2021年福建省福州十六中、厦金中、泉州七中三校中考数学联考试卷(附答案详解)

2021年福建省福州十六中、厦金中、泉州七中三校中考
数学联考试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
1.1
2021
的倒数是()
A. −1
2021B. 1
2021
C. −2021
D. 2021
2.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
A. 角
B. 等边三角形
C. 平行四边形
D. 菱形
3.下列运算正确的是()
A. 2x+6y=8xy
B. 4y3−y3=3
C. 6x2−5x=x
D. 9ab−9ba=0
4.如图，一个几何体由5个相同的小正方体搭成，则从上面看这
个几何体的平面图形是()
A.
B.
C.
D.
5.在平面直角坐标系中，把点P(2,3)绕着原点顺时针旋转90°后得到点Q，则点Q的
坐标是()
A. (5,1)
B. (−3,2)
C. (−1,5)
D. (3,−2)
6.如图，AB为⊙O的直径，点C，D在圆上，若∠D=65°，
则∠BAC=()
A. 20°
B. 25°
C. 30°
D. 35°
7.如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形
的顶点称为格点，已知菱形的一个角(∠O)为60°，A，B，
C都在格点上，则tan∠ABC的值是()
A. 1
B. √3
C. √3
3D. √3
2
8.“绿水青山就是金山银山”，为了进一步优化河道环境，某工程队承担一条4800
米长的河道整治任务.开工后，实际每天比原计划多整治200米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天整治x米，那么所列方程正确的是()
A. 4800
x +4800
x+200
=4 B. 4800
x
−4800
x+4
=200
C. 4800
x −4800
x+200
=4 D. 4800
x−4
−4800
x
=200
9.如图，数轴上A、B、C三点所表示的数分别为a、b、
c，满足a+b−c=0且AB=BC.那么下列各式正确的是()
A. a+c<0
B. ac>0
C. bc<0
D. ab<0
10.已知函数y=x2−2ax+5，当x≤2时，函数值随x的增大而减小，且对任意的1≤
x1≤a+1和1≤x2≤a+1，x1，x2相应的函数值y1，y2总满足|y1−y2|≤9，则实数a的取值范围是()
A. −1≤a≤3
B. −1≤a≤2
C. 2≤a≤3
D. 2≤a≤4
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11.如果−a=2，则a=______ ．
12.在−1、0、0.101001…、π、5.1、7的6个数中，随机抽取一个数，抽到无理数的
概率是______ ．
13.已知一个扇形的半径为6，弧长为2π，则这个扇形的圆心角为______ °.
14.已知y=√(x−2)2−x+3，当x分别取1，2，3，……，2021时，所对应的y值的
总和是______ ．
15.如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM=
2cm，则该圆的内接正三角形ACE的边长为______ cm．
16.如图，平面直角坐标系xOy中，在反比例函数y=4k
x
(k>0,x>0)的图象上取点A，
连接OA，与y=k
x 的图象交于点B，过点B作BC//x轴交函数y=4k
x
的图象于点C，
过点C作CE//y轴交函数y=k
x
的图象于点E，连接AC，OC，BE，OC与BE交于
点F，则S△CEF
S△ABC
=______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分）
17.解不等式组：{2(x−1)+3<3x x−2
3
+4>x．
18.如图，AB=AD，AC=AE，∠CAE=∠BAD．
求证：∠B=∠D．
19.先化简x2−4x+4
x−1÷(3
x−1
−x−1)，再从−2，−1，1，2中选取一个你喜爱的x值代入
求值．
20.如图，等腰△ABC，AC=BC>AB，射线AD与BC交于点D．
(1)在射线AD上求作一点E，使得∠CAE=∠AEB；(要求：
尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，若CD=2BD，AC=12，求BE的值．
21.如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于
点P，连接AC，若CA=CP，∠A=30°．
(1)求证：CP是⊙O的切线；
(2)若OA=1，求弦AC的长．
22.某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件.其中A城生产x件，A城生产产
品的总成本y(万元)与产品数量x(件)之间具有函数关系y=x2+30x，B城生产产品的成本为每件70万元.设A，B两城生产这批产品的总成本的和为W万元，当W 取最小值时，求：
(1)A，B两城各生产多少件产品？
