初二竞赛第四讲
初二化学竞赛辅导资料(共12讲)讲义
初二化学竞赛辅导资料(共12讲)讲义第一讲：化学的基本概念1. 化学是研究物质组成、结构、性质以及变化规律的科学。
2. 物质由原子构成，原子是一切物质的基本单位。
3. 元素是由具有相同原子核电荷数的原子组成的。
第二讲：物质的分类1. 物质可以分为纯物质和混合物。
2. 纯物质包括元素和化合物。
3. 混合物是由两种或两种以上的纯物质按一定比例混合而成的。
第三讲：化学反应1. 化学反应是物质发生变化的过程。
2. 化学反应中的物质称为反应物和生成物。
3. 化学方程式用于描述化学反应过程。
第四讲：离子和离子化合物1. 离子是带有电荷的原子或原子团。
2. 离子化合物是由带正电荷的离子和带负电荷的离子按一定比例结合而成的。
第五讲：酸、碱和盐1. 酸是能产生氢离子（H+）的物质。
2. 碱是能产生氢氧离子（OH-）的物质。
3. 盐是由酸和碱中的离子按一定比例结合而成的。
第六讲：常见元素的性质与应用1. 氧气是维持燃烧的必需气体。
2. 氮气是空气的主要成分之一。
3. 碳是有机物的基本元素，广泛存在于生物体内。
第七讲：金属与非金属1. 金属具有良好的导电性、导热性和延展性。
2. 非金属通常为非导电性材料，具有较高的电负性。
第八讲：化学反应速率1. 化学反应速率指单位时间内反应物消失或生成物产生的数量。
2. 影响化学反应速率的因素包括温度、浓度、催化剂等。
第九讲：溶液和溶解度1. 溶液是由溶剂和溶质组成的混合物。
2. 溶解度是单位质量溶剂中能溶解的最大质量溶质。
第十讲：红外线和紫外线1. 红外线是一种波长较长的电磁辐射。
2. 紫外线是一种波长较短的电磁辐射。
第十一讲：化学反应和能量变化1. 化学反应过程中会释放或吸收能量。
2. 化学反应中的能量变化可以通过热效应来表征。
第十二讲：电化学与电池1. 电化学是研究电能和化学反应之间相互转化的学科。
2. 电池是将化学能转化为电能的装置。
以上是初二化学竞赛辅导资料的讲义内容，希望能对学生们的化学学习有所帮助。
初中物理竞赛 第四讲 运动学
第四讲 运动学一、相对运动问题如果有一辆平板火车正在行驶，速度为火地v （脚标“火地”表示火车相对地面，下同）。
有一个大胆的驾驶员驾驶着一辆小汽车在火车上行驶，相对火车的速度为汽火v ，那么很明显，汽车相对地面的速度为： 火地汽火汽地v v v += （注意：汽火v 和火地v 不一定在一条直线上）如果汽车中有一只小狗，以相对汽车为狗汽v 的速度在奔跑，那么小狗相对地面的速度就是火地汽火狗汽狗地v v v v ++=从以上二式中可看到，上列相对运动的式子要遵守以下几条原则：①合速度的前脚标与第一个分速度的前脚标相同。
合速度的后脚标和最后一个分速度的后脚标相同。
②前面一个分速度的后脚标和相邻的后面一个分速度的前脚标相同。
③所有分速度都用向量合成法相加。
④速度的前后脚标对调，改变符号。
相对运动有着非常广泛的应用，许多问题通过它的运用可大为简化1、一列火车在雨中自东向西行驶，车内乘客观察到雨滴以一定速度垂直下落，那么车外站在站台上的人看到雨滴是（ ）A 沿偏东方向落下，速度比车内乘客观察到的大。
B 沿偏东方向落下，速度比车内乘客观察到的小。
C 沿偏西方向落下，速度比车内乘客观察到的大。
D 沿偏西方向落下，速度比车内乘客观察到的小。
2、甲乙两车在同一平直路上行驶，方向相同，乙在前，早在后，在射程以内，车上两人同时发出相同的演示子弹，子弹对枪口的速度都是u 。
在两车速度分别为1v =2v ,1v >2v ,1v <2v 三种情况下，正确的判断应该是（ ）（A ）甲车上的人选被射中 （B ）乙车上的人选被射中（C ）两人同时被射中 （D ）无法确定3、有A 、B 两艘船在大海中航行,A 船航向正东,船速15km/h,B 船航向正北,船速20km/h. A 船正午通过某一灯塔, B 船下午二点也通过同一灯塔.问:什么时候A 、B 两船相距最近?最近距离是多少?4、如图所示，某人站在离公路距离为60m 的A 处，他发现公路上有一汽车从B 处以10m/s 的速度沿公路匀速前进。
初二数学竞赛辅导资料(共12讲)讲义
目录本内容适合八年级学生竞赛拔高使用。
重点落实在奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。
本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，重在提高学生的数学分析能力与解题能力。
另外，在本次培训中，内容的编排和讲解可以根据学生的具体状况由任课教师适当的调整顺序和增删内容。
其中《因式分解》为初二下册内容，但是考虑到它的重要性和工具性，将在本次培训进行具体解读。
注：有(*)标注的为选做内容。
本次培训具体计划如下，以供参考：第一讲实数（一）第二讲实数（二）第三讲平面直角坐标系、函数第四讲一次函数（一）第五讲一次函数（二）第六讲全等三角形第七讲直角三角形与勾股定理第八讲株洲市初二数学竞赛模拟卷（未装订在内，另发）第九讲竞赛中整数性质的运用第十讲不定方程与应用第十一讲因式分解的方法第十二讲因式分解的应用第十三讲考试（未装订在内，另发）第十四讲试卷讲评第1讲 实数（一）【知识梳理】一、非负数：正数和零统称为非负数 1、几种常见的非负数（1）实数的绝对值是非负数，即|a |≥0在数轴上，表示实数a 的点到原点的距离叫做实数a 的绝对值，用|a |来表示设a 为实数，则⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0)0(0)0(||a a a a a a绝对值的性质：①绝对值最小的实数是0②若a 与b 互为相反数，则|a |＝|b |；若|a |＝|b |，则a ＝±b ③对任意实数a ，则|a |≥a ， |a |≥－a ④|a ·b |＝|a |·|b |，||||||b a b a =(b ≠0) ⑤||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |（2）实数的偶次幂是非负数如果a 为任意实数，则n a 2≥0（n 为自然数），当n ＝1时，2a ≥0（3）算术平方根是非负数，即a ≥0，其中a ≥0.算术平方根的性质：()a a =2（a ≥0）||2a a =＝⎪⎩⎪⎨⎧<-=>0)0(0)0(a a a a a2、非负数的性质（1）有限个非负数的和、积、商（除数不为零）是非负数 （2）若干个非负数的和等于零，则每个加数都为零 （3）若非负数不大于零，则此非负数必为零 3的式子，被开方数必须为非负数； 4a =5、利用配方法来解题：开平方或开立方时，将被开方数配成完全平方式或完全立方。
