人教版高中数学必修42.1之2.2教材解读 (2)

高中数学④2．1～2．2教材解读
一、平面向量的基本概念
1．向量
既有大小、又有方向的量叫做向量．
注：向量有两个要素：大小和方向，二者缺一不可．
2．向量的表示
①用一个小写字母表示向量，如a，b等．
②用有向线段表示向量，以A为起点，B为终点的向量记为AB，注意起点写在前面、终点写在后面．
3．向量的模
向量AB的大小，称作向量AB的长度（或称模），记作AB．
注：向量是不能比较大小的，但向量的模可以比较大小．
4．零向量
长度为0的向量叫做零向量，记作0．
注：①=
00；②零向量的方向是任意的．
5．单位向量
长度等于１个单位的向量，叫做单位向量．
6．平行向量
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．向量a，b平行，记作∥
a b．
注：①规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有a
0∥；②由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，故平行向量也叫做共线向量；③两个向量共线与两条线段共线不同，前者的起点可以不同，而后者必须在同一直线上．同样，两个平行向量与两条平行直线是不同的，因为两个平行向量可以移到同一直线上．
7．相等向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a与b相等，记作a b
=．注：①零向量与零向量相等；②任意两个相等的非零向量，都可用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关；③对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以任意平
行移动的；④a b a b =⇒=；反之不成立． 8．相反向量 与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作a -． 注：①a 与a -互为相反向量；②-=00；③相反向量与方向相反的向量不是同一个概念，相反向量是方向相反的向量，反之不成立．
二、平面向量的线性运算
１．向量的加法运算
（1）向量的和：已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作=AB a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作+a b ，即a b +=+=AB BC AC ．
（2）向量的加法：求两个向量和的运算．
（3）对于零向量与任一向量a ，有+=+=00a a a ．
（4）向量的加法满足交换律与结合律，即a b b a +=+，()()a b c a b c ++=++．
（5）向量加法运算的几何意义：
①向量加法的三角形法则：如图1，根据定义，+=AB BC AC ；
②向量加法的平行四边形法则：如图2，以同一点A 为起点的两个已
知向量a ，b 为邻边作
ABCD ，则以A 为起点的对角线AC 就是a 与b 的和．
注：①向量加法的三角形法则，既适用于两向量不共线，也适用于
两向量共线．而平行四边形法则只适用于两向量不共线，当两向量共线
时，平行四边形法则就不适用了．但在处理某些问题时，平行四边形法
则有它一定的优越性．因此两种法则都应熟练掌握．
②两个向量的和仍是一个向量．
1°．当向量a 与b 不共线时，+a b 的方向与a ，b 都不相同，且+<+a b a b ； 2°．当向量a 与b 同向时，+a b ，a ，b 都同向，且a b a b +=+；
3°．当向量a 与b 反向时，若a b >，则+a b 的方向与a 相同，且a b a b +=-；若a b <，则+a b 的方向与b 相同，且a b b a +=-；若a b =，则a b +=0．总之，一般
地，若a b a b ++≤．
2．向量的减法运算
（1）向量a 与b 的差：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，即()a b a b -=+-．
（2）向量的减法：求两个向量差的运算．
（3）向量减法运算的几何意义：如图3，已知向量a ，
b ，在平面内任取一点O ，作OA a =，OB b =，
则BA a b =-，即a b -可以表示从向量b 的终点指向向量a 的终点的向
量．（可简记为：共起点，连两终点，指向被减向量的终
点）．
注：①两个向量的差仍是一个向量；②要注意向量加法运算的三角形法则与减法运算的三角形法则的区别；③由向量的加、减法，可以得出两个常用的结论：
1．首尾顺次相接的向量构成封闭的向量链
时，各向量的和为0，即：-+++++=122334110…n n n A A A A A A A A A A ．
2．平行四边形ABCD 中，有AB AD AC +=，AB AD DB -=． 3．向量的数乘运算
（１）向量的数乘：实数λ与向量a 的积是一个向量，它的长度与方向规定如下： ①λλ=a a ；
②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反．特别地，当0λ=时，a λ=0．
（2）设λμ，为实数，a b ，为向量，则有
①()()a a λμλμ=；
②()a a a λμλμ+=+（第一分配律）；
③()a b a b λλλ+=+（第二分配律）；
特别地，有()()()a a a λλλ-=-=-；
()a b a b λλλ-=-．
注：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a b ，，以及任意实数λμμ12，，，恒有()a b a b λμμλμλμ±=±1212．
4．向量共线的条件
如果()a a ≠0与b 共线，那么有且只有一个实数λ，使b a λ=．即()b a a b a λ≠⇔=0∥，（λ唯一确定）．
注：①a ≠0．否则b ≠0且a =0时，λ就不存在了；②此条件是由向量的数乘运算推出的，常用它证明几何中的三点共线和两直线平行的问题．但要注意直线平行与向量平行的区别．。