20-21版：1.2.2 组合(一)（创新设计）

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(2)∵338n－ ≤n2≤ 1＋3nn， ，∴9.5≤n≤10.5.∵n∈N*，∴n＝10，∴C338n－n＋C32n1＋n ＝ C230＋C131＝302× ×219＋31＝466.
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方向2 与组合数有关的证明 【例 2－2】 证明：mCmn ＝nCmn－－11. 证明 mCmn ＝m·m！（nn！ －m）！
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【训练 2】 (1)计算：C91800＋C129090； (2)证明：Cmn ＝n－n mCmn－1. (1)解 C91800＋C129090＝C2100＋C1200＝100× 2 99＋200＝4 950＋200＝5 150.
(2)证明 n－n mCmn－1＝n－n m·m！（ （nn－ －11） －！ m）！＝m！（nn！ －m）！＝Cmn .
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＝7×m！（7－10m×）7（×66－×m5）！（5－m）！，
∴1－6－6 m＝（7－m）6（ 0 6－m）， 即 m2－23m＋42＝0， 解得：m＝2 或 21. ∵0≤m≤5，m∈N*，∴m＝2， ∴C8m＋C58－m＝C28＋C38＝C39＝84.
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(2)从 6 名男教师中选 2 名的选法有 C26种，从 4 名女教师中选 2 名的选
法有
C
2 4
种.
根据分
步
乘法计
数
原理，
共
有不同
的
选法
C26·C24＝62× ×51
×42× ×31＝90(种).
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课堂小结 1.排列与组合的联系与区别 (1)联系：二者都是从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素. (2)区别：排列问题中元素有序，组合问题中元素无序.
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解 (1)已知集合的元素具有无序性，因此含 3 个元素的子集个数与元 素的顺序无关，是组合问题，共有 C37个. (2)发邮件与顺序有关，是排列问题，共写了 A28个电子邮件. (3)飞机票与起点站、终点站有关，故求飞机票的种数是排列问题，有 A24种飞机票；票价只与两站的距离有关，故票价的种数是组合问题， 有 C24种票价.
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题型二 组合数公式的应用 考查方向 方向1 化简与求值 【例2－1】 求值.
(1)3C38－2C25； (2)C338n－n＋C32n1＋n.
解 (1)3C38－2C25＝3×83× ×72× ×61－2×52× ×41＝148.
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2.关于组合数的计算 (1)涉及具体数字的可以直接用公式 Cmn ＝AAmmnm ＝n（n－1）（n－m2！）…（n－m＋1）计算；
(2)涉及字母的可以用阶乘式 Cmn ＝m！（nn！ －m）！计算； (3)计算时应注意利用组合数的性质 Cmn ＝Cnn－m简化运算.
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【训练1】 判断下列问题是组合还是排列，并用组合数或排列数表示出来. (1)若已知集合{1，2，3，4，5，6，7}，则集合的子集中有3个元素的有多少？ (2)8人相互发一个电子邮件，共写了多少个邮件？ (3)在北京、上海、广州、成都四个民航站之间的直达航线上，票价只与距离有关， 有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？
B.C310种 D.30 种
)
B.36
C.30
D.42
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解析 (1)三张票没区别，从 10 人中选 3 人即可，即 C310. (2)C26＋C57＝C26＋C27＝62× ×51＋72× ×61＝15＋21＝36. 答案 (1)B (2)B
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题型一 组合概念的理解 【例1】 给出下列问题：
(1)从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？ (2)从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？ (3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？ (4)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？ 在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？
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规律方法 (1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排 列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素 的顺序无关. (2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类和分步时，一定要 注意有无重复或遗漏.
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3.组合数的性质 Cnm＝_C__nn －_m__ Cnm＋1＝__C_nm___＋__C__mn _－_1 规定 C0n＝_1___.
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【预习评价】
(1)把三张游园票分给 10 个人中的 3 人，分法有( )
A.A310种 C.C310A310种 (2)C26＋C57的值为( A.72
＝（m－n1·（）n！－（1）n－！m）！
＝n·（m－（ 1）n！ －（ 1）n！ －m）！＝nCmn－－11.
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方向3 与组合数有关的方程或不等式 【例 2－3】 (1)已知C1m5 －C1m6 ＝107Cm7 ，求 Cm8 ＋C58－m.
(2)解不等式：C4n＞C6n. 解 (1)∵C1m5 －C1m6 ＝107Cm7 ， ∴m！（55－ ！m）！－m！（66－ ！m）！＝7×（170－×m7）！！m！， 即m！（55－ ！m）！－m！（6－6m×）5（！5－m）！
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题型三 组合的简单应用
【例3】 现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作 (其中有1名青年两项工作都能胜任).现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名 从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？
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(2)由 C4n＞C6n得 4n！ ≥（ 6 nn！ －4）！＞6！（nn！ －6）！，⇒nn2≥－69n－10＜0， ⇒－ n≥1＜ 6，n＜10，又 n∈N*， ∴该不等式的解集为{6，7，8，9}.
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规律方法 (1)组合数公式 Cmn ＝n（n－1）（n－m2！）…（n－m＋1）一般用于计算， 而组合数公式 Cnm＝m！（nn！ －m）！一般用于含字母的式子的化简与证明. (2)要善于挖掘题目中的隐含条件，简化解题过程，如组合数 Cmn 的隐含条件为 m≤n， 且 m，n∈N*. (3)计算时应注意利用组合数的两个性质： ①Cnm＝Cnn－m；②Cnm＋1＝Cmn ＋Cmn －1.
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1.2.2 组合(一)
学习目标 1.理解组合及组合数的概念(重点).2.能利用计数原理推导组合数公式，并会 应用公式解决简单的组合问题(重、难点).
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知识点1 组合的概念 一般地，从n个不同元素中___取__出__m_(_m_≤__n_)_个__元__素__合__成__一__组__，叫做从n个不同元素中取 出m个元素的一个组合.
规律方法 排列、组合问题的判断方法 (1)区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序. (2)区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意 两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题； 若无新变化，即说明无顺序，是组合问题.
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【预习评价】
(1)排列与组合有什么联系和区别？ (2)两个相同的排列有什么特点？两个相同的组合呢？ 提示 (1)排列与组合都是从n个不同元素中取出m个不同元素；不同之处是组合选出 的元素没有顺序，而排列选出的元素是有顺序的.组合是选择的结果，排列是先选再 排的结果. (2)两个相同的排列需元素相同且元素排列顺序相同.两个相同的组合是只要元素相同， 不看元素顺序如何.
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知识点2 组合数的概念及公式 1.组合的概念
从n个不同元素中__取__出__m__(m__≤__n_)个__元__素___的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素 中取出m个元素的组合数. 2.组合数公式 Cnm＝AAmnmm＝n_（__n_－__1_）__（__n_－__m2_！）__…__（__n_－__m__＋__1_）___＝_m__！__（__nn_！ －__m_）__！___(n，m∈N*， m≤n).
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解 (1)两名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题. (2)两名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题. (3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题. (4)冠、亚军是有顺序的，是排列问题.
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【训练3】 现有10名教师，其中6名男教师，4名女教师. (1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？ (2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？ 解 (1)从 10 名教师中选 2 名去参加会议的选法数，就是从 10 个不同元素 中取出 2 个元素的组合数，即 C210＝120××19＝45(种).
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解 可以分三类. 第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有 C24C23种选法； 第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有 C34C13种选法； 第三类，两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有 C34C23种选法. 根据分类加法计数原理，一共有 C24C23＋C34C13＋C34C23＝42(种)不同的选法.