初中数学竞赛讲座——数论部分4（辗转相除法与最大公约数）
初中数学兴趣班系列讲座——数论部分初中数学兴趣班系列讲座——数论部分 唐一良数学工作室唐一良数学工作室第四讲第四讲 辗转相除法与最大公因数辗转相除法与最大公因数一、基础知识：1．带余除法：若a ，b 是两个整数，b ＞0，则存在两个整数q 和r ，使得，使得a =bq+r （0≤r ＜b ）成立，）成立，且q ，r 是唯一的。
是唯一的。
证明：【存在性】作整数序列证明：【存在性】作整数序列…，-3b ，-2b ，-b ，0，b ，2b ，3b ，…则a 必在上述序列的某两项之间，即存在一个整数q 使得使得qb ≤a <(q +1)b 成立。
成立。
令a -qb =r ，即证存在性。
，即证存在性。
【唯一性】设q 1、r 1是满足a =bq+r ，0≤r <b 的另一对整数，因为bq 1+r 1=bq +r ,于是b (q-q 1)=r 1-r 故b |q-q 1|=|r 1-r |由于r 及r 1都是小于b 的非负整数，所以上式右边是小于b 的。
的。
如果q ≠q 1，则上式左边≥b ，这是不可能的。
即证唯一性。
，这是不可能的。
即证唯一性。
【说明】特别地，如果r =0，那么a=bq 。
这时，a 被b 整除，记作b|a ，对任意整数a ，b 且b ≠0，存在唯一的整数q ，r ，使a =bq +r ，其中0≤r <|b |，这个事实称为带余除法定理，是整除理论的基础。
为带余除法定理，是整除理论的基础。
2．最大公因数：．最大公因数：若c |a ，c |b ，则称c 是a ，b 的公因数。
的公因数。
若d 是a ，b 的公因数，且d 可被a ，b 的任意公因数整除则称d 是a ，b 的最大公因数。
记为：(a ，b )=d当d ≥0时，d 是a ，b 公因数中最大者。
若a ，b 的最大公因数等于1，则称a ，b 互素。
互素。
记为：(a ，b )=13．辗转相除法：累次利用带余除法可以求出a ，b 的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法。
初中物理竞赛及自主招生专题讲义第四讲光现象初步第二节平面镜成像含解析
第二节平面镜成像一、平面镜的成像规律平面镜所成的像是正立的虚像，像与物大小相等，像与物到镜面的距离相等且像与物的连线与镜面垂直.亦即像与物关于镜面对称.物体发出的光线经过平面镜反射后,反射光线的反向延长线在镜后会聚为虚像，如图2.37所示。
当我们在镜前时，经过平面镜反射后进入人眼的光线看起来好像是从镜后的虚像S 发出的。
二、平面镜的典型问题（一）根据光路的可逆性确定平面镜观察范围的光路图观察者不动，通过平面镜能看到物体的范围是多大？对这一问题常应用光路可逆性原理,把眼睛看做“发光体”，眼睛发出的光照亮的区域即为能看到的区域。
例1 如图2。
38所示，某人躺在地板上，眼的位置在A处.一只小虫在地板上从右向左爬，从天花板上的平面镜MN看到小虫的像，问小虫爬到何处时,人在平面镜中就看不到小虫了？请画图说明。
分析与解假设人眼为一光源，它的像为A'.人眼“发出”的光照射到平面镜上后，反射出的光照亮地板的区域为S S，注意画12光路图时要按光实际传播的方向加上箭头。
如图2.39所示，S S区域发出的光经平面镜反射后12可到达A点，即A处的眼睛可通过平面镜看到S S区域的小虫的像，当小虫爬到12S S区域以外12时,就不能通过平面镜看到它的像了。
例2 （第22届全国预赛试题)内表面只反射而不吸收光的圆筒内有一半径为R的黑球，距球心为2R处有一点光源S,球心O和光源S皆在圆筒轴线上，如图2。
40所示。
若使点光源向右半边发出的光最后全被黑球吸收，筒的内半径r最大为多少？分析与解当光源S发出的光线经圆筒内表面反射后，反射光线全部被球接收，则点光源向右半边发出的光最后全被黑球吸收。
自光源S作球的切线SM，并画出S经筒壁反射形成的虚像点S'，从S'画出球面的切线S N',如图2。
41（a）所示。
可以看出，只要S M'和S N'之间有一夹角,则从简壁上反射的光线就有一部分进入球的右方，不会完全落在球上被吸收。
初中竞赛辅导之四：第四讲 分式的化简与求值
第四讲分式的化简与求值姓名
分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值．
例1 化简分式：
例2 求分式当a=2时的值．
例3 若abc=1，求
例4 化简分式：
例5 化简计算(a，b，c两两不等)：
例6 已知：x+y+z=3a(a≠0，且x，y，z不全相等)，求
例7 化简分式：
例8 3819-=x 若，求分式15
82318262234+-++--x x x x x x 的值。
例9 若
a c
b a b
c b a c c b a ++-=+-=-+，求abc c b c a b a ))()((+++的值。
例
10
练 习 四
1．化简分式：
2．计算：)101)(100(1)4)(3(1)3)(2(1)2)(1(1++++++++++++x x x x x x x x
3．已知：(y -z)2+(z -x)2+(x -y)2=(x+y -2z)2+(y+z -2x)2+(z+x -2y)2，
4、已知b a ab x b a b a b a +=≠+≠≠≠4,0,0,0,，求b
x b x a x a 22222-++-+的值。
第4讲集合与元素（数学竞赛）
