2019-2020学年广西壮族自治区桂林市新世纪高级中学高二数学文上学期期末试题含解析

2019-2020学年广西壮族自治区桂林市新世纪高级中学高二数学文上学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 平面向量与夹角为，，则（）
A．7 B． C．
D．3
参考答案：
C
2. 设i是虚数单位，则复数
（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
略
3. 抛物线的准线方程为
A． B． C．
D．
参考答案：
C
略
4. “所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理方法属于（）
A．演绎推理 B．类比推理 C．合情推
理 D．归纳推理
参考答案：
A
略
5. 已知双曲线：（）的离心率为，则的渐近线方程为
....
参考答案：
C
略
6. 已知命题p：?x∈R，x2+x+1≤0，则（）
A．p是真命题，￢p：?x0∈R，使得x02+x0+1＞0
B．p是真命题，￢p：?x∈R，使得x2+x+1＞0
C．p是假命题，￢p：?x0∈R，使得x02+x0+1＞0
D．p是假命题，￢p：?x∈R，使得x2+x+1＞0
参考答案：
C
【考点】全称命题．
【分析】根据一元二次函数和不等式的关系判断命题的真假，根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．
【解答】解：命题是全称命题，
∵判别式△=1﹣4=﹣3＜0，
∴?x∈R，x2+x+1＞0，故命题p是假命题，
∵命题是全称命题则命题的否定是￢p：?x0∈R，使得x02+x0+1＞0，
故选：C．
7. 若f（x）=（m﹣2）x2+2mx+1是偶函数，则f（﹣1），f（0），f（2）从小到大的顺序是（）
A．f（0）＜f（2）＜f（1） B．f（﹣1）＜f（﹣2）＜f（0）C．f（2）＜f（﹣1）＜f（0）D．f（0）＜f（﹣1）＜f（2）
参考答案：
C
【考点】3L：函数奇偶性的性质．
【分析】根据题意，由二次函数和偶函数的性质分析可得m=0，即可得函数的解析式，分
析可得其在区间[0，+∞）上为减函数，比较可得0＜|﹣1|＜|2|，结合函数的单调性即可得答案．
【解答】解：根据题意，若f（x）=（m﹣2）x2+2mx+1是偶函数，
则其对称轴x=﹣=0，即m=0，
则函数f（x）=﹣2x2+1，在区间[0，+∞）上为减函数，
又由0＜|﹣1|＜|2|，
则f（2）＜f（﹣1）＜f（0）；
故选：C．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质，关键是求出m的值，确定函数单调性及单调区间．
8. 过点(2,－3)且斜率为2的直线方程为( )
A. B. C. D.
参考答案：
B
9. 参考答案：
B
10. 下列等于1的积分是（）
A． B．C．
D．
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. ，当时，f(x)＜m恒成立，则实数m的取值范围
为.
参考答案：
(7,+∞)
12. 曲线y=x2+在点（1，2）处的切线方程为．
参考答案：
x﹣y+1=0
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，利用点斜式求解切线方程即可．
【解答】解：曲线y=x2+，可得y′=2x﹣，
切线的斜率为：k=2﹣1=1．
切线方程为：y﹣2=x﹣1，即：x﹣y+1=0．
故答案为：x﹣y+1=0．
13. 设F1和F2是双曲线﹣y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是_________．
参考答案：
1
略
14. 已知是不同的平面，是不同的直线，给出下列4个命题：
①若则②若则
③若则；④若则
则其中真命题的个数为▲个．
参考答案：
1
15. 已知函数有四个零点，则实数a的取值范围是
__________．
参考答案：
(－2,0)
【分析】
由题意可知是偶函数，根据对称性问题转化为直线与曲线
有两个交点.
【详解】因为是偶函数，根据对称性，在上有两个不同的实根，即在上有两个不同的实根，等价转化为直线与曲线
有两个交点，而，则当时，，当时，，所以函数在上是减函数，在上是增函数，于是，故
故答案为：(－2,0)
【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形
16. 设为等差数列的前项和，若，，则
参考答案：
9
17. 如果函数y的图像与曲线恰好有两个不同的公共点,则实数的取值范围为______________.
