第2讲微分方程

，则当
1时，
级数收敛；当 1时，级数发散。
对于幂级数，若
lim
k
ak 1 ( x ak (x
x0 )k1 x0 )k
lim ak1 a k
k
x x0
1，则幂级数
绝对收敛。因此，幂级数的收敛区域为
x x0
lim k
ak ak 1
根式判别法 幂级数的收敛区域为
x x0
lim k k
解得
C1(t)
1
t 0
f ()sind T(0)
C2(t)
1
t 0
f ()cosd 1T(0)
1.3、变系数线性微分方程
一、求解欧拉型常微分方程
形如 ax2 y bxy cy f (x) 的方程叫欧拉方程。
例 1 欧拉型常微分方程
2R R m2R 0
作变量代换 et ，t ln ，则
级数解法 方程的解y(x)在点x0的邻域内无限次 可导，并可表示成泰勒级数形式：
y(x) ak(xx0)k
k0
其中，a0, a1, a2, ... , ak , ...是待定系数。只要能
够确定这些系数，也就得到了方程的解。
在x0 = 0的邻域上求解常微分方程
y2y 0 (是常数)
解： 显然，x0 = 0是方程的常点，可应用常点邻 域的级数解法。
函数y(x)的线性二阶常微分方程
ddx2y2 p(x)ddyxq(x)y0 y(x 0) C 0 , y(x 0 ) C 1
若函数p(x)和q(x)在点x = x0处无限次可导，则 称 x0为方程的常点；否则称x0为方程的奇点。
定理 若x0为方程的常点，则在x0的邻域内存在 满足初始条件的唯一解y(x)。
作业：
1. 求欧拉方程 x2 y 3xy y 0的通解。 2. 用常数变易法求方程 x2 y xy y 2ln x 的通解。 3. 用幂级数法求方程 y xy y 0 的通解。
谢谢捧场
12常系数非齐次线性微分方程二常数变易法一阶非齐次线性微分方程相应齐次方程的通解为常数变易法得非齐次方程的通解为二阶非齐次线性微分方程相应齐次方程的通解为常数变易法设非齐次方程的通解为pyqyx满足如下方程组求解出c二阶线性微分方程齐次方程的通解常数变易法设非齐次方程有一个解cossin一求解欧拉型常微分方程形如bxycy二二阶常系数齐次线性微分方程求解方程ypyqy0称为二阶常系数齐次线性微分方程其中pq均为常数
设常点邻域上的解y(x)可展为泰勒级数形式
y(x ) a kxk a 0 a 1 x 1 a 2x2 a kxk k 0
将上述泰勒级数形式代入方程，即可确定
待定系数a0, a1, a2, .... y(x)的二阶导数
y (x )k (k 1 )a kx k 2(k 2 )(k 1 )a k 2 x k
d 2 d
dt dt2 dt
dt 2
例2
ddrr2 ddRr l(l 1)R0
即
r2R 2rR l(l1 )R0
作变量代换 = et，则
d2R dR l(l1)R0
dt2 dt
二、二阶常系数齐次线性微分方程求解
方程
y+py+qy=0 称为二阶常系数齐次线性微分方程，其中p、
q均为常数。
二、常点邻域上的级数解法
k 2
k 0
代入方程，合并相同幂次项，得
(k2)(k1)ak22ak xk0
k0
等式右边为零，则幂级数各项系数为零，即
(k 2 )(k 1 )a k 22 a k 0
则待定系数之间有如下递推公式
ak2
(k
2
2)(k
1)
ak
递推得
a2
2
2 1
a0
，
2
(1)2 (2)2
a4 4 3 a2
dR dR dt dR 1 ，即 dR dR
d dt d dt
d dt
d2R
d 2
d
d
(dR )
d
d
d
( dR dt
1
)
1
2
dR dt
1
d
d
(dR ) dt
1 dR 1 d2R
2 dt 2 dt 2
即
2 d2R d2R dR d 2 dt2 dt
则
2 d2R dR m2R dR d2R dR m2R d2R m2R
例 二阶线性微分方程
T2Tf(t) 齐次方程的通解
T (t) C 1c o st C 2sint
常数变易法设非齐次方程有一个解
T (t) C 1 (t)c o st C 2 (t)s int
则系数C1(t), C2(t)满足如下方程组
C 1 (C t)1 c (to)ss in t tC 2 (tC )s2 i(nt )cto s 0tf(t)
a k
k
k 1
对于 y1(x) 应用比值判别法，得收敛区域为
| x2 | lim ak lim(2k 3)(2k 2)
a k
k
k 1
例2 在x0 = 0的邻域上求解常微分方程
y xy 0
解为 ya0y0(x)a1y1(x)
y0(x)k 0(3k(3k2)!)!!!x3k y1(x)k 0((33kk11))!!!!x3k1
4!
a0
a2k
(1)k 2k
(2k)!
a0
于是，方程的解为
a3
2
3 2
a1
a5
2
5 4
a3
4
5!
a1
a2k 1
(1)k 2k0
a2k x2k
a x2k1 2k 1
k 0
a0
cosx
a1
sin x
比值判别法
设正项级数
uk
k 1
，若极限 lim uk1
u k k
1 ak
方程的解为
y
a0
k 0
(1)k 2k
(2k )!
x2k
a1
k 0
(1)k 2k
(2k 1)!
x2k 1
记
y0(x)
(1)k 2k
a0
k 0
(2k )!
x2k
， y1(x) a1
k 0
(1)k 2k
(2k 1)!
x 2 k 1
对于 y0(x) 应用比值判别法，得收敛区域为
| x2 | lim ak lim(2k 2)(2k 1)