第4讲集合与元素（数学竞赛）第4讲集合与元素[知识点⾦]元素与集合只有属于和不属于两种关系，但如何判定⼀个元素是否属于该集合，有时要进⾏适当甚⾄灵活的变形，达到集合所要求的形式.[例题精析]例1 设A= },{22Z y x y x a a ∈-=、求证：（1）⼀切奇数属于A（2）偶数 4k – 2（k ∈z ）不属于A（3）属于A 的两个整数，其积仍属于A分析关键构造出集合元素所需形式.证明（1）设a 为任意奇数，则 a = 2k –1（k ∈Z ）因为 2k –1 = k 2 -（k-1）2 ,k ，k-1∈Z, 故a ∈A由a 的任意性知，⼀切奇数属于A.（2）假设4k – 2∈A ，则存在x 、y ∈Z 使 4k – 2 = x 2 – y 2即（x + y ）（x - y ）= 2（2k-1）… ①①式说明x + y 与 x – y 必有⼀个是偶数，但x + y 与 x – y 具有相同的奇偶性，这是⼀对⽭盾，故①不成⽴.所以 4k – 2 ?A（3）设a 、b ∈A ，则a = 2221y x -，b = 2222y x - （Z y y x x ∈2121,,,）因为 a b =（2121y x -）（2222y x -）= +2221x x 2221y y -2221y x -2122y x = （2121y y x x -）2 -（1221y x y x -）2⽽ Z y y x x ∈-2121，1221y x y x -Z ∈, 所以 a b ∈A.例2 （全国⼥⼦数学奥林匹克）如果存在 1，2，...，n 的⼀个排列1a ，2a ，…，n a 使得 k+k a （k=1, 2, ..., n ）都是完全平⽅数，就称n 为“好数”.试问：在集合 {11, 13, 15, 17, 19} 中，哪些是“好数”，哪些不是“好数”？说明理由.解除了11之外都是“好数”.（1）易知11只能与5相加得到24，⽽4也只能与5相加得到23，因此，不存在满⾜条件的数列，所以11不是“好数”.(2)13是“好数”，因为如下的排列中，)13,...,2,1(=+k a k k 都是完全平⽅数：13121110987654321:k 34567191011121328:k a（3）15是“好数”，因为如下的排列中，)15,...,2,1(=+k a k k 都是完全平⽅数：151413121110987654321:k123456789101112131415:k a （4）17是“好数”，因为如下的排列中，)17,...,2,1(=+k a k k 都是完全平⽅数：1716151413121110987654321:k 8911112131415161721045673:k a 其中⽤到了轮换).15,10,6,3,1(（5）19是“好数”，因为如下的排列中，)19,...,2,1(=+k a k k 都是完全平⽅数： 19181716151413121110987654321:k 17181991011121314151612345678:k a 评注这⾥的关键问题在于构造满⾜条件的排列.例3 （亚太地区数学竞赛）求所有由正整数组成的有限⾮空集合S ，满⾜：若S n m ∈、，则n m S n m n m 、、(,)(∈+不必须不同）. 分析我们由特殊的情形，先得知S ∈2，进⽽循序渐进探索集合S 中可能含有的其他元素，发现集合中可能只有2这⼀个元素，之后如何进⾏简捷的表达呢？.解令m=n,则S ∈2，由于S 是⾮空有限集合，.若S 中存在奇数，则S k k k ∈+=+2)2,(2，以此类推，,...6,4++k k 都属于S,与其是有限集⽭盾,所以S 中的元素都是偶数，如果除了2以外还有其他偶数，不妨设除2以外的最⼩数为k （k>2）,则S k k k ∈+=+12)2,(2，并且k k <+<122，⽽由前⾯讨论知12+k 应该为偶数，这与k 为除2以外的最⼩数⽭盾，所以 S={2}.评注这⾥应⽤极端原理使得表达简捷.例4 321,,S S S 为⾮空集合，对于1，2，3的任意⼀个排列k j i ,,，若j i S y S x ∈∈,，则k S y x ∈-.证明：三个集合中⾄少有两个相等.证明若j i S y S x ∈∈,，则i k S x y x y S x y ∈-=--∈-)(,所以每个集合中均有⾮负元素.当三个集合中的元素都为零时，命题显然成⽴.否则，设321,,S S S 中的最⼩正元素为a ，不妨设1S a ∈，设b 为32,S S 中最⼩的⾮负元素，不妨设,2S b ∈则b －a ∈3S .若b ＞0,则b a b <-≤0，与b 的取法⽭盾。
初中数学竞赛-第4讲 调和点列与调和线束
调和点列与调和线束定义对于线段AB 的内分点C 和外分点D 满足AC ADCB DB，则称C 、D 调和分割线段AB 或者A 、B 、C 、D 是调和点列。
我们允许无穷远点的存在，即规定如果D 为无穷远点，则1ADDB，也可以说，当C 平分线段AB 时，A 、B 、C 以及直线AC 上的无穷远点四点成调和点列。
性质1 设,,,A B C D 是共线四点，点M 是线段AB 的中点，则,C D 调和分割线段AB 的充要条件是满足下列六个条件之一： （1） 点,A B 调和分割CD （2） 112AC AD AB（3） 22AB CD AD BC AC DB （4） CA CB CM CD （5） DA DB DM DC （6） 22MA MB MC MD性质2 （调和点列的角元形式）设A 、C 、B 、D 是共线四点，过共点直线外一点P 引射线PA ，PC ，PB ，PD ．令1APC θ ，2CPB θ ，3BPD θ ，则AC BD CB AD 的充要条件132123sin sin sin sin()θθθθθθ ．性质3 设,,,A B C D 是共线四点，过共点的直线外一点P 引射线,,,PA PC PB PD ，则,C D 调和分割线段AB 的充分必要条件是满足下列两个条件之一：（1） 线束,,,PA PC PB PD 其中一射线的任一平行线被其他三条射线截出相等的两线段；l 分别交射线,,,PA PC PB PD 于点（2） 另一直线',',','A C B D 时，点','C D 调和分割线段''A B 。
性质4对线段AB 的内分点C 和外分点D ，以及直线外一点P ，给出如下四个论断：AM CBD（1） PC 是APB 的平分线 （2） PD 是APB 的外角平分线 （3） ,C D 调和分割线段AB（4） PC PD以上四个论断中，任意两个作题设，另两个作结论组成的六个命题均为真命题。
八年级奥林匹克数学竞赛超级讲义(共91页)
八年级奥林匹克数学竞赛超级讲义史瑞东吕梁高级实验中学目录本内容适合八年级学生竞赛拔高使用。
注重中考与竞赛的有机结合，重点落实在中考中难以上题、奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。
本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，重在提高学生的数学分析能力与解题能力。
