陕西省汉中市重点中学2020届高三4月开学第一次联考数学(理)试题含答案

高三数学试卷（理科）
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 3．本试卷主要考试内容；高考全部内容．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}
0A x x =<，{}
2120B x x mx =+-=，若{}2A B =-I ，则m =（ ） A ．4 B ．4- C ．8 D ．8-
2．已知a ，b R ∈，()321ai b a i +=--，则3a bi +=（ ） A ．10 B ．23 C ．3 D ．4
3．设双曲线
()22
2027x y m m m
-=>的焦距为12．则m =（ ） A ．1 B ．3 C ．2 D ．4
4．设非零向量a r ，b r 满足3a b =r r ，1cos ,3
a b =r r ，()
16a a b ⋅-=r r r
，则b =r （ ）
A ．2
B ．3
C ．2
D ．5
5．将甲、乙、丙、丁、戊5名护士派往5所医院（含A 医院），每所医院派1名护士，则甲和乙都不派往A 医院的总派法数为（ ） A ．48 B ．60 C ．72 D ．96
6．如图所示的曲线图是2020年1月25日至2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断错误的是（ ）
A ．1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了
13
B ．1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势
C ．2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例
D ．2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率
7．若24log log 1x y +=，则2
x y +的最小值为（ ） A ．2 B ．23 C ．4 D ．22
8．若t 1
t a an 3n αα+
=，则cos4α=（ ） A ．79- B ．19- C ．79 D ．19
9．已知函数()f x 的图象关于点()1,0对称，当1x >时，()25f x x mx =-+，且()f x 在
(),0-∞上单调递增，则m 的取值范围为（ ）
A ．[)4,+∞
B ．[)2,+∞
C ．(],4-∞
D ．(],2-∞ 10．已知函数()sin 2sin 23f x x x π⎛
⎫
=++
⎪⎝
⎭
，则（ ） A ．()f x 的最小正周期为
2π B ．曲线()y f x =关于,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 C ．()f x 的最大值为2 D ．曲线()y f x =关于6
x π
=
对称
11．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AB AA =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，异面直线1AB 与1C F 所成角的余弦值为m ，则（ ）
A ．直线1A E 与直线1C F 异面，且23m =
B ．直线1A E 与直线1
C F 共面，且2
3
m =
C ．直线1A E 与直线1C F 异面，
且m = D ．直线1A E 与直线1C F 共面，
且m = 12．若曲线()11
x m
y xe x x =+<-+存在两条垂直于y 轴的切线，则m 的取值范围为（ ）
A ．427,0e ⎛⎫-
⎪⎝⎭ B ．427,0e -⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．427,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
D 4271,e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13．a ，b ，c 分别为ABC V 内角A ，B ，C 的对边．已知5sin a b A =．则sin B =________．
14．若x ，y 满足约束条件2
12
x y x y y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪<⎩
，则y z x =的取值范围为________．
15．四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的球面上，AB ，AC ，AD 两两垂直，且1AB =，2AC =，3AD =，则四面体ABCD 的体积为________，球O 的表面积为________．（本题第一空2分．第二空3分）
16．设()2,0A -，()2,0B ，若直线()0y ax a =>上存在一点P 满足6PA PB +=，且PAB
V 的内心到x
轴的距离为
20
，则a =________． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分． 17．（12分）