参考答案：
∪
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （13分）已知函数y=x3－3x2.
（1）求函数的极小值；
（2）求函数的递增区间.
参考答案：
（1）∵ y=x3－3x2，∴ =3x2－6x，……………………………（3分）
当时，；当时，. …………………………………（6分）∴ 当x=2时，函数有极小值-4. …………………………………………………（8分）（2）由=3x2-6x >0，解得x<0或x>2，…………………………………………（11分）
∴ 递增区间是，. ………………………………………………（13分）19. （本大题满分13分）
已知函数.
（1）求的单调递减区间.
（2）若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值.
解：（1）······3分
························5分
减区间为
························7分（2）由（1）知，在上单调递减上单调递增
·········10分
(12)
分
····································13分
略
20. 设直线l的方程为y=kx+b（其中k的值与b无关），圆M的方程为x2+y2﹣2x﹣4=0．（1）如果不论k取何值，直线l与圆M总有两个不同的交点，求b的取值范围；
（2）b=1，l与圆交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．
参考答案：
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】（1）若不论k取何值，直线l与圆M总有两个不同的交点，则（0，b）点在圆M：x2+y2﹣2x﹣4=0的内部，进而得到b的取值范围；
（2）b=1时，l必过（0，1）点，当l过圆心时，|AB|取最大值，当l和过（0，1）的直径垂直时，|AB|取最小值．
【解答】解：（1）若不论k取何值，直线l与圆M总有两个不同的交点，
则（0，b）点在圆M：x2+y2﹣2x﹣4=0的内部，
即b2﹣4＜0，
解得：﹣2＜b＜2；
（2）当b=1时，l必过（0，1）点，
当l过圆心时，|AB|取最大值，即圆的直径，
由M：x2+y2﹣2x﹣4=0的半径r=，
故|AB|的最大值为2，
当l和过（0，1）的直径垂直时，|AB|取最小值．
此时圆心M（1，0）到（0，1）的距离d=，
|AB|=2=2，
故|AB|的最小值为2．
21. 已知动圆M经过点A（﹣2，0），且与圆B：（x﹣2）2+y2=4相内切（B为圆心）．（1）求动圆的圆心M的轨迹C的方程；
（2）过点B且斜率为2的直线与轨迹C交于P，Q两点，求△APQ的周长．
参考答案：
（1）动圆M经过点A（﹣2，0），
且与圆B：（x﹣2）2+y2=4相内切（B为圆心），
可得|MA|=|MT|，|MB|=|MT|﹣|BT|=|MA|﹣2，
|MA|﹣|MB|=2＜|AB|=4，
由双曲线的定义可得，
M的轨迹为以A，B为焦点的双曲线的右支，且c=2，a=1，b=，
即有动圆的圆心M的轨迹C的方程为x2﹣=1（x＞0）；5分
（2）过点B且斜率为2的直线方程为y=2x﹣4，6分
代入双曲线的方程x2﹣=1，可得x2﹣16x+19=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
可得x1+x2=16，x1x2=19，
则|PQ|=?
=?=30，10分
则△APQ的周长为|AP|+|PB|+|BQ|+|AQ|
=2a+2|PB|+2|BQ|+2a=4a+2|PQ|=4+60=64．12分
22. 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．
（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；
（Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．
参考答案：
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【专题】应用题．
【分析】设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x、y，用（x，y）表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，
（I）A={（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）}，代入古典概率的求解公式可求
（Ⅱ）设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B，则B={（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3）}，代入古典概率的求解公式可求
【解答】解：设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x、y，
用（x，y）表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，即（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共16种结果，每种情况等可能出现．
（Ⅰ）设“取出的两个球上的标号相同”为事件A，
则A={（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）}．
事件A由4个基本事件组成，故所求概率．
答：取出的两个球上的标号为相同数字的概率为．
（Ⅱ）设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B，
则B={（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3）}．事件B由7个基本事件组成，故所求概率．
答：取出的两个球上标号之积能被3整除的概率为．
【点评】本题主要考查了等可能事件的概率公式的应用，解题的关键是准确求出每种情况下事件的个数．。