另外在本次培训中，内容的编排大多大于120分钟的容量，因此在实际教学过程中可以根据学生的具体状况和层次，由任课教师适当的调整顺序和选择内容（如专题复习可以提前上）。
注：有(*) 标注的为选做内容。
第一讲如何做几何证明题第二讲平行四边形（一）第三讲平行四边形（二）第四讲梯形第五讲中位线及其应用第六讲一元二次方程的解法第七讲一元二次方程的判别式第八讲一元二次方程的根与系数的关系第九讲一元二次方程的应用第十讲专题复习一：因式分解、二次根式、分式第十一讲专题复习二：代数式的恒等变形第十二讲专题复习三：相似三角形第一讲：如何做几何证明题【知识梳理】1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。
几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。
这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。
2、掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。
3、掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。
在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。
初中物理竞赛及自主招生专题讲义第四讲光现象初步第一节光的直线传播与反射含解析
第四讲 光现象初步第一节 光的直线传播与反射一、光源与光速光源：本身能够发光的物体叫做光源,例如太阳、点燃的蜡烛、发光的灯泡等.按照几何形状不同,光源可以分为点、线、面、体光源.它们都是实际光源的抽象和近似.点光源：凡是本身的大小与被它照到的物体间的距离大小相比可以忽稍不计的光源,都可以看做“点光源”.点光源是一种理想化模型.光线：物理学中用来表示光传播的方向和路径的一条带箭头的射线叫做光线.光线是由一小光束抽象而建立的物理模型.光束：光束分为会聚、平行、发散光束.点光源发出的是发散光束,太阳发出的是平行光束.光在不同介质中的传播速度不同.光可以在真空中传播,并且在真空中的传播速度最大,为83.010m /s c =⨯.光在空气中的传播速度十分接近光在真空中的传播速度,通常也可以近似认为是83.010m /s ⨯.光速c 是速度的上限,任何物体的速度都不可能超过光速c .二、光的直线传播光在同种均匀的介质中沿直线传播.阳光下树木、建造物的影子,月蚀、日蚀以及小孔成像,就是由于光的直线传播形成的.光在不同的或者不均匀的介质中,则不一定沿直线传播.根据光沿直线传播的性质,如果知道一个发光体S 射出的两条光线,只要把这两条光线向相反方向延长到它们的交点,就能确定发光体的位置,如图2.1所示.在人用眼睛观察物体的时候,根据两只眼睛对物体的视线间的夹角可以判断物体的位置也是这个道理.（一）影点光源发出的光照射到不透明的物体上时,物体向光的表面被照亮,在背光面的后方形成一个光照不到的黑暗区域,这就是物体的影.图2.2所示为点光源的影.影区是发自光源并与被照物体的表面相切的光线围成的.如果用一个发光面比较大的光源来代替点光源,影的情形就会不同.发光面上的每一个发光点都可以看做一个点光源,它们都在物体的暗地里造成影区,这些影共有的彻底不会受到光照射的范围叫做本影.本影的周围还有一个能受到光源发出的一部份光照射的区域,叫做半影.图2.3所示为面光源的本影与半影.光源的发光面越大,本影区越小.（二）日蚀和月蚀发生日蚀时,太阳、月球和地球位于同向来线上,月球在中间.太阳发出的光线经月球遮挡后,形成如图2.4所示的a,b,c,d四个影区,其中a为本影区,没有光线能够照射到该区域,b为伪本影区,惟独太阳边缘发出的光线可以照射到该区域,c和d为半影区.当地球上的观察者位于a区域内时,将观察到日全食,位于b区域时,可以观察到日环食,位于c和d区域时则可以观察到日偏食.发生月蚀时,太阳、地球和月球位于同向来线上,地球在中间,如图2.5所示.当月球有一部份进入地球的本影区时,在本影区的部份由于没有光线到达,因此该部份不能被看到,形成月偏食.当月球全部进入地球的本影区a时,由于没有太阳的光线照射到月球表面,月球也再也不反光,因此地球上的观察者会看到月全食.在月蚀现象中,不可能浮现月环食.三、光的反射光在入射到两种介质的分界面上时,又返回到原来介质中继续传播的现象叫做光的反射.反射分为镜面反射和漫反射.无论哪种反射,对每一条光线而言,都遵从光的反射定律.（一）光的反射定律在反射现象中,反射光线和入射光线、法线在同一平面内,反射光线和入射光线分别位于法线的两侧,反射角等于入射角（图2.6）.在反射现象中,光路是可逆的.（二）平面镜对光线的反射作用平面镜可以使光线发生镜面反射,我们可以用平面镜来控制和改变光路.1．当入射光线方向不变时,平面镜旋转θ角,反射光线将转过2θ角例1（上海第27届大同杯初赛）入射光线与平面镜的夹角为70︒,若入射光线方向不变,使平面镜绕入射点沿入射光线与法线构成的平面顺时针方向旋转40︒后,入射光线与反射光线的夹角为（ ）.A．40︒B．80︒C．120︒D．160︒分析与解 本题有两种情况,先分别画出示意图,如图2.7（a）和（b）所示.在图2.7（a）中,平面镜顺时针转过40︒后,反射光线OB转过80︒角至OB'的位置,由几何关系知此时入射光线与反射光线的夹角为120︒；在图2.7（b）中,平面镜顺时针转过40︒后,反射光线OB转过80︒角至OB'的位置,同样根据角度间关系知此时入射光线与反射光线的夹角为40︒.本题正确选项为AC.2．角镜反射问题所谓角镜,是指两个平面镜反射面相对,互成一定夹角.当光线入射时,可以在两平面镜间发生两次甚至多次反射.两块互相垂直的平面镜是同学们所熟知的一种角镜,当有一条光线射入两个互相垂直的平面镜,其反射光线必与入射光线平行.更普通的情况请看下面例题.例2如图2.8所示,两平面镜1OM ,2OM 之间的夹角为θ,入射光与平面镜2OM 平行,经两个镜面两次反射后,出射光与1OM 平行,那末θ角应为（ ）. A．30︒ B．45︒ C．60︒ D．75︒分析与解 如图2.9所示,入射光线平行于2OM ,则1θ∠=,反射光线平行于1OM ,则4θ∠=.又根据反射定律,反射角等于入射角,则反射光线与镜面的夹角也等于入射光线与镜面的夹角,即12∠=∠,34∠=∠,所以ABC △为等边三角形,60θ=︒.