2021年兰州市诊断-文科数学-答案

3 n 2 (2n -1) (2n +1)
2021 年兰州市高三诊断考试数学（文科）参考答案及评分标准
1．A 2．B 3．A 4．C 5．C 6．D 7．B 8．C 9．D 10．D 11．D 12．B
12．【解析】反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，则过 P (4, 5) 另一条椭圆的切线斜率不存在，则
a = 4 ，所以离心率为 4
13． 14． 3
10
15． 4
16． 3
1
6. 【解析】如图所示虚线即为截面图形，根据边长可得周长为3 1
7. 【解析】
（Ⅰ）等差数列{a }的前n 项和 S
6（3 a 1 + a 63）
= n (a 1 + a n ) ，得 S 63 = 2 = 3a 32 = 9 n n
2 S 21 2（1 a 1 + a 21） 2
a 11
由题a 11 = 21可得a 32 = 63，等差数列{a n }的公差 d = 2 , a 1 = 1, 所以通项公式a n = 2n -1 ....................... 6 分 （Ⅱ）由(Ⅰ)可知b =
( = 1 ( 1 - 1
) 的前n 项和 T = 1 [(1- 1) + (1 - 1) + ...... + ( 1 - 1
)]， n
2 3 3 5
2n -1 2n +1 则.. T n
= 1
(1- 2
1 ) = 2n +1 n 2n +1 ..............................1
2 分 1
8. 【解析】
（Ⅰ）由题可知 A 是CD 的中点，AB = AC ，∆BCD 中 AB = AC = AD 所以∆CBD 为直角三角形， ∠CBD = 90︒ 即 BC ⊥ BD 由题可知 PB = 6 3 ， PC = 12 , BC = 6 ,
则有 PC 2 = PB 2 + BC 2 , BC ⊥ PB , PB BD = B 则 BC ⊥ 平面 PBD ..................................... 6 分
（ Ⅱ ） 由（ Ⅰ ） 可知 BC ⊥ 平面 PBD ，设点 D 到平面 PBC 的距离为 d ， 由 V D -PBC = V C -PBD 可得
1 ⋅ S 3 ∆PBC ⋅ d = 1 ⋅ S 3
∆PBD
⋅ 6 ， 因为 S ∆PBD 为等边三角形，所以 S ∆PBD = 27 ， S ∆PBC 为直角三角形，所以 S ∆PBC = 18 7
3
2
2 3
2n -1)(2n +1) 1
(x 1)2 y 2
y 2 4x 9 k ( y y 0 ) 2 x
y 2
4x y 2 ky 0 2 4 y y 16k 2 32k 2 32 16k 2 32 0 0 k 2 2
FA FB
( 1 4
y 2 1)( 2 1) y 1 y 2
y 2
4 ( y 1 y 2 )2 4 1 ( y 2 4 1 y 2 ) 1 y y 2 1 2 代入上式可知d 9 ，因为 A 是CD 的中点，所以点 A 到平面 PBC 的距离 9 2
1
9. 【解析】
（Ⅰ）乙同学模型的相关指数 R 2 更接近 1 ..................... 4 分
（Ⅱ）根据（1）的结论，应选择 z dx c 做为回归方程，根据公式，
8
............12 分
z 0.22x 2.42 ，故 y 关于 x 的回归方程为 y e 0.22x 2.42 ................. 8 分
（Ⅲ）当 x 25 时， y e
3.08
e 4 ，因此，近期当地不会发生虫害 ....... 12 分
2
0. 【解析】（Ⅰ）由已知得 F (1, 0) ，所以圆 F 的方程为(x
由 得 x 2
解得： x 2 或 x
4 ，由于 x 0 ，所以 x 2 ......................
