高考动点轨迹方程的常用求法(含练习题及答案)精编版

轨迹方程的经典求法
一、定义法：运用有关曲线的定义求轨迹方程．
例2：在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程． 解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M 为重心，则有
2
39263
BM CM +=⨯=．
M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆， 其中1213c a ==，．225b a c =-=∴．
∴所求ABC △的重心的轨迹方程为
22
1(0)16925
x y y +=≠． 二、直接法：直接根据等量关系式建立方程.
例1：已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PA PB x =u u u r u u u r
·，则点P 的轨迹是（ ） A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线
解析：由题知(2)PA x y =---u u u r ，，(3)PB x y =--u u u r ，，由2PA PB x =u u u r u u u r
·，得22(2)(3)x x y x ---+=，即26y x =+， P ∴点轨迹为抛物线．故选D ．
三、代入法：此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题.
例3：已知△ABC 的顶点(30)(10)B C -，，，，顶点A 在抛物线2y x =上运动，求ABC △的重心G 的轨迹方程． 解：设()G x y ，，00()A x y ，，由重心公式，得00313
3x x y y -++⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，，00323x x y y =+⎧⎨=⎩， ①∴． ②
又00()A x y ，∵在抛物线2y x =上，2
00y x =∴． ③
将①，②代入③，得23(32)(0)y x y =+≠，即所求曲线方程是24
34(0)3
y x x y =++≠．
四、待定系数法：当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法解决.
例5：已知A ，B ，D 三点不在一条直线上，且(20)A -，，(20)B ，，2AD =u u u r ，1()2
AE AB AD =+u u u r u u u r u u u r
．
（1）求E 点轨迹方程；
（2）过A 作直线交以A B ，为焦点的椭圆于M N ，两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为4
5
，且直线MN 与E 点的轨迹相切，求椭圆方程．
解：（1）设()E x y ，，由1()2
AE AB AD =+u u u r u u u r u u u r
知E 为BD 中点，易知(222)D x y -，．
又2AD =u u u r
，则22(222)(2)4x y -++=． 即E 点轨迹方程为221(0)x y y +=≠； （2）设1122()()M x y N x y ，，，，中点00()x y ，．
由题意设椭圆方程为22
2214
x y a a +=-，直线MN 方程为(2)y k x =+．
∵直线MN 与E 点的轨迹相切，2211
k k =+∴
，解得3k =±
． 将3y =±(2)x +代入椭圆方程并整理，得22224
4(3)41630a x a x a a -++-=，2120222(3)x x a x a +=
=--∴， 又由题意知045
x =-，即2242(3)5a a =-，解得2
8a =．故所求的椭圆方程为22184x y +=．
五、参数法：如果不易直接找出动点坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把x ，y 联系起来 例4：已知线段2AA a '=，直线l 垂直平分AA '于O ，在l 上取两点P P '，，使其满足4OP OP '=u u u r u u u u r ·，
求直线AP 与A P ''的交点M 的轨迹方程．
解：如图2，以线段AA '所在直线为x 轴，以线段AA '的中垂线为y 轴建立直角坐标系． 设点(0)(0)P t t ≠，， 则由题意，得40P t ⎛⎫
' ⎪⎝⎭
，．
由点斜式得直线AP A P ''，的方程分别为4
()()t y x a y x a a ta =+=--，．
两式相乘，消去t ，得2
2
2
2
44(0)x a y a y +=≠．这就是所求点M 的轨迹方程．
评析：参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变.
配套训练
一、选择题
1. 已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )
A.圆
B.椭圆
C.双曲线的一支
D.抛物线
2. 设A 1、A 2是椭圆4
92
2y x +
=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )
A.14
92
2=+y x
B.14922=+x y
C.1492
2=-y x D.14
92
2=-x y
二、填空题
3. △ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－2a ,0),C (2
a ,0)，且满足条件sin C －sin B =21
sin A ,则动点A 的轨
迹方程为_________.
4. 高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m ，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A (－5，0)、B (5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.
三、解答题
5. 已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB |=|BC |=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.
6. 双曲线22
22b
y a x -=1的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q
的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程.
7. 已知双曲线22
22n
y m x -=1(m ＞0,n ＞0)的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q .
(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程；
(2)当m ≠n 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.
8.已知椭圆22
22b
y a x =1(a ＞b ＞0),点P 为其上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点
F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R .
(1)当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程；
(2)设点R 形成的曲线为C ，直线l ：y =k (x +2a )与曲线C 相交于A 、B 两点，当△AOB 的面积取得最大值时，求k 的值.