(2)从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城
把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件，C地需要90件，D 地需要10件，设从A城运往C地的产品数量为n件，请写出AB两城总运费之和P 的表达式(用含有m、n的式子表示)，并写出n的取值范围．
23.某大型企业为鼓励员工利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐．
(1)为了解员工手机流量使用情况从该企业的员工中随机抽取1人，求该员工手机
月平均使用流量不超过900M的概率．
(2)据了解，某网络运营商推出两款流量套餐，详情如下
套餐名称月套餐费(单位：元)月套餐流量(单位：M)
A20700
B301000
流量套餐的规则是：每月1日收取套餐费.如果手机实际使用流量超出套餐流量，则需要购买流量叠加包，每一个叠加包(包含200M的流量)需要10元，可以多次购买，如果当月流量有剩余，将会被清零.该企业准备订购其中一款流量套餐，每月为员工支付套餐费，以及购买流量叠加包所需月费用.若以人均所需费用为决策依据，该企业订购哪一款套餐更经济？
24.如图，四边形ABCD中，AB=AD=4，CB=CD=3，∠ABC=∠ADC=90°，点
∠BCD，CM、CN与对角线BD分别交M、N是边AB、AD上的动点，且∠MCN=1
2
于点P、Q．
(1)求sin∠MCN的值；
(2)当DN=DC时，求∠CNM的度数；
(3)试问：在点M、N的运动过程中，线段比PQ
的值是否发生变化？如不变，请求
MN
出这个值；如变化，请至少给出两个可能的值，并说明点N相应的位置．
25.已知抛物y=ax2+bx．
(1)若抛物线与一次函数y=−x−1有且只有一个公共点，求a、b满足的关系式；
(2)设点Q为抛物线上的顶点，点P为平面内一点，若点P坐标为(2,−2)，S△OPQ=3，
且OP>OQ，抛物线经过点A(m,n)和点B(4−m,n)，直线PB与抛物线的另一交点为C．
①求抛物线的解析式；
②证明：对于任意实数m，直线AC必过一定点．
答案和解析
1.【答案】D
的倒数是：2021．
【解析】解：1
2021
故选：D．
直接利用倒数的定义得出答案．
此题考查了倒数的定义，正确掌握相关定义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、角是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3.【答案】D
【解析】解：A、2x与6y不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B、4y3−y3=3y3，故本选项不合题意；
C、6x2与5x不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
D、9ab−9ba=0，故本选项符合题意；
故选：D．
合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断即可．
本题主要考查了合并同类项，熟记合并同类项法则是解答本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：从上面看，是一行3个正方形，
故选：C．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
5.【答案】D
【解析】解：如图，观察图象可知，点Q的坐标为：(3,−2)．
故选：D．
利用图象法，作出图形可得结论．
本题考查坐标与图形变化−旋转，解题的关键是学会两条图象法解决问题，属于中考常考题型．
6.【答案】B
【解析】解：连接BC，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠B=∠D=65°，
∴∠BAC=90°−∠B=90°−65°=25°．
故选：B．
连接BC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，∠B=∠D=65°，然后利用互余计算出∠BAC的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
7.【答案】D
【解析】解：如图，连接EA，EC，
设菱形的边长为a，由题意得∠AEF=30°，∠BEF=60°，AE=√3a，EB=2a，
∴∠AEC=90°，
∵∠ACE=∠ACG=∠BCG=60°，
∴∠ECB=180°，
∴E、C、B共线，
在Rt△AEB中，tan∠ABC=AE
EB =√3a
2a
=√3
2
．
故选D．
如图，连接EA、EC，先证明∠AEC=90°，E、C、B共线，再根据tan∠ABC=AE
EB
，求出AE、EB即可解决问题．
本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
8.【答案】C
【解析】解：设原计划每天挖x米，则原计划用时为：4800
x 天，实际用时为：4800
x+200
天．
所列方程为：4800
x −4800
x+200
=4，
故选：C．