5 分
y 2 y 2
（Ⅱ）设弦 AB 的中点为 M ， A ( 1 , y 1 ) ， B ( 2 , y 2 ) ， M (x 0 , y 0 ) 4 4
y 2 y 2
y y 则 x 0
1
2
， y 8
2
2
，设中垂线的方程为 y 0
2
k (x 0 4)(k
0) ，
则直线 AB 的斜率k AB
y 0
2k
y 0 k (x 0 4)(k
0)
则直线 AB 的方程为k ( y
2 由 得ky ，即 y
1 2
z d x 3.3 0.22 26
2.42 d x i z i nxz i 1
n x 2 2
5722 8 262 757 8 26 3.3
0.22 ， c i nx i 1
1)2 y 2
9
2x 8 0 y 1 y 2 4 2
1
4 y 2 2 4
y 2 y y 1 2 0
y 1
k
x 0 2
y 0 ) 2 x
4ky 8k 2 8 0 y 1 y 2 4k
8k 2 8
(0, 2 a )
(2 a , a 2 ) 1
[2 (a 2)
2
4
a 2
2] 3
4(k 2
21. 【解析】
1)2
4k 2
1 3 (8k 2
2 2
8) 1
4k 4 7 FA FB 的范围是( 7, 9) ..................... 12 分
（Ⅰ）当a 1时， f (x )
x
2 2x ln x ， f
（Ⅱ）可知 x 0 ,
f
函数图象在点(1, f (1)) 处的切线方程为 y
3 ....................... 5 分
2
令 f (x ) 0 ，得 x a 2 或
x ＝2 a ，由a 2 (2 a ) a 2 a 2 0 得， a
2 或 a
因此当 a
2 时， a 2 ，由于 x
和 x 时 f (x ) 0 ， x 时
f (x ) 0 ,因此，函数在(0,
) 内有两个极值点，不满足条件；
当 a
2 时， f (x ) 0 ，函数为(0,
) 上的增函数，无极值，不满足条件；
当 2 a 0 或0 a 1时， 2 a a 2 0 ，可知函数在(0,
) 内有两个极值点，不满足条件；
当1 a 2 时， a 2 2 a 0 ，可知函数在(0,
) 内有两个极值点，不满足条件；
当 a 2 时， a 2 0 2 a ，可知函数在(0,
) 内有且只有一个极值 f (a 2 )
f (a 2
) 1 a 4 (a 2
a 2)a 2
(a 3
2a 2
) l n a 2
a 2
[ 1 a 2 a 2 2(a
2) ln a ]
2 2
1 a 2
a
2 1 a 2 2a 4 g (a 2 ) 2
a 2 2 a 2
当且仅当a
4 时“＝”成立因此， g (x )
f (x 0 ) 2 ln a 的最大值是 3 ........................
12 分 0
(a 2)x
2. 【解析】
（Ⅰ）若r = 3，曲线C 的直角坐标方程为：(x - 4)2 + y 2 = 9 ，双曲线C ： y 2 - x 2 = 4 ，一条渐近线方程
2
1
1
(a 2 2 4
a 2 2) x 2 (a 2 a 2)x (a 3 2a 2 )
x
(x a 2 )[(x (2 a )]
x (x ) x 2
1 x x
2 2x 1
x
f (1)
3
, f (1) 0
2
(x ) x (a 2 a 2) (a 3 2a 2 ) 1 x
1
2 a 0 (a 2 , )
2
28 cos 7 0
4
(x - 4)2+y 2
0 0
(x - 4)2+ 4 +x 2
0 0
2x 2- 8x + 20
0 0
x
2
a
1
1 2
2
⎩
| AB | |
1 2
| (
1 2
) 2 4 1 2 2
为: x -y = 0 ,圆心(4，0)到直线的距离d = = 2 ，( )2= 9 -8 =1 ，则AB = 2 ............. 5 分
2
另解：可知双曲线C ：y2-x2= 4 ，一条渐近线方程为: x -y = 0 ，其极坐标方程为
由得2 4 2 7 0 ，故 4 2 ，
（Ⅱ）若r =1，曲线C的直角坐标方程为：(x - 4)2+y2=1 ，圆心(4，0)，半径R =1 ，
设双曲线C 上任取点P(x , y ) ，则PC ===，
1 0 0 2
当x0 = 2 时，PC2
min
2 3 ，PQ
min
PC
2 min
R 2 3 1 ....................... 10 分
23.【解析】
a ⎧⎪x2- 2x + 3, x ≥ 2,
（Ⅰ）当时，函数的解析式可化为：f (x) =⎨
⎪-x2+ 2x + 3, x < 2,
故函数图象如图
（Ⅱ）①当a0 时，f (x) 2x 3 x 在x 0 时显然成立；
..........................5 分
②当a 0 时，由于x 0 ，a x 2 0 ，故f (x)
f (x)
③当a
x ax2
0 时，
x 3 0 ，此式显然在x
2
0 时成立；
1 1 2
当时，f (x) ax 2x 3 ，当x(0, ) 时函数增，当x
a
( , ］时函数减，
a a
2
当x 时，f (x)
a
ax22x 3 ，函数为增函数
因此，当x 0 时，f (x)
4 - 0
2
AB
4
( R)
1 2
7
1
ax22x 3
f (
2
) f (0) 3
a
令g(x) x ，若要f (x)
2 2
恒成立，只需g( ) 3 ，所以a
综上可知，当a 0 或a
a a
2
时，满足条件........................... 10 分
3
2
3 x。