本题正确选项为C.例3到若使一束光先后经两平面镜反射后,出射光线与入射光线垂直,这两平面镜应如何放置？分析与解 画出如图2.10所示的光路示意图,我们只要找到镜面夹角θ与反射光线和入射光线夹角ϕ的关系,并令90ϕ=︒,即可求得θ的值.设入射光线与镜面OM 的夹角为α,则结合反射定律可知OBC α∠=,1802ABC α∠=︒-则180OCB αθ∠=︒--180222180BCD OCB αθ∠=︒-∠=+-︒1801802ABC BCD ϕθ=︒-∠-∠=︒-令90ϕ=︒,可得45θ=︒.因此两镜面夹角应为45︒.例4 （上海第29届大同杯初赛）如图2.11所示,平面镜OM 与ON 之间夹角为α,在两平面镜角平分线上有一个点光源S ,如果要保证S 发出的任意一条光线最多只能产生两次反射,则α的最小值是（ ）.A．120︒ B．90︒C．72︒ D．60︒分析与解画出光路图如图 2.12所示,若经两次反射后,出射光线BC 与镜面ON 的夹角ϕ满足ϕα时,第三次反射将不会发生.设入射光线SA 与镜面OM 夹角为θ,则2αθ.根据光的反射原理并结合几何关系可得OAB θ∠=,180OBA αθϕ∠=︒--=又ϕα,即180αθα︒--,得2180αθ+︒,当2αθ=时,72α︒,因此α的最小值为72︒,本题正确选项为C.值得说明的是,若要求从S 发出的任意一条光线最多只能产生三次、四次……反射,解决方法类似.较之角镜的两次反射,多次反射问题要复杂一些,下面给出一些例题及解题方法.例5 如图2.13所示,平面镜OM 与ON 的夹角为θ,一条平行于平面镜ON 的光线经过两个平面镜的多次反射后,能够沿着原来的光路返回,则平面镜之间的夹角不可能是（ ）.A．1︒B．2︒ C．3︒ D．4︒ 分析与解要使光线能够原路返回,就需要让光线最终能垂直入射到某一镜面上.画出如图2.14所示的光路图,根据光的反射定律及角度间的关系,可知ABM θ∠=,2BCN θ∠=3CDM θ∠=,4DEC θ∠=,……因此经过N 次反射后,入射光线与平面镜的夹角变为N θ,只需90N θ=︒,90Nθ︒=即可使光线原路返回.因为N 为1,2,3,4,…等自然数,因此θ不可能等于4︒.本题正确选项为D.对于光线在角镜之间多次反射的问题,也可以进行如下处理：如图2.15（a）所示,点光源S 发出一条光线SA ,在平面镜ON ,OM 上的A ,B ,C 点发生三次反射的情形（C 处的反射光线未画出）可以转化为图2.15（b）所示情形：以平面镜ON 为对称轴画出平面镜OM 的对称图形1OM 、光线AB 的对称图形1AB 、光线BC 的对称图形1B C ；然后,再以1OM 为对称轴,画出平面镜ON 的对称图形1ON 和1B C 的对称图形11B C ,显然,S ,A ,1B ,1C 四点共线,即光线相当于沿着直线从S 到达1C 点,1SC 与ON ,1OM ,1ON ；亦有三个交点A ,1B ,1C ,这代表了光线SA 在角镜之间发生了三次反射.在解题时,若能灵便运用上述规律,则可以省去寻觅角度间的复杂关系的过程.例6 （上海第29届大同杯初赛）如图2.16所示,平面镜OM 与ON 镜面之间的夹角为α,在两平面镜角平分线上有一个点光源S ,如果要保证S 发出的任意一条光线最多只能产生四次反射,则α的最小值是（ ）.A．30︒ B．40︒ C．50︒ D．60︒分析与解由于入射光线在两平面镜间反射了4次再也不与镜面相遇,说明我们从OM 开始连续沿逆时针作夹角为α的平面若干个（注意OM 与ON 不是所作的平面）,如图2.17所示,当任意一条入射光线与所作的第4个平面再也不有交点时,就说明再也不与镜面相遇了,由几何关系知41802αα︒-,解得40α︒.所以本题正确选项为B. 例7（上海第28届大同杯初赛）如图2.18所示,两平面镜OM和ON的夹角为θ,入射光线平行于ON 镜且在两镜面间经12次反射后再也不与镜面相遇,则两镜面之间的夹角θ可能为（ ）. A．13︒ B．14︒ C．15︒ D．16︒分析与解如图2.19所示,由于入射光线在两平面镜间反射了12次再也不与镜面相遇,说明我们从OM 开始连续沿逆时针作夹角为θ的平面12个,当入射光线与所作的最后一个平面再也不有交点时,就说明再也不与镜面相遇了,即120220θθ︒-,解得13.8θ︒；当入射光线在两平面镜间反射11次时,11180θθ<︒-,解得15θ<︒.故13.815θ<︒,所以本题正确选项为B.练习题1．（上海第8届大同杯复赛）在阳光照射下,竖立的木杆AB 在地面上的投影为BC ,如图2.20所示.图中点M 为木杆AB 的中点,3S C 为BCA ∠的角平分线.由图可知,阳光的照射方向沿着（ ）.A．1S A B．4S B C．2S M D．3S C2．月球位于太阳和地球之间时,月球的影子如图2.21所示,下面说法中正确的是（ ）.A．位于区域a 和b 内的人可看到月全食B．位于区域c 和d 内的人可看到日全食 C．位于区域b 内的人可看到日环食 D．位于区域c 和d 内的人可看到日偏食3．（上海第28届大同杯初赛）日蚀、月蚀是我们在地球上通过肉眼能直接观测到的天文现象,如果定义月球的半径为1,则地球的半径约为3.7,太阳的半径约为400,地、月距离约为220,地、日距离约为48.610⨯,参考上述数据可以判断,在地球上看不到的现象是（ ）.A．月环食 B．月全食 C．日环食 D．日全食4．（上海第25届大同杯初赛）地球的半径为R ,地球的自转周期为24h ,某地球同步卫星位于赤道上空且离地面的高度约为5.6R ,卫星正下方地面上有一观察者,用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星.若不考虑大气对光的折射,春分（即太阳光直射赤道）那天在日落的时间内,这人观察不到卫星的时间约为（ ）.A．40min B．70min C．100min D．140min5．早在公元前305年,著名天文学家埃拉托色尼就已经测量出了地球的周长,与现代科学公认的地球周长的真实值相差不到0.1%.他在研究中发现,每年夏至这天,塞恩城（今埃及阿斯旺）正午的太阳光正好直射到城内一口深井的底部.而远在km S 以外的亚历山大城,夏至这天正午的太阳光却会使物体在地面上留下一个影子,他测得太阳光方向与竖直方向之间的夹角为θ（单位：度）,由此得出地球的周长为（ ）. A．km 360Sθ⋅ B．360km Sθ⋅ C．