勒让德多项式及其性质

由达朗贝尔判别法可知，当n 0不为整数时，这两个级数的收敛半径为1,在（）式和（）
式中，a°与a i可以任意取值，它们起着任意常数的作用，显然，在区间（—1，1 ）内yi和y都是方程（）的解，所以（）是（）的通解。

上面（）和（）幕级数当|x| 1时级数收敛，此外级数是发散的。

并且，我们发现，当n取
非负整数时，y1和y2中有一个便退化为n次多项式，它就是方程（）在闭区间［-1,1］上的有界解。

此
时，适当的选定这个多项式的最高次幕系数an，所得的多项式称为n阶勒让德多项式或第一类勒让德函
数，记作P n X，下面我们来推导勒让德多项式R X的表达式。

①当n为正偶数时
%退化为n次多项式。

为求得巳X的表达式，在％中我们通过a n来表示其它各项的系数。

为此，将系数递推关系式改写成下列形式：
(k 2)(k 1) 一
a k O k 2
(k n)(k n 1) 2
()
在（）式中取k n 2，得：
n(n 1) a
a n 2
a
n
2(2 n 1) n()
勒让德（legendre）多项式及其性质
一. 勒让德多项式
勒让德多项式是由勒让德方程的通解推导出来的，所以我们首先引入勒让德方程，以及勒让德方程的幕级数解，勒让德方程的表达式如下：
Q II I （1 x2）y 2xy
它的幕级数解如下：
y y i y2
其中：
2k
y i a2k X
k 0
2k 1
y2 a2k 1X a
k 0n(n
a o[
1
(n
1)y 0
2!
吨X3
3!
其中n为非负实数（）
()
n(n 2)(n 1)(n 3)X4]
4! （）
(n 1)(1 3)(n 2)(n 4)X5
✓v
5!
]()
2n 2m !
a
n 2m
1m
2n m!(n m)!(n 2m)!
(m 0,1,
(
\!7
n
XI
2r
n
n- 2
n
/1
%
\IJ
n
/(. rr
X.
n 2m
x
()
般地，我们有
我们将这些系数带入（）中，并把此时的 y 记作R （x ），可得:
这就是当n 为正偶数时勒让德多项式 ②当n 为正奇数时
丫2退化为n 次多项式，我们把丫2记作R （x ），同理可得:
n 1
了、
2
,八m
(2n 2m)!
p n (x)
( 1) m0
2n m!(n m)!(n 2m)! 把（）和（）写成统一的形式，得
习惯上取a
n 为 a n
(2n)
2n ( n!)2
()
于是有: a
n 2
n(n 1)2n(2n 1)(2n 2)! 2(2 n
1)2n n(n 1)!n(n 1)(n 2!)
(2n 2)! 2)!
2n
(n 1)!(n
()
在（）式中取k n
4，并利用a n 2之值得:
(2n 4)!
a n
(n 2)(n 3)a 4(2 n 3) n 2
2
(n 2)(n 3)| 4(2n 3) I 1)
(2n 2)!
2n (n 1)!(n 2)!
(1)2
Y(2!)(n 2)!(n 4)!
()
由上述讨论可知，当n 为非负整数时，力和y 2中有一个是n 阶勒让德多项式，而另一个是无穷 级
数，记作Q n (x)，称为第二类勒让德函数，此时方程()通解为：
y Cf n (x) C 2Q n (X )
()
特别当n 0,1,2,3,4,5时，由()和()式得：
1 2
P o (x) 1 P(x) x
P 2(x) 2(3X 1) 1
3
1
1 5 3
F 3(x)
(5x 3x)
P 4(x) -(35x 4 30x 2 3)
F 5(x)
(63x 70x 15x) 2
8
8
它们的图形如下:
P n (X
)
m 0
m —
(2n 2m )!
—Xn 2m
2n m!(n m)!(n 2m)!
()
其中
[2]表示 2的整数部分
-05c
勒让德多项式的性质
首先介绍一下勒让德多项式的母函数: 试将函数
(x,z)(1 2xz z2) 2() 展开成z的幂级数
(x,z)
n
A n Z
n 0
()
可以证明(x, z)级数展开式中z n的系数恰好是勒让德多项式, 最终得到
(x,z)(1 2xz Z2) 12F
n(x)z n
n 0
()
因此称(x, z)为勒让德多项式的母函数。

1. P n( x)(1)n P n(x)()
将式() 中的x以x代入，z以z代入，立即得到此结果。

此式说明P n(x)的奇偶性由n 而定，当n为偶数时，R(x)为偶函数，当n为奇数时，F n(x)为奇函数。

2. P n⑴ 1,R( 1) ( 1)n()
将X 1代入式()，得到
1 n
(i z) P n(i)z
n 0
而
1 n
(1 z) z
n 0
所以
P n(1) 1
由上式和()立即得到
P n( 1) ( 1)5(1)
3.勒让德多项式的递推公式：
(n 1)F> 1(x) (2n 1)xP n(x) nR ,x) 0 ()
R(x) RO 2xP n(x) F n' 1(x) ()
R‘1(x) xP n(x) (n 1)P n(x) ()
xP n (x) P n 1(X)nP n(x) ()
()
()
P n i （x ） P n i （x ） （2n 1）P n （x ）
（）
现在我们来证明（）及其它的导数公式，将母函数
（X,z ）分别对x,z 微分，得到
x Z(1 2XZ
W
z (x z)(1 2xz z 2) 2
>
X z
1 2xz z ：
得到下列两个恒等式
(1 2XZ Z 2)
—z 0
（）
X
2
(1 2xz z )-
(Z x) 0
（）
z
又从式（）和（） 得到
Z
(Z X)
（）
Z
X
将（）两端分别对x, z 微分，得到
X n0
Pn(X )Zn
nP n (x )Z n1
n 1
然后将它们带入（），得到
xP n (X )Z n
[n P n (x)只心)^
n 1
n 1
于是得到P n （x ）与导数之间的关系式
XP n'（X ） P n1（X ）nP n （x ）
其它的导数公式这里不在 -- 证明。

将式（）和（）代入式（）中，得到
[(n 1)P n 1(x) (2n 1)xR(x) nR 。

)] 0
n 0
上面级数的各项系数都等于零，因此，最终得到
F 2(x)可以推出P 3(x)，
()
()
这就是递推公式，由F 0(x) , R(x)可以推出P 2(x)，由R(x),
4.勒让德多项式的正交性：
勒让德多项式在［-1,1］上正交，即
1
2
i P 1(x)P n (x)dx 当 n m 时
1
2n 1
i
1
P 1(x)P m (x)dx 0
当 n m 时 勒让德多项式正交性的证明比较繁琐，这里不再证明。