几种常见图形的FT
(7<-1)v u(1->7) n w(1) w(2) w(3)
注意反转
n n
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卷积的定义与性质:Matlab实现
– Matlab convn 函数
• N维卷积
C = convn(A,B) C = convn(A,B,'shape')
C = convn(A,B) 计算阵列A 和 B的N维卷积。 结果的大小为 ：size(A)+size(B)-1. C = convn(A,B,‘shape’) 返回N维卷积，阵列大小由 shape 参数确定: ‘full’ 缺省尺寸 (default). ‘same’ 尺寸同 A. ‘valid’ 未补0的尺寸,其尺寸为 max(size(A)-size(B) + 1, 0)，size(A) >= size(B) X1=[1 2 3 ] X2=[1 2] Z1=convn(X1,X2,'full') Z2=convn(X1,X2,'same') Z3=convn(X1,X2,'valid') X1 =1 2 3 X2 =1 2 Z1 =1 4 7 6 %Full Z2 =4 7 6 %same Z3 =4 7 %valid
−∞
∞
其中
G ( f ) = ∫ g ( x)e − j 2πfx dx
−∞
∞
G(f)称为g(x)的傅里叶变换，或频谱。若g(x)表示某空间域的物理量， G(f)则是该物理量在频率域的表示形式。 – 振幅与相位频谱
G ( f ) = A( f )e jφ ( f )
A( f ) = G ( f ) 是g(x)的振幅频谱；φ(f)是g(x)的相位频谱。
w(k ) = ∑ u ( j )v(k + 1 − j )
j =1
k
这里对j的和是对所有的u(j)和 v(k+1-j)进行, 即j = max(1,k+1-n): min(k,m). w(1) = u(1)*v(1) w(2) = u(1)*v(2)+u(2)*v(1) (u：12，v：21) w(3) = u(1)*v(3)+u(2)*v(2)+u(3)*v(1) （u：123，v：321） w(n) = u(1)*v(n)+u(2)*v(n-1)+ ... +u(n)*v(1) w(2*n-1) = u(n)*v(n)
rff ( x, y ) = ∫∫ f (ξ ,η ) f ∗ (ξ − x,η − y )dξdη = f ( x, y ) ⊗ f ( x, y )
−∞ ∞
– 自相关性质
rff ( x, y) ≤ rff (0,0)
∗ rff ( x, y) = rff ( − x ,− y )
完全重合时，达到完全匹配 复函数f(x,y)，相关是厄米的 实函数f(x,y)，相关是偶函数
• 脉冲函数
– 定义及其性质 – 疏函数定义及其性质
• 卷积的定义及其性质
– 定义 – 物理意义 – 性质
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• FT的数值实现
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卷积的定义与性质:Matlab实现
– 卷积的MATLAB实现
w = conv(u,v) 定义 假使 m = length(u)， n = length(v). w 为一 m+n-1长度的矢量， 其第K个元素为
– 广义傅里叶变换
若函数可以看作是某个可变换函数所组成的序列的极限，对序列中每一函数进行变换， 组成一个新的变换式序列，这个新序列的极限就是原来函数的广义傅里叶变换
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y x g ( x, y ) = lim rect rect τ →∞ τ τ y x ℑrect rect = τ 2 sin c(τf x ) sin c(τf y ) τ τ x y ℑrect ( , ) = lim τ 2 sin c(τf x ) sin c(τf y ) = δ ( f x , f y ) τ τ τ →∞ τ →∞
fx = u =
i N
fy = v =
j M
The spatial frequency of i=1and j=1
我们发现，就单一频率的物分布来说，当空间频率确定的时候，物的分布也就确定了， 同其他空间参数并没有关系；对复合频率的物呢？
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空间频率
−∞ −∞Байду номын сангаас
∞
∞
令 g ( x) = g r ( x) + jg i ( x)
∞ ∞ G ( f ) = ∫ g r ( x) cos 2πfxdx + ∫ g i ( x) sin 2πfxdx + −∞ −∞ = R( f ) + jI ( f ) ∞ ∞ j ∫ g i ( x) cos 2πfxdx − ∫ g r ( x) sin 2πfxdx −∞ −∞