设等差数列{}n n a b -的公差为2，等比数列{}n n a b +的公比为2，且12a =，11b =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{
}22n
n a +的前n 项和n
S
．
18．（12分）
如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，E 为AB 的中点，PD CE ⊥，1AE =，3PD =
，
PC =
（1）证明：AD ⊥平面PCD ．
（2）求DA 与平面PCE 所成角的正弦值． 19．（12分）
某厂加工的零件按箱出厂，每箱有10个零件，在出厂之前需要对每箱的零件作检验，人工检验方法如下：先从每箱的零件中随机抽取4个零件，若抽取的零件都是正品或都是次品，则停止检验；若抽取的零件至少有1个至多有3个次品，则对剩下的6个零件逐一检验．已知每个零件检验合格的概率为0.8，每个零件是否检验合格相互独立，且每个零件的人工检验费为2元．
（1）设1箱零件人工检验总费用为X 元，求X 的分布列；
（2）除了人工检验方法外还有机器检验方法，机器检验需要对每箱的每个零件作检验，每个零件的检验费为1.6元．现有1000箱零件需要检验，以检验总费用的数学期望为依据，在人工检验与机器检验中，应该选择哪一个?说明你的理由． 20．（12分）
设抛物线()2
:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，AB 为抛物线C ．过焦点F 的弦，已知
以AB 为直径的圆与l 相切于点()1,0-． （1）求p 的值及圆的方程；
（2）设M 为l 上任意一点，过点M 作C 的切线，切点为N ，证明：MF NF ⊥． 21．（12分）
已知函数()3
f x x ax =+．
（1）讨论()f x 在(),a +∞上的单调性；
（2）若3a ≥-，求不等式(
)
(
)
2
642
2
24361282f x x x x x a x -+<+++++的解集． （二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C
的参数方程为21x y θ
θ
⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O
为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；
（2）若点P 的极坐标为()1,π，过P 的直线与曲线C 交于A ，B 两点，求11
PA PB
+的最大值．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数()221f x x x =-+-． （1）求不等式()3f x ≥的解集；
（2）记函数()f x 的最小值为m ，若a ，b ，c 均为正实数，且1
2
a b c m ++=，求222a b c ++的最小值．
参考答案
1．B 由{}2A B =-I ，可知2B -∈，所以()2
22120m ---=，解得4m =-．
2．A 因为()321ai b a i +=--，所以()3,21b a a =⎧⎨--=⎩，解得3
31b a =⎧⎨=⎩
，则3a bi +=
3．C 因为
22227x y m m -=可化为221414x y m m -=，所以2
21241418362c m m m ⎛⎫
=+=== ⎪⎝⎭
，则2m =．
4．A 3a b =r r Q ，1
,3
cos a b =r r ，()
2229816a a b b b b ∴⋅-=-==r r r r r r
，b ∴=r ．
5．C 因为甲和乙都不去A 医院，所以去A 医院的只有丙、丁、戊3名护士，故甲和乙都不
派往A 医院的总派法数为4
4372A =．
6．D 1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例共有87例，其中西安32例，所以西安所占比例为
321
873
>，故A 正确；由曲线图可知，1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势，故B 正确；2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了21311697-=例，故C 正确；2月8日到2月10日西安新冠肺炎累计确诊病例增加
了
988858844-=，2月6日到2月8日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了88747
7437-=
，显然753744
>，故D 错误． 7．C 因为()
2224444log log log log log 1x y x y x y +=+==，所以()240,0x y x y >=>， 则2224x y x y +≥=，当且仅当2
2x y ==时，等号成立，故2
x y +的最小值为4．
8．D 因为1sin cos 2tan 3tan cos sin sin 2ααααααα+=+==，所以2
sin 23
α=，所以21
cos 412sin 29
αα=-=．
9．C 依题意可得()f x 在()2,+∞上单调递增，则22
m
≤，即4m ≤．