根据本题的关键描述语是：“提前4天完成任务”；等量关系为：原计划用时−实际用时=4天．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵AB=BC，
∴b−a=c−b，
∴a+c=2b，
∵a+b−c=0，即c=a+b，
∴a+(a+b)=2b，
∴b=2a，
∴c=a+b=3a，
∵a<b<c，
∴a>0，b>0，c>0，
∴a+c>0，则A选项错误；
ac>0，则B选项正确；
bc>0，则C错误；
ab>0，则D错误．
故选：B．
由数轴知AB=b−a，BC=c−b，再由AB=BC得a+c=2b，再根据a+b−c=0，进而得b=2a，c=3a，进而由a<b<c，知a、b、c都为正数，便可得出最后答案．本题考查了数轴，实数的加减法，乘法运算法则，数轴上两点间的距离的应用，关键是数形结合得出a、b、c之间的关系和正负性质．
10.【答案】D
【解析】解：∵函数y=x2−2ax+5，当x≤2时，函数值随x的增大而减小，
=a，a≥2，
∴对称轴是直线x=−−2a
2×1
∴在1≤x≤a+1中，最小值是x=a时取得，最大值是x=1时取得，
∵对任意的1≤x1≤a+1和1≤x2≤a+1，x1，x2相应的函数值y1，y2总满足|y1−y2|≤9，
∴(12−2a×1+5)−(a2−2a⋅a+5)≤9，
解得−2≤a≤4，
∵a≥2，
∴2≤a≤4，
故选：D．
根据题意和二次函数的性质，可以得到关于a的不等式，从而可以求得a的取值范围．本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
11.【答案】−2
【解析】解：∵−a=2，
∴a=−2．
故答案为：2．
根据相反数的概念解答即可．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
12.【答案】1
3
【解析】解：∵在−1、0、0.101001…、π、5.1、7的6个数中，无理数有0、0.101001…、π共2个，
∴随机抽取一个数，抽到无理数的概率是1
，
3
故答案为：1
．
3
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事
．
件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=m
n
13.【答案】60
【解析】解：设这个扇形的圆心角是n°，
∵一个扇形的半径为6，弧长为2π，
∴nπ×6
=2π，
180
解得：n=60，
即这个扇形的圆心角是60°，
故答案为：60．
=2π，再求出答案即可．设这个扇形的圆心角是n°，根据弧长公式和已知条件得出nπ×6
180
本题考查了弧长公式，注意：已知一条弧所对的圆心角是n°，半径为r，那么这条弧的．
长度是nπr
180
14.【答案】2023
【解析】解：y=|x−2|−x+3，
当x≤2时，
∴y=−(x−2)−x+3
=−x+2−x+3
=−2x+5，
当x>2时，
∴y=x−2−x+3
=1，
∴y值的总和为：3+1+1+⋯…+1
=3+1×2020
=2023，
故答案为：2023．
根据二次根式的性质以及绝对值的性质进行化简，然后代入求值即可求出答案．本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．15.【答案】4
【解析】解：如图所示，连接OC、OB，过O作ON⊥CE于N，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COB=60°，
∵OC=OB，
∴△COB是等边三角形，
∴∠OCM=60°，
∴OM=OC⋅sin∠OCM，
∴OC=OM
sin60∘=4√3
4
(cm)，
∵∠OCN=30°，
∴ON=1
2OC=2√3
2
(cm)，
∴CE=2CN=4(cm)．
故答案为4．
连接OC、OB，过O作ON⊥CE于N，证出△COB是等边三角形，根据锐角三角函数的
定义求解即可．
本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质是解决问题的关键．
16.【答案】3
8
【解析】解：如图，过点A 作AN ⊥x 轴于N ，过点B 作BM ⊥x 轴于M ．
∵AN//BM ，
∴△OBM∽△OAN ，
∵S △OBM =k 2
，S △AOM =2k ， ∴S △OBM S △OAN =(OM ON )2=14， ∴OM ON =BM AN
=12， 设A(m,4k m )，则B(m 2,2k m )，
∵BC//x 轴，EC//y 轴，
∴C(2m,2k m )，E(2m,K 2m )， ∴直线OC 的解析式为y =k m 2x ，直线BE 的解析式为y =−k m 2x +5k 2m ，
由{y =k m 2x y =−k m 2x +5k 2m ，解得{x =5
4m y =5k 4m ， ∴F(54m,5k 4m )， ∴S △CEF
S △ABC =12⋅34m⋅(2k m −k 2m )12⋅(4k m −2k m )⋅(2m−12m)=3
8， 故答案为：38． 如图，过点A 作AN ⊥x 轴于N ，过点B 作BM ⊥x 轴于M.利用相似三角形的性质证明OM ON =BM
