华中科技大学 工程流体力学 第6章 相似理论和量纲分析习题解答

第6章 相似理论和量纲分析
----习题参考答案(6原为5)
6.1 解：贮水箱贮水主要受重力作用，所以动力相似的条件为傅汝德数相等。

即：
v =，
m p v v ==
v C =又 =⨯流量速度面积
5
2
2m m m Q v S v l l p p p Q v S C C C C C C Q v S =====
因 33
333///p m m m m
Q l t p p p p m t Q l t l C C C Q l t l t ====
则 532/l
l
t C C C =， 1
2m
t l p
t C C t ==
求得实物贮水箱贮水的时间为
12/460min p m l
t t C ===
6.2 解：依题意只计重力影响，可得动力相似的条件为傅汝德数相等。

即：
v =，
m v v v ==, 已知 21400l S C C =
=， 则 1
20
l C =
， 所以模型长度为 1
60 3 m 20
m p l l l C ==⨯=，
船速为
6 1.34 m/s m v =≈. 6.3 解：由量纲分析推得汽车所受的阻力为：
22(Re)R v l f ρ=
两流动若要动力相似，它们的雷诺数必须相等，即 由
p p
m m
p
m
v l v l νν=
，已知1
6
m l p l C l =
=，p m ννν==
得：
16
p m l m
p v l C v l =
== 又 222222221m
p
p p p p
m m m m R v l v l R v l v l
ρρ===，于是得原型的阻力为：
510p m R R ==N 。

6.4 解：(1)与兴波阻力有关的相似准数为傅汝德数。

由
v =， 已知 37000
10.28 m/s 3600
p v =
≈，
船模速度 (拖车速度)为
10.28 1.88 m/s m v v =≈≈； (2) 由兴波阻力系数相等： 2222
112
2
p m p p m m R R v l v l ρρ=
，
得：22
3
310.1930275130 N p p p p m m m m m v l l R R R v l l ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
===⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
6.5 解： 已知25e v =m/s ，30e m h h ==m ，/1/6m e g g =。

依题意射流仅克服重力做功，可得动力相似条件为傅汝德数相等。

即：
=
可得在月球上的速度为
2510.2m v v v ===≈m/s 。

6.6 解：依题有(,,)s f m g t =, 由指数法有s Km g t αβγ=，式中，K 为无量纲数，指数,,αβγ待定。

等式两边写成量纲方程得
[][][][]s m g t αβγ=，
将各物理量的量纲用基本量纲表示代入上式得
2[][][][]L M LT T αβγ-=
由量纲和谐原理知，等式两边各基本量纲的指数应分别相等，于是有
L ： 1β= M ： 0α= T ： 02βγ=-+
解得：0, 1, 2αβγ===，于是有：0122s Km g t Kgt ==
6.7 解：依题意有 (,,,,)0f T l g ρμ=
选,,l g ρ为基本物理量，据π定理可得5－3＝2个无量纲π项，即 111222
12, x y z x y z T l g l g μ
ππρρ
=
= 对1π项，由量纲和谐原理可得
11123[][][/][/]x y z T L L T M L =
L ： 11103x y z =+- M ： 10z = T ： 112y =-
解得 11111, , 022x y z ==-= 故 1T π=对2π项，由量纲和谐原理可得
22223[/][][/][/]x y z M LT L L T M L =
L ： 22213x y z -=+- M ： 21z = T ： 212y -=-
得
22231
, , 122x y z === 故 2π=
所以得到单摆周期T 与其它量的函数关系：T
⎛⎫=
6.8 解：略
6.9 解：依题意有 (,,,,)0f R v l ρμ=
选,,l v ρ为基本物理量，可得5－3＝2个无量纲π项，即 111222
12, x y z x y z R l v l v μ
ππρρ
=
= 对1π进行量纲分析，由
11123[/][][/][/]x y z ML T L L T M L =
L ： 11113x y z =+- M ： 11z = T ： 12y -=-
得 1112, 2, 1x y z === 故 122
R
l v
πρ= 对2π进行量纲分析，由
2223[/][][/][/]x y z M LT L L T M L =
L ： 22213x y z -=+- M ： 21z = T ： 21y -=-
得 2221, 1, 1x y z === 故 21Re
lv μπρ=
=， 所以鱼雷在水中所受阻力R 的表达式为：22(Re)R l v f ρ=
6.10 解：依题意有 (,,,,)0F f U d μρ=
选,,U d ρ为基本物理量，可得5－3＝2个无量纲π项，即
111222
12, x y z x y z f U d U d
μ
ππρρ=
= 对1π项，由量纲和谐原理可得
1113[1/][/][/][]x y z T M L L T L =
L ： 11103x y z =-++ M ： 10x = T ： 11y -=-
解得 1110, 1, 1x y z ===- 故 1fd
St U
π== 对2π项，由量纲和谐原理可得
2223[/][/][/][]x y z M LT M L L T L =
L ： 22213x y z -=-++ M ： 21x = T ： 21y -=-
解得 2221, 1, 1x y z === 故 21
Re
Ud
μπρ=
=
所以
1(Re)Re fd F F U ⎛⎫== ⎪⎝⎭。