参考答案
配套训练
一、1.解析：∵|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PQ |=|PF 2|,
∴|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PQ |=2a ,
即|F 1Q |=2a ,∴动点Q 到定点F 1的距离等于定长2a ,故动点Q 的轨迹是圆.
答案：A
2.解析：设交点P (x ,y ）,A 1(－3,0),A 2(3,0),P 1(x 0,y 0),P 2(x 0,－y 0)
∵A 1、P 1、P 共线，∴
300+=--x y x x y y ∵A 2、P 2、P 共线，∴3
00-=
-+x y
x x y y 解得x 0=14
9,149,3,92
22
02
00=-=-=y x y x x y y x 即代入得
答案：C
二、3.解析：由sin C －sin B =
21sin A ,得c －b =2
1
a , ∴应为双曲线一支，且实轴长为2a
,故方程为)4(1316162222a x a y a x >=-
. 答案：)4(1316162
222a
x a y a x >=-
4.解析：设P (x ,y ），依题意有
2
22
2)5(3)5(5y x y x +-=
++,化简得P 点轨迹方程为4x 2+4y 2－85x +100=0.
答案：4x 2+4y 2－85x +100=0
三、5.解：设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点，两切线交于点P .由切线的性质知：|BA |=|BD |，|PD |=|PE |，|CA |=|CE |，故|PB |+|PC |=|BD |+|PD |+|PC |=|BA |+|PE |+|PC |
=|BA |+|CE |=|AB |+|CA |=6+12=18＞6=|BC |，故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆，以l
所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨迹方程为72
812
2y x +
=1(y ≠0) 6.解：设P (x 0,y 0）(x ≠±a ),Q (x ,y ).∵A 1(－a ,0),A 2(a ,0).
由条件⎪⎩⎪⎨⎧-=±≠-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+y a x y a x x x a
x y a x y a x y a x y 2
2000000
0)( 11得 而点
P (x 0,y 0)在双曲线上，∴b 2x 02－a 2y 02=a 2b 2，即
b 2(－x 2)－a 2(
y
a x 22-)2=a 2
b 2
化简得Q 点的轨迹方程为：a 2x 2－b 2y 2=a 4(x ≠±a ).
7.解：(1)设P 点的坐标为(x 1,y 1)，则Q 点坐标为(x 1,－y 1),又有A 1(－m ,0),A 2(m ,0),
则A 1P 的方程为：y =
)(11
m x m
x y ++ ①
A 2Q 的方程为：y =－
)(11
m x m
x y -- ②
①×②得：y 2=－
)(222
2
12
1
m x m
x y --
③
又因点P 在双曲线上，故).(,122
1222122
1221m x m n y n y m x -==-即
代入③并整理得22
22n
y m x +=1.此即为M 的轨迹方程.
(2)当m ≠n 时，M 的轨迹方程是椭圆.
(ⅰ)当m ＞n 时，焦点坐标为(±2
2
n m -,0)，准线方程为x =±222
n
m m -,离心率e =m n m 2
2-；
(ⅱ)当m ＜n 时，焦点坐标为(0,±2
2
n m -),准线方程为y =±222
m
n n -,离心率e =n m n 2
2-.
8.解：(1)∵点F 2关于l 的对称点为Q ，连接PQ ，
∴∠F 2PR =∠QPR ，|F 2R |=|QR |，|PQ |=|PF 2|
又因为l 为∠F 1PF 2外角的平分线，故点F 1、P 、Q 在同一直线上，设存在R (x 0,y 0）,Q (x 1,y 1),F 1(－c ,0),F 2(c ,0). |F 1Q |=|F 2P |+|PQ |=|F 1P |+|PF 2|=2a ,则(x 1+c )2+y 12=(2a )2.
又⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+=221
010y y c x x 得x 1=2x 0－c ,y 1=2y 0.
∴(2x 0)2+(2y 0)2=(2a )2，∴x 02+y 02=a 2. 故R 的轨迹方程为：x 2+y 2=a 2(y ≠0)
(2)如右图，∵S △AOB =2
1
|OA |·|OB |·sin AOB =22a sin AOB
当∠AOB =90°时，S △AOB 最大值为2
1
a 2.
此时弦心距|OC |=
2
1|2|k
ak +.
在Rt △AOC 中，∠AOC =45°，
.3
3
,2245cos 1|2|||||2±=∴=︒=+=∴
k k a ak OA OC。