AN =12，设A(m,4k m )，则B(m 2,2k m )，由BC//x 轴，EC//y 轴，推出C(2m,2k m )，E(2m,k 2m )，求出直线OC ，BE 的解析式，构建方程组确定点F 的坐标，即可解决问题．
本题考查反比例函数与一次函数的交点，相似三角形的判定和性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构建一次函数确定交点坐标，属于中考填空题中的压轴题．
17.【答案】解：{2(x−1)+3<3x①x−2
3
+4>x②，
解不等式①，得x>1；
解不等式②，得x<5；
∴原不等式组的解集为1<x<5．
【解析】分别解出两不等式的解集，再求其公共解．
本题考查的是一元一次不等式组的解法，掌握确定解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是解题的关键．
18.【答案】证明：∵∠CAE=∠BAD，
∴∠CAE+∠EAB=∠BAD+∠EAB，
∴∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
{AB=AD
∠BAC=∠DAE AC=AE
，
∴△ABC≌△ADE(SAS)，
∴∠B=∠D．
【解析】根据全等三角形的判定方法边角边即可证明．
本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
19.【答案】解：x2−4x+4
x−1÷(3
x−1
−x−1)
=
(x−2)2
x−1
÷
3−(x+1)(x−1)
x−1
=
(x−2)2
x−1
⋅
x−1
3−x2+1
=
(x−2)2
(2+x)(2−x)
=2−x
2+x
，
∵x−1≠0，(2+x)(2−x)≠0，∴x≠1，x≠±2，
∴x=−1，
当x=−1时，原式=2−(−1)
2+(−1)
=3．
【解析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后从−2，−1，1，2中选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
20.【答案】解：(1)如图，点E即为所求作．
(2)∵∠C=∠CBE，
∴AC//BE，
∴BE
AC =BD
CD
，
∴BE
12=1
2
，
∴BE=6．
【解析】(1)作∠CBE=∠C即可．
(2)利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
本题考查作图−复杂作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】(1)证明：连接OC，如图1，
∵OA=OC，∠A=30°，
∴∠A=∠ACO=30°，
∵CA=CP，
∴∠A=∠P=30°，
∴∠ACP=180°−∠A−∠P=180°−30°−30°=120°，
∴∠OCP=∠ACP−∠ACO=120°−30°=90°，
∴OC⊥CP，
∴CP是⊙O的切线；
(2)解：如图2，连接BC，
∵OA=OB=1，
∴AB=2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠A=30°，
∴BC=1
AB=1，
2
∴AC=√AB2−BC2=√3．
【解析】(1)连接OC，由等腰三角形的性质得出∠A=∠ACO=30°，∠P=30°，求出∠ACP 的度数，则可求出答案；
(2)连接BC，由勾股定理可求出答案．
本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设A，B两城生产这批产品的总成本的和为W(万元)，
则W=x2+30x+70(100−x)
=x2−40x+7000
=(x−20)2+6600，
∴当x=20时，W取得最小值，最小值为6600万元，
此时100−x=100−20=80．
∴A城生产20件，B城生产80件；
(2)设从A城把该产品运往C地的产品数量为n件，则从A城把该产品运往D地的产品数量为(20−n)件；
从B城把该产品运往C地的产品数量为(90−n)件，则从B城把该产品运往D地的产品数量为(10−20+n)件，由题意得：
{20−n≥0
10−20+n≥0，
解得，
P=mn+3(20−n)+(90−n)+2(10−20+n)
=mn+60−3n+90−n+2n−20
=mn−2n+130
=(m−2)n+130(10≤n≤20)．
【解析】(1)W等于A城生产产品的总成本加上B城生产产品的总成本，由此可列出W 关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案；
(2)设从A城把该产品运往C地的产品数量为n件，分别用含n的式子表示出从A城把该产品运往D地的产品数量、从B城把该产品运往C地的产品数量及从B城把该产品运往D地的产品数量，再列不等式组求得n的取值范围，然后用含n的式子表示出A，B两城总运费之和P，即可得答案．
本题考查了二次函数和一次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)由题意得，样本中月平均使用流量不超过900M的频数为：100−2−8=90，