10．D ()13sin 2sin 2cos 23sin 226f x x x x x π⎛⎫=+
+=+ ⎪⎝
⎭，则T π=．()f x 的最大值为3，曲线()y f x =关于6
x π
=
对称，但曲线()y f x =不关于,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称． 11．B 连接EF ，11A C ，1C D ，DF ，易证11//EF A C ，所以直线1A E 与直线1C F 共面．易证11//AB C D ，所以异面直线1AB 与1C F 所成角为1DC F ∠．设12AA =，则
122AB AA ==，则5DF =，13C F =，16C D =，由余弦定理12
cos 3236
m F DC =
=⨯⨯∠=．
12．A 由题意可得，()()
2
101x
m
y x e x '=+-
=+即()3
1x m x e =+在(),1-∞-上有两个不
同的解．设()()()3
11x
f x x e
x =+<-，()()()2
14x f x x e x '=++．
当4x <-时，()0f x '<；当41x -≤<-时，()0f x '>．所以()()4min 27
4f x f e
=-=-
，当1x <-时，()0f x < ，
故4
27,0m e ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
． 13．
15 因为5sin a b A =，所以sin 5sin sin A B A =，又sin 0A >，所以sin 15B =． 14．1,3
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
作出可行域，如图所示，则13OA k y z x ≥=
=，故z 的取值范围为1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
．
15．1；14π 因为AB ，AC ，AD 两两垂直，且1AB =，2AC =，3AD =，所以四面体ABCD
的体积11
123132V =⨯⨯⨯⨯=，球O 的表面积为2
2
2
2
123414ππ++⨯=⎝
⎭
． 163 由题可得点P 为直线()0y ax a =>与椭圆22
195x y +=的交点， 联立y ax =与22195x y +=，消去y 得2
24595
x a =+，则2224595a y a =+．
因为PAB V 的内心到x 330，所以PAB V 的内切圆的半径330
r =， 所以PAB V 的面积为
()11
22
A r
B y AB PA PB ⨯⨯=⨯⨯++， 即52
y r =，22
22
455252795444a y r a ===⨯+，解得23a =，又0a >，则3a = 17．解：（1）因为12a =，11b =，所以111a b -=，113a b +=， 2分 依题意可得，()12121n n a b n n -=+-=-， 3分
132n n n a b -+=⨯， 4分
故1
21322
n n n a --+⨯=． 6分
（2）由（1）可知，1
222152n n n a n -+=-+⨯， 8分
故()()
113215122n n S n -=+++-+⨯+++L L 9分
()()21215215252
n n n n n +-=+⨯-=⨯+-． 12分
18．（1）证明：因为E 为AB 的中点，1AE =， 所以2CD AB ==， 1分
所以222CD PD PC +=，从而PD CD ⊥． 2分 又PD CE ⊥，CD CE C =I ， 3分
所以PD ⊥底面ABCD ，所以PD AD ⊥． 4分 因为四边形ABCD 是正方形，所以AD CD ⊥． 5分 又CD PD D =I ，所以AD ⊥平面P CD ． 6分
（2）解：以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示， 则()2,0,0A ，()0,0,3P ，()2,1,0E ，()0,2,0C ， 7分
所以()2,1,3PE =-u u u r ，()2,1,0EC =-u u u r ，()2,0,0DA =u u u r
． 8分 设平面PCE 的法向量为(),,n x y z =r
，
则0PE E n n C =⋅⋅=u u u r u u u r r r ，即23020x y z x y +-=⎧⎨-+=⎩
， 9分
令3x =，得()3,6,4n =r
． 10分
361,n DA cos n DA n DA
⋅==
r u u u r
r u u u r r u u u r ， 11分 故DA 与平面PCE 所成角的正弦值为
361
． 12分
19．解：（1）X 的可能取值为8，20， 1分
()4480.80.011.242P X ==+=， 3分 ()2010.41120.5888P X ==-=， 5分
则X 的分布列为
6分
（2）由（1）知，80.4112200.588815.0656EX =⨯+⨯=， 8分 所以1000箱零件的人工检验总费用的数学期望为1000150656EX =.元． 9分 因为1000箱零件的机器检验总费用的数学期望为1.610100016000⨯⨯=元， 10分 且16000150656>.， 11分 所以应该选择人工检验． 12分 20．（1）解：由题意得l 的方程为2
