高等工程数学考试题及参考解答(仅供参考)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
考试题及参考解答(参考)
一、填空题(每小题3分,共15分) 1,设总体X 服从正态分布(0,4)N ,而12
15(,,)X X X 是来自X 的样本,则22
110
22
11152()
X X U X X ++=++服从的分布是_______ .
解:(10,5)F .
2,ˆn
θ是总体未知参数θ的相合估计量的一个充分条件是_______ . 解:ˆˆlim (), lim Var()0n n
n n E θθθ→∞
→∞
==. 3,分布拟合检验方法有_______ 与____ ___. 解:2
χ检验、柯尔莫哥洛夫检验. 4,方差分析的目的是_______ .
解:推断各因素对试验结果影响是否显著.
5,多元线性回归模型=+Y βX ε中,β的最小二乘估计ˆβ的协方差矩阵ˆβCov()=_______ . 解:1ˆσ-'2Cov(β)
=()X X . 二、单项选择题(每小题3分,共15分)
1,设总体~(1,9)X N ,129(,,
,)X X X 是X 的样本,则___B___ .
(A )
1~(0,1)3X N -; (B )1
~(0,1)1X N -; (C )
1
~(0,1)
9X N -; (D ~(0,1)N . 2,若总体2(,)X
N μσ,其中2σ已知,当样本容量n 保持不变时,如果置信度1α-减小,则μ的
置信区间____B___ .
(A )长度变大; (B )长度变小; (C )长度不变; (D )前述都有可能.
3,在假设检验中,就检验结果而言,以下说法正确的是____B___ . (A )拒绝和接受原假设的理由都是充分的;
(B )拒绝原假设的理由是充分的,接受原假设的理由是不充分的; (C )拒绝原假设的理由是不充分的,接受原假设的理由是充分的; (D )拒绝和接受原假设的理由都是不充分的.
4,对于单因素试验方差分析的数学模型,设T S 为总离差平方和,e S 为误差平方和,A S 为效应平方和,则总有___A___ .
(A )T e A S S S =+; (B )
22
(1)A
S r χσ
-;
(C )
/(1)(1,)/()
A e S r F r n r S n r ----; (D )A S 与e S 相互独立.
5,在多元线性回归分析中,设ˆβ
是β的最小二乘估计,ˆˆ=-εY βX 是残差向量,则___B____ . (A )ˆn E ()=0ε
; (B )1ˆ]σ-''-εX X 2n Cov()=[()I X X ; (C )
ˆˆ1
n p '--εε是2
σ的无偏估计; (D )(A )、(B )、(C )都对.
三、(本题10分)设总体21(,)X
N μσ、22(,)Y N μσ,112(,,
,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别
是来自X 和Y 的样本,且两个样本相互独立,X Y 、和2
2
X Y S S 、分别是它们的样本均值和样本方差,证明
12(2)X Y t n n +-,
其中22
2
1212(1)(1)2
X Y
n S n S S n n ω-+-=+-.
证明:易知
2
2
121
2
(,
)X Y
N n n σσμμ--+
,
(0,1)X Y U N =
.
由定理可知
2
2
112
(1)(1)X
n S n χσ--,
2
2222
(1)(1)Y
n S n χσ--.
由独立性和2
χ分布的可加性可得
2
2
212122
2
(1)(1)(2)X
Y
n S n S V n n χσ
σ
--=
+
+-.
由U 与V 得独立性和t 分布的定义可得
12(2)X Y t n n =
+-.
四、(本题10分)设总体X 的概率密度为1
, 0,21
(;), 1,2(1)0, x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪
⎪⎪⎩
其他,其中参数01)θ
θ<<( 未知,12()n X X X ,,,是来自总体的一个样本,X 是样本均值,(1)求参数;的矩估计量θθˆ(2)证
明2
4X 不是2
θ的无偏估计量.
解:(1)
10
1()(,)22(1)42
x x E X xf x dx dx dx θθθ
θθθ+∞-∞
==+=+-⎰
⎰
⎰,
令()X E X =,代入上式得到θ的矩估计量为1ˆ22
X θ
=-. (2)
22221114
1 (4)44[()]4()424E X EX DX EX DX DX n n
θθθ⎡⎤==+=++=+++⎢⎥⎣⎦,
因为()00D X θ≥>,,所以2
2
(4)E X θ>.故24X 不是2
θ的无偏估计量.
五、(本题10分)设总体X 服从[0,](0)θθ>上的均匀分布,12(,,)n X X X 是来自总体X 的一个
样本,试求参数θ的极大似然估计. 解:X 的密度函数为
1
,0;(,)0,x f x θ
θθ≤≤⎧=⎨
⎩
其他, 似然函数为
1
,0,1,2,,,
()0,
n i x i n L θθθ<<=⎧⎪=⎨
⎪⎩其它
显然0θ>时,()L θ是单调减函数,而{}12max ,,,n x x x θ≥,所以{}12
ˆmax ,,,n X X X θ=是θ的
极大似然估计.
六、(本题10分)设总体X 服从(1,)B p 分布,12(,,)n X X X 为总体的样本,证明X 是参数p 的一
个UMVUE .
证明:X 的分布律为
1(;)(1),0,1x x f x p p p x -=-=.
容易验证(;)f x p 满足正则条件,于是
2
1
()ln (;)(1)I p E f x p p p p ⎡⎤∂==⎢⎥∂-⎣⎦
.
另一方面
1(1)1Var()Var()()
p p X X n n nI p -=
==, 即X 得方差达到C-R 下界的无偏估计量,故X 是p 的一个UMVUE .
七、(本题10分)某异常区的磁场强度服从正态分布2
0(,)N μσ,由以前的观测可知056μ=.现有