则该员工手机月平均使用流量不超过900M的概率是90
100=9
10
；
(2)A套餐人均所需费用为：(8+22)×20+(25+35)×(20+10)+(8+2)×(20+20)
100
28(元)，
B套餐人均所需费用为：(8+22+25+35+8)×30+2×(30+10)
100
=30.2(元)，
∵28<30.2，
∴该企业订购A套餐更经济．
【解析】(1)直接根据概率公式求解即可；
(2)根据平均数的计算公式先分别求出A套餐人均所需费用和B套餐人均所需费用，再进行比较，即可得出答案．
本题考查了概率的知识和频数(率)分布直方图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24.【答案】解：(1)如图，连接AC交BD于H．
∵AB=AD，CB=CD，
∴AC垂直平分线段BD，
∴BH=DH，
∵AB=4，BC=3，∠ABC=90°，
∴AC=√AB2+BC2=√42+32=5，
∴CB=CD，CH⊥BD，
∴∠BCH=∠DCH，
∴sin∠BCH=AB
AC =4
5
，
∵∠MCN=1
2
∠BCD=∠BCH，
∴sin∠MCN=4
5
．
(2)如图，延长AD到E，使得DE=BM，连接CE．∵BM=DE，∠CBM=∠CDE=90°，BC=DC，∴△CBM≌△CDE(SAS)，
∴∠BCM=∠DCE，CM=CE，
∴∠MCE=∠BCD，
∵∠MCN=1
2
∠BCD，
∴∠MCN=∠ECN，
∵CM=CE，CN=CN，
∴△MCN≌△ECN(SAS)，
∴∠CNM=∠CNE，
∵DN=DC，∠NDC=90°，
∴∠CND=∠DCN=45°，
∴∠CNM=45°．
(3)PQ
MN =3
5
，值不变．
理由：∵∠CHD=∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠CDH=90°，∠ADH+∠CDH=90°，∴∠ACD=∠ADH，
∵∠MCN=1
2
∠BCD=∠ACD，
∴∠MCN=∠ADH，
∵∠PQC=∠NQD，
∴∠CPQ=∠QND，
∵∠CNE=∠CNM，
∴∠CPQ=∠CNM，
∵∠PCQ=∠NCM，
∴△PCQ∽△CNM，
∵△NCM≌△NCE，
∴△PCQ∽△NCE，MN=NE，
∵CH⊥PQ，CD⊥NE，
∴PQ
NE =CH
CD
=sin∠CDH，
∵∠CDH+∠ADH=90°，∠CAD+∠CDH=90°，∴∠CDH=∠CAD，
∴sin∠CDH=sin∠CAD=3
5
．
∴PQ
MN =PQ
NE
=3
5
．
【解析】(1)如图，连接AC交BD于H.利用勾股定理求出AC，证明∠MCN=∠ACB即可解决问题．
(2)延长AD到E，使得DE=BM，连接CE.证明△MCN≌△ECN(SAS)，可得∠CNM=∠CNE，即可解决问题．
(3)PQ
MN =3
5
，值不变．利用相似三角形的相似比等于对应高的比解决问题即可．
本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
25.【答案】解：(1)由题意得，方程ax2+bx=−x−1有两个相等的实数根，
∴(b+1)2−4a=0，
∴a=(b+1)2
4
；
(2)①∵抛物线经过点A(m,n)和点B(4−m,n)，
∴抛物线对称轴为直线x=m+4−m
2
=2，
设Q(2,q)，
∵P(2,−2)，
∴PQ//y轴，
∵S△OPQ=1
2
PQ×2=PQ，S△OPQ=3，
∴PQ=3，
∵OP>OQ，
∴Q点的坐标为(2,1)，
设抛物线解析式为y=a(x−2)2+1，把(0,0)代入得：a=−1
4
，
∴抛物线解析式为y=−1
4(x−2)2+1，即y=−1
4
x2+x；
②证明：设直线PB的解析式为y=kx+b，把P(2,−2)代入得：−2=2k+b，∴b=−2−2k，
∴直线PB的解析式为y=kx−2−2k，
∵直线PB与抛物线y=−1
4
x2+x交于B，C，
∴−1
4
x2+x=kx−2−2k，
化简得：1
4
x2+(k−1)x−2−2k=0，
∴x B+x C=−4(k−1)，x B⋅x C=−8−8k，
设直线AC的解析式为y=fx+d，与抛物线交于点B，C，
∴−1
4
x2+x=fx+d，
化简得：1
4
x2+(f−1)x+d=0，
∴x A+x C=−4(f−1)，x A⋅x C=4d，
∴x B+x C+x A+x C=−4(k−1)−4(f−1)，x B⋅x C+x A⋅x C=−8−8k+4d，∵x A+x B=4，
∴x C=−2k−2f+2，x C=d−2−2k，
∴−2k−2f+2=d−2−2k，
∴−2f+4=d，
∴直线AC的解析式为y=fx−2f+4=f(x−2)+4，
当x=2时，y=4，
∴直线AC必过定点(2,4)．
【解析】(1)根据题意，列出一元二次方程后，根据根的判别式等于0，列方程即可；(2)①由抛物线经过点A(m,n)和点B(4−m,n)，可求得对称轴为x=2，根据S△OPQ=3，可求得点Q的坐标，进而可求得抛物线解析式；
②运用待定系数法和根与系数关系表示出AC解析式，根据解析式即可判断经过的定点．本题考查了求二次函数解析式，二次函数性质，二次函数与一元二次方程的联系，解题关键是熟练运用二次函数和一元二次方程的关系以及待定系数法．。