km 180Sθ⋅ D．180km Sθ⋅6．（2022年大同杯初赛）用转动八面镜法可以测光速,实验装置示意图如图2.22所示.S 为发光点,T 为望远镜,平面镜O 与凹透镜B 构成为了反射系统.八面镜M 距反射系统的距离AB 为L （L 可长达几十千米,且远大于OB 以及S 和T 到八面镜的距离）.调整八面镜的位置直到通过望远镜能看到发光点S ,然后使八面镜转动起来,并缓慢增大其转速（1秒内转过的圈数）,当转速达到0n 时,恰能在望远镜中再一次看见发光点S ,由此得到光速c 的表达式是（ ）.A．04c Ln = B．08c Ln = C．016c Ln = D．032c Ln =7．（2022年大同杯初赛）如图2.23所示,平面镜OM 与ON 的夹角为θ,一条平行于平面镜ON 的光线经过两个平面镜的多次反射后,能够沿着原来的光路返回.则两平面镜之间的夹角不可能是（ ）.A．20︒ B．15︒ C．10︒ D．5︒8．（上海第29届大同杯初赛）如图2.24所示,平面镜OM 与ON 镜面之间夹角为α,在两平面镜角平分线上有一个点光源S ,如果要保证S 发出的任意一条光线最多只能产生7次反射,则α的最小值是（ ）.A．14︒ B．24︒ C．34︒ D．44︒9．（上海第11届大同杯初赛）如图2.25所示,光屏和正在旋转着的六面镜都竖直放置,六面镜的横截面为正六边形,一束光垂直通过光屏的小孔,正对六面镜的转轴OO '射来.如果镜与光屏之间的距离为l ,六面镜的镜面宽度与l 相比可以忽稍不计,光屏足够大,那末这束光经镜面反射在光屏上所成的光点轨迹,其最大距离是（ ）.A．2l B．2tan60l ︒C．2tan 60l ︒ D．tan 60l ︒10．（上海第18届大同杯初赛）如图2.26所示,两平面镜OA 和OB 之间的夹角α为9︒,自平面镜OB 上的某点P 射出一条与OB 镜面成β角的光线,在β角由0︒至180︒范围内（不包括0︒）连续变化的过程中,发现当β取某角度时,光线经镜面一次或者多次反射后,恰好能返回到P 点,则符合该要求的β有（ ）.A．1个 B．2个 C．6个 D．9个11．（上海第18届大同杯初赛）如图2.27所示,两平面镜垂直放置,某光线PA 以入射角α入射到镜面OM 上,经平面镜OM 和ON 两次反射后反射光线BQ 与PA 平行.现将两平面镜以过O 点且垂直于纸面的直线为轴同时逆时针旋转一个角度()ββα<,假设镜面足够大,则入射光线与反射光线之间的距离将（ ）.A．增大 B．减小 C．不变 D．无法判断12．（上海第5届大同杯初赛）两个互相垂直的平面镜组成为了激光反射器,如图2.28所示.如果入射光线方向不变,反射器绕O点沿顺时针方向转过30︒,那末经过反射器两次反射的光线将转过（ ）.A．90︒B．15︒C．30︒D．0︒13．如图2.29（a）所示,平面镜OM与ON的夹角为θ,光线AB经过平面镜的两次反射后出射光线为CD.现将平面镜OM与ON同时绕垂直纸面且过O点的轴转过一个较小的角度β,而入射光线不变,如图2.29（b）所示.此时经过平面镜两次反射后的出射光线将（ ）.A．与原先的出射光线CD平行B．与原先的出射光线CD重合C．与原先的出射光线CD之间的夹角为2βD．与原先的出射光线CD之间的夹角为β14．如图2.30所示,两平面镜OA和OB成15︒夹角交于O点,镜面足够长,从C点处垂直于OA镜面射出一条光线,此光线在两镜间经多次反射后再也不与镜面相遇.试问：有几次反射？而最后一次反射发生在哪个镜面上？（ ）A．5次,OB镜B．6次,OB 镜C．5次,OA 镜D．6次,OA 镜15．（上海第9届大同杯复赛）如图2.31所示,两块平面镜互成60︒角放置,平行于角平分线的两条光线AO 和CO '分别射到两块平面镜上,它们的反射光线OB 的反向延长线与O D '的反向延长线的夹角θ为________.16．如图2.32所示,从光源发出的光垂直射到平面镜上,经反射在正对着平面镜3m 处的墙上A 处有一光斑.若使光斑向上挪移1m 至B 处,平面镜应以O 点为轴转过的角度为________.17．如图 2.33所示,平面镜1OM 与2OM 成θ角,A 为1OM 上一点,光线从A 点出发,对于2OM 的入射角是50︒,经过来回四次反射后跟2OM 平行,则θ角为________.参考答案1．A.根据光的直线传播,影子的末端C 点应是A 点挡住阳光留下的,因此1S A 为阳光照射的方向.2．CD.题中是月亮挡住了太阳的光,则位于c 和d 区域的人可以看到日偏食,位于b 区域的人可以看到日环食,位于a 区域的人可以看到日全食.3．A.日全食、日环食、日偏食以及月全食、月偏食都可以在地球上观察到,月环食不可能观测到.4．B.如图2.34所示,当阳光照射不到卫星时,地面上的人就观察不到该卫星.可见,卫星随地球从A 转到B 的过程中,人都看不到该卫星.结合题意,可知1cos 6.6OC OA α==,求得81.3α=︒,则180217.4βα=︒-=︒.因此看不到卫生的时间2460min 360t β=⨯⨯︒69.6min =,本题正确选项为B.5．B.题中所述深井与地球球心的连线和亚历山大城与球心的连线的夹角为θ,两地间的距离S 即为圆心角θ所对应的弧长,设地球周长为km C ,则360S C θ=⋅,解得360km SC θ=.6．C.光从S 出发,经过一系列反射到达望远镜T ,总路程为2L .从图2.22所示位置开始,到望远镜中再次看到发光点S ,八面镜转过了18圈,用时018t n =.因此光传播的速度0216L c Ln t ==,选项C 正确.7．A.略,可参照本节例5的解答.8．B.仿照本节例6的解答,我们从OM 开始连续沿逆时针作夹角为α的平面若干个（注意OM 与ON 不是所作的平面）,当任意一条入射光线与所作的第7个平面再也不有交点时,说明光线最多反射7次后就再也不与镜面相遇了,由几何关系知71802αα︒-,解得24α︒.所以本题正确选项为B.9．B.光线由小孔垂直射向六面镜的某个反射面时,反射光线将回到小孔,当六面镜由此位置转动30︒时,光线恰入射到某反射面的边缘,此时反射光线转过60︒,如图2.35所示（鸟瞰图）,光屏上的光斑离小孔的距离达到最大,设为d ,则tan 60d l=︒,因此光斑移动的最大距离为22tan60d l =︒.10．D.要使光线最终能返回到P 点,则需光线能垂直入射到某镜面上.