基本功测试卷(一)

基本功测试卷（一）
班级__________ 姓名__________
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合M={x||x+1|<2},N={x|a<x<1},若M N
⊆,则实数a的取值范围是
A.(-∞,-3]
B.(-∞,-3)
C.[-3,1)
D.(-3,1)
2.一个正六棱锥,其侧面和底面的夹角大小为60°,则该正六棱锥的高和底面边长之比为
A.3:2
B.3:1
C.2:3
D.1:3
3. (1+x)m+(2+x)n展开式中所有项的系数和为25,则该展开式中x2项的系数为
A.6
B.7
C.8
D.10
4.4sin40°-tan10°=
D.1
5.设n∈N+,则12233
5C5C5C5C
n n
n n n n
++++除以7的余数为
A.0或5
B.1或3
C.4或6
D.0或2
6.已知点A在直线x=2上运动,若过点A恰有三条不同的直线与曲线y=x3-x相切,则点A的轨迹长度为
A.2
B.4
C.6
D.8
7.已知平面单位向量e1,e2的夹角为60°,向量c满足c2-(2e1+e2)·c+3
2
=0,若对任意的t∈R,记|c-t e1|的最小值为M,
则M的最大值为
A.1
2
C.1
D.1
8.随着科技的不断发展,人民消费水平的提升,手机购物逐渐成为消费的主流,当我们打开购物平台时,会发现
其首页上经常出现我们喜欢的商品,这是电商平台推送的结果.假设电商平台第一次给某人推送某商品,此人
购买此商品的概率为
2
11
,从第二次推送起,若前一次不购买此商品,则此次购买的概率为1
4
若前一次购买了此
商品,则此次仍购买的概率是
1
3
.记第n次推送时不购买此商品的概率为P n,当n≥2时,P n≤M恒成立,则M的最
小值为
A.97
132
B.93
132
C.97
120
D.73
120
二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选
对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.设甲袋中有3个红球和4个白球,乙袋中有1个红球和2个白球,现从甲袋中任取一球放入乙袋,再从乙袋任
取两球,记事件A=“从甲袋中任取一球是红球”,事件B=“从乙袋中任取两球全是白球”,则
A.事件A与事件B相互独立
B.P(B)=9
14
C.P(A|B)=1
5
D.
13
()
14
P AB=
10.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过F的一条直线与C交于A,B两点,若点M在l上运动,则
A.当|AM|=|AF|时,AM⊥l
B.当|AM|=|AF|=|MF|时,|AF|=2|BF|
C.当MA⊥MB时,A,M,B三点的纵坐标成等差数列
D.当MA⊥MB时,|AM|·|BM|≥2|AF|·|BF|
11.已知△A1B1C1的三个内角的正弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的余弦值，则
A.△A1B1C1为钝角三角形
B.sin A2+sin B2+sin C2>cos A2+cos B2+cos C2
C.sin A1sin B1sin C1-cos A1cos B1cos C1
∈1
2
⎛
⎝⎦
D.△A2B2C2中最大边长与最小边长的比值n∈(1,+∞)
12.在四面体ABCD中,有四条棱的长度为1,两条棱的长度为m,则
A.当AB=AD=m时,AC⊥BD
B.当AB=CD=m时,四面体ABCD的外接球表面积为
2
(2)
2
mπ
+
C.m的取值范围为
D.四面体ABCD
三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知z为虚数,且2z z
=,则z3=__________.
14.已知x>0,y>0,x+y=1,则
2
21
x x
xy
-+
的最小值为__________.
15.在△ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c.若
1cos1cos
1,1
sin sin
A B
a
A B
++
=+=,则△ABC
周长的最大值为__________.
16.已知双曲线
22
22
:1(0,0)
x y
C a b
a b
-=>>
F为双曲线C的右焦点,点A、B在双曲线C的右支
上,D为A关于原点O的对称点,且DF⊥AB.若AF FB
λ
=,则λ=__________.
四、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知数列{a n}满足:2
11
5
,2
2n n
a a a
+
==-.数列{b n}满足:2
11
2,.
n n
b b b
+
==
(1)试推导数列{a n}和数列{b n}的关系,并求数列{a n}的通项公式
(2)对于某一实数x,[x]表示不超过x的最大整数.记数列{[a n]}的前n项积为T n,求数列{T n}的表达式.
18. 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
sin()
sin
B C
A
b c
-
=
-
,且b≠c.
(1)证明:a2=b+c
(2)若△ABC为锐角三角形,且B=2C,求a的取值范围.
19.如图,在平面四边形ABCD 中,AB ∥DC ,△ABD 为边长为2的正三角形,DC =3,点O 为AB 的中点,沿DO 将△AOD 折起得到四棱锥P -OBCD ,且PC =13. (1)证明:BD ⊥PC
(2)点E 为线段PC 上的动点(不含端点),当平面POD 与平面EBD 的夹角为30°时,求
||
||
PE PC 的值.
20.某公司推出A ,B 两款理财产品,期限均为105天,两种理财产品互不相关.现将前7天购买A 款理财产品的人数进行统计,得到如下表格.
第x 天 1 2 3 4 5 6 7 购买人数y
200
260
280
350
420
440
500
(1)请根据上述表中提供的数据用最小二乘法求出y 关于x 的经验回归方程,并说明该预测数据是否合理,理由是什么?
(2)两款理财产品每万元收益与概率如下表:
类型 理财产品A
理财产品B 收益(元) -100
100
-50
150
概率
14
34
12
12
(i)若单独投资其中一款理财产品,综合平均收益与风险方面考虑,应选择哪款? (ii)若两种理财产品均投资,求理财产品A ,B 的最佳投资比例. (参考公式: 7
1
2
1
1
()()
,,11200()
n
i
i i i i n
i i
i x
x y y b y b x a x y x x ∧
∧∧∧
===--=
=+=-∑∑∑)
21.已知P 为椭圆22
:143
x y C +=上一点,且点P 在第一象限,过点P 且与椭圆C 相切的直线为l .
(1)若l 的斜率为k ,直线OP 的斜率为k OP ,证明:OP k k 为定值,并求出该定值
(2)如图,PQ ,RS 分别是椭圆C 的过原点的弦,过P ,Q ,R ,S 四点分别作椭圆C 的切线,四条切线围成四边形ABCD ,若9
16
OP OQ k k =-,求四边形ABCD 周长的最大值.
22.已知函数1
()ln (),0.f x x a x a x
=-->
(1)讨论f (x )的极值点个数
(2)若f (x )恰有三个零点123123,,()t t t t t t <<和两个极值点1212,().x x x x <
(i)证明:f (x 1)+f (x 2)=0
(ii)若m <n ,且m ln m =n ln n ,证明: 123
(1)e (ln 1).m
m n n t t t -->+。