p
x =-， 1分 所以12
p
-
=-解得2p =． 3分 又由抛物线和圆的对称性可知，所求圆的圆心为()1,0F ， 4分 所以圆的方程为()2
2
14x y -+=． 5分
（2）证明：易知直线MN 的斜率存在且不为0，
设()01,M y -，MN 的方程为()01y k x y =++，代入C 的方程， 得()2
0440ky y y k -++=． 6分
令()016160k y k ∆=-+=，得01
y k k
+=
， 7分 所以()222
044440k y ky ky y y k k -+-++=
=，解得2
y k
=． 将2y k =
代入C 的方程，得21x k =，即N 点的坐标为212,k k ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 9分 所以()02,FM y =-u u u u r ，2121,FN k
k ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭u u u r ， 10分
02222212
220FM FN y k k k k k k
⎛⎫⋅=-+⋅=-+-⋅= ⎪⎝⎭u u u u r u u u r ， 11分
故MF NF ⊥． 12分
21．解：（1）()23f x x a '=+． 1分
当0a ≥时，()0f x '≥，则()f x 在(),a +∞上单调递增． 2分
当0a <时，令()0f x '=，得x =． 3分
（ⅰ）当13a =-时，a =， 令()0f x '<，得a x a <<-；令()0f x '>，得x a >-．
所以()f x 的单调递减区间为(),a a -，单调递增区间为(),a -+∞． 4分
（ⅱ）当13a <-时，a >，
令()0f x '<，得x <<；令()0f x '>，得a x <<x >
所以()f x 的单调递减区间为⎛
⎝，单调递增区间为,a ⎛ ⎝，
⎫+∞⎪⎪⎭
． 5分
（ⅲ）当1
03
a -
<<时，a ，
令()0f x '<，得a x <<
()0f x '>，得x >
所以()f x 的单调递减区间为a ⎛ ⎝，单调递增区间为⎫+∞⎪⎪⎭
． 6分 （2）因为3a ≥-，所以()2
2
333f x x a x '=+-≥，当1x ≥时，()0f x '≥，所以()f x 在
[)1,+∞上单调递增． 8分
因为()()
()()3
6422222612822
22x x x a x x a x f x -+++++=+++=+，
所以原不等式等价于(
)(
)
2
2
2432f x x f x -+<+． 9分
因为()2
22432111x x x -+=-+≥，221x +>， 10分 所以222432x x x -++<， 11分
解得22x <<+
(2． 12分 22．解：（1
）由21x y θθ
⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩，得()()22215x y -++=， 2分
即2242x y x y +=-，所以2
4cos 2sin ρρθρθ=-， 4分
即4cos 2sin ρθθ=-，故曲线C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=-． 5分
（2）因为P 的极坐标为()1,π，所以P 的直角坐标为()1,0-， 故可设AB 的参数方程为1cos sin x t y t αα
=-+⎧⎨=⎩（α为参数）． 6分
将1cos sin x t y t αα
=-+⎧⎨=⎩代入()()22215x y -++=，得()22sin 6cos 50t t αα+-+=， 7分
则122sin 6cos t t αα+=-+，1250t t =>， 8分 所以
1112122sin 6cos 11115t t PA PB t t t t αα+-+=+=== 9分 故11PA PB +
． 10分 23．解：（1）当12
x <
时，由()3f x ≥，得333x -≥，则0x ≤； 1分 当122x ≤≤时，由()3f x ≥，得13x +≥，又122x ≤≤，则2x =； 2分 当2x >时，由()3f x ≥，得333x -≥，则2x >． 3分
故不等式()3f x ≥的解集为(][),02,-∞+∞U ． 5分
（2）因为()133,211,2233,2
x x f x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=+≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩，所以当12
x =时，()f x 取得最小值32，故
1
3
22a b c ++=． 7分
由柯西不等式()22
22222111122a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
++++≥
++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，
8分 当且仅当2224a b c ==，即13a =，2
3b c ==时，等号成立，
9分 所以2221a b c ++≥，故222a b c ++的最小值为1． 10分。