若光线直接由P 点垂直射向OA 镜面,则由几何关系可得90βα=︒-,若光线经OA 反射一次后,反射光线垂直于OB 镜面,则902βα=︒-,以此类推,当光线第N 次与两镜面垂直时,有90N βα=︒-,显然β应大于零,则10N <,β的值共有9个.11．C.如图2.36所示,由于OM 和ON 两镜面垂直,所以入射光线PA和反射光线BQ 平行.过A 点作AC 垂直BQ 于C 点,根据光的反射定律及几何关系,在直角OAB △中,ABO α∠=,则sin OA AB α=.在直角ABC △中,1802ABC α∠=︒-,则 ()sin 1802sin 22cos sin OA AC AB OA αααα=︒-== 将镜面转过β角后,入射光线与镜面OM '交于D 点,入射角变为αβ-,最终反射光线与入射光线仍平行,设此时两光线的距离为d ,则 ()()()sin 222sin OD d ODcso αβαβαβ=-=-- 又在AOD △中,由正弦定理得 ()()sin 90sin 90OD OA ααβ=︒-︒+-⎡⎤⎣⎦解得()cos cos OS OD ααβ=-,则可得 ()()()2cos 2cos 2cos cos OS d ODcso OA ααβαβααβ=-=-=- 可见,镜面转动后,最终的反射光线与入射光线平行,且距离并未改变.即最终的反射光线位置并未改变.12．D.光线射向两个互相垂直的平面镜,反射光线与原来的入射光线平行,只要入射光线位置不变,反射光线位置也不变.这可由第11题得到左证.13．B.可参考第11题的解答进行证明.14．A.我们从OB 开始连续沿逆时针作夹角为15︒的平面若干个,当做到第6个时,发现第6个平面已经与光线平行,因此,光线只能与OB 以及所作的4个平面相交,故只能反射5次,由于第一次是在OB 镜反射,第二次在OA 镜反射,以此类推,第五次反射应在OB 镜.15．120︒.θ等于两镜面的夹角与两入射光线与各自镜面夹角的和.16．15︒.由几何关系可知反射光线转过了30︒角,则平面镜转过了15︒角.17．10︒.第一次反射时,反射光线与2OM 镜面的夹角为40︒；第二次反射时,反射光线与1OM 镜面的夹角为40θ︒-；第三次反射时,反射光线与2OM 镜面的夹角为402θ︒-；第四次反射时,反射光线与1OM 镜面的夹角为403θ︒-,则有403θθ︒-=,10θ=︒.。
八年级数学数学竞赛培训讲义
目录本内容适合八年级学生竞赛拔高使用。
注重中考与竞赛的有机结合，重点落实在与中考中难以上题，奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。
本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，重在提高学生的数学分析能力与解题能力。
另外在本次培训中，内容的编排大多大于80分钟的容量，因此在实际教学过程中可以根据学生的具体状况由任课教师适当的调整顺序和选择内容。
由于《相似三角形》与其他知识的衔接较多，因此本讲义补充了初三的《相似三角形》，可根据实际情况进行必要的讲解。
注：有(*) 标注的为选做内容。
本次培训具体计划如下，以供参考：第一讲分式的运算第二讲分式的化简求值第三讲分式方程及其应用第四讲二次根式的运算第五讲二次根式的化简求值第六讲相似三角形（基础篇）第七讲相似三角形（提高篇）第八讲平行四边形（基础篇）第九讲平行四边形（提高篇）第十讲梯形、中位线及其应用第十一讲结业考试（未装订在内，另发）第十二讲试卷讲评第一讲：分式的运算【知识梳理】一、分式的意义 形如BA （B A 、为整式），其中B 中含有字母的式子叫分式。
当分子为零且分母不为零时，分式的值为零，而当分母为零时，分式没有意义。
二、分式的性质（1）分式的基本性质：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=（其中M 是不为零的整式）。
（2）分式的符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。
（3）倒数的性质：1、()()011011>=⋅≠=⋅a aa a a a ，； 2、若11=⋅a a ，则11=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅n n a a （0≠a ，n 是整数）； 3、()021>≥+a aa 。
三、分式的运算分式的运算法则有：bdbc ad d c b a c b a c b c a ±=±±=±，； n nn ba b a bc ad d c b a bd ac d c b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛=÷=⋅，，（n 是正整数）。
八年级竞赛教案第4讲
第一课时： 知识要点及引入 提问：三角形怎么分类，各有哪些性质，能想到的请说出来。 引入：今天我们一起来看看与这些特殊的三角形相关的题型，看 看大家能不能快速的解出来。 二、新授 1、教学例 1： （1）认真审题，独立完成。 （2）学生完成后点名口答。 （3）本题有两种方法，老师提示另一种方法，再点名同学回答 提示：等腰三角形是轴对称图形，作出它的对称轴即底边上的高 来解题，是一种常见的作辅助线的方法。 （4）学生完成巩固练习，教师巡视并指导，完成后集体讲评。 练习答案：1、66°；2、△ABC≌△AED（SAS）即可；3、延长 BD 至 F, 使 得 DF=BC, 连 接 EF ， △BEF 是 等 边 三 角 形 ， 易 证 得 △EBC≌△EDF 或△EBD≌△EFC 即可。 2、教学例 2： （1）认真审题，结合两直线平行的相关性质。 （2）学生独立完成，请学生说一说解题的思路，并板书黑板。 （3）在题目中出现了过角平分线上一点而又和角的一边平行的 直线这样的基本图形时，就一 定要注意到图形中出现了等腰三 角形，利用这个等腰三角形进行计算或者证明，是解答此类问题 的关键。 （4）学生完成巩固练习，教师巡视并指导，完成后集体讲评。 练习答案：1、C；2、（AB+AF）+（AF+FE）+（ED+CD）+（DC+BC） -（AF+CD）=5+6+5+6-5=17；3、延长 AB,CD,AE 相交于 P,Q.易证 明△APQ 为等腰三角形， △BQC≌△EPD， ∠Q＝∠P， △AQM≌△APM (提示：△AQM≌△APM 时用的是 SAS，而非 SSA，另外，等腰三角
八年级上课 时间： 教学目标 教学重点 教学难点 2016-9-28 2016 年 10 月 7 日 年级 课时 八 年级
初二物理竞赛 第4讲 振动、声现象 学生版
第四讲振动、声现象初一物理竞赛预备班·第 4 讲·学生版37波与能量波是把能量从一个位置传播到另一个地方的扰动. 由波引起的扰动是暂时的, 波通过以后, 介质面又恢复平静.介质传播波的物质称为介质.机械波需要介质才能够传播的波称为机械波.振动与波振动是一种前后或者上下的反复运动. 当能量源引起一种介质振动时, 波就产生了.波的种类横波波的传播方向和介质的运动方向垂直的波.纵波波的传播方向和介质的运动方向平行的波.表面波表面波是横波和纵波的结合. 这种波发生在两种介质的接触面, 比如水和空气的接触面.面波是地震波的一种，主要在地表传播，能量最大，波速约3.8 千米/秒.知识导航模块一振动与波38 初一物理竞赛预备班·第4 讲·学生版波的性质振幅振幅是传递波的介质粒子离开静止位置的最大距离, 振幅是量度介质粒子受波干扰后运动强弱的量.波长波在重复之前将传播一定距离, 一个波的两个对应部分之间的距离就是它的波长.频率波的频率是指在一定时间内通过给定点的完整的波的个数. 频率的单位Hz.波速波速指波在单位时间内传播的距离.波速=波长×频率波的相互作用反射当一个物体或波撞到一个它们无法通过的界面时, 就会反弹回来. 这种现象称为反射.折射当波从一种介质进入另一种介质时, 往往会改变方向, 这是因为, 当波以一定角度进入一种新介质时, 它在介质里传播的速度与在原介质里传播的速度会有所不同, 于是波的方向就发生了改变. 这种因为速度的改变而引起波的偏折, 称为折射.衍射当波通过一个障碍物或通过障碍物的一个小孔时, 它先发生弯曲, 然后再扩展开来. 波在障碍物周围发生方向改变的现象称为衍射.干涉当两个或更多的波相遇时, 他们会彼此产生作用, 这种相互作用称为干涉. 干涉有相长干涉和相消干涉两类.1. 如果两列波相遇后结合而产生一个具有更大振幅的波, 就发生了相长干涉.2. 如果两个波的振幅相互结合形成一个较小的波, 这就称为相消干涉.共振多数物体都有固有的振动频率, 它们的粒子以某个固定的频率自然地振动. 如果通过一个物体的振动和物体的固有频率相匹配时, 就会发生共振. 如果相同的频率叠加在一起时, 物体振动的幅度将会增大.初一物理竞赛预备班·第4 讲·学生版39【例1】波的能量是从哪里来的?【例2】波有哪三种类型? 各举一个实例.【例3】当波通过海上的一艘船时, 波将对船产生什么影响?【例4】人用手拉、推弹簧, 使其有规律地振动, 请你说出这是那种波? 指出密部与疏部.【例5】通过振动的鼓面附近和振动的音叉附近的空气分子分布情况, 请你判断一下声波在介质中传播的时候是以哪种波的形式传播的?【例6】一束波的波长是2mm, 频率是3Hz, 它传播的速度是多少?【例7】在给定的一种介质中, 如果一个波的频率增加了, 那么（）A. 波长增加B. 波速增加C. 振幅减小D. 波长减小【例8】由于波速变化导致波发生（）A. 干涉B. 衍射C. 反射D. 折射40 初一物理竞赛预备班·第4 讲·学生版【例9】波长相同的水波通过宽度不同的窄缝, 对比实验, 你发现什么了?【例10】“隔墙有耳”、“闻其声不见其人” 蕴含着什么物理知识呢?【例11】科技馆和实验室里面有个好玩的大铜盆, 名字叫做“鱼洗”. 盆里面放一些水, 双手沾些水搓两边的把手, 过一会儿水花四溅, 你能解释一下吗?初一物理竞赛预备班·第4 讲·学生版41抛物面对声音的反射和聚焦作用: 看得见的声波:声音的产生振动（固体、液体、气体）声音的传播需要介质, 真空不能传声声音在不同的介质中传播速度不同, 一般情况下, v 固体>v 液体>v 气体．声音的反射回声——人耳区分回声和原声的最短时间间隔是0.1s．回声应用: 利用回声测量距离．乐音的三要素响度振幅越大, 响度越大．通常用分贝（dB）作为单位．人的理想声音环境是15～40dB; 为保证休息和睡眠, 噪声应不超过50dB; 为保证正常工作和学习, 应控制噪声不超过70dB; 为保护听力, 应控制噪声不超过90dB．音调由声源的频率高低决定的, 频率越高,音调也越高．（1）弦乐器的音调与弦的长短、粗细、松紧有关; 管乐器的音调由发音部分的气体体积大小决定, 体积越小, 音调越高．（2）人的听觉频率范围是20Hz～20000Hz, 我们把频率高于20000Hz 的声音叫做超声波, 低于20Hz 的声音叫做次声波．音色不同物体发出的声音, 音色是不同的．音色取决于发声体本身, 不同发声体的材料、结构不同, 其振动情况是不同的, 发出的声音的特色也就不同．噪声噪声与乐音的区别乐音——由发声体做有规则振动发出的声音噪声——由发声体做无规则振动时发出的声音．（从环境保护角度看, 凡是妨碍人们正常休息、学习和工作的声音, 都属于噪声．）控制噪声的措施①在声源处; ②在传播过程中隔声、吸声; ③在接收处（人耳处）减弱．知识导航模块二声现象42 初一物理竞赛预备班·第4 讲·学生版题型一声音的产生【例12】如图所示, 用悬挂着的乒乓球接触正在发声的音叉, 乒乓球会多次被弹开．这个实验是用来探究（）A．声音能否在真空中传播B．声音产生的原因C．音调是否与频率有关D．声音传播是否需要时间【例13】敲击鼓面, 在听到鼓声时, 还可看见鼓面上小纸团在跳动, 说明鼓声是由于鼓面的产生的; 鼓面的越大, 鼓声的响度越大．题型二声音的传播【例14】地面各个测控站能准确用一种波对飞船进行遥控, 你认为它是超声波吗?（填“是”或“不是”）, 你的理由是．【例15】物理小组的同学想利用闪电和雷声的时间间隔计算闪电发生位置到他们的距离, 以下是一位同学提出的不同方案, 其中计算结果误差最小的应该是（）A．记录刚刚看到闪电至刚刚听到雷声的时间, 再乘以声速B．记录刚刚看到闪电至雷声刚刚结束的时间, 再乘以声速C．由两位同学分别按选项A、B 两种方法测量时间, 求平均值后, 再乘以声速D．由一位同学按照选项A 的方法, 多测几次对应不同闪电与雷声的时间间隔, 求平均值后, 再乘以声速【例16】德国著名音乐家贝多芬老年耳聋后, 用一根木棒听取钢琴的演奏声．他把木棒的一端顶在钢琴上, 另一端用牙齿咬住, 关于这种听声的下列说法中错误的是（）A．他使用了骨传导的方法B．他利用了回声定位的原理C．他利用了固体传声D．骨传导传来的振动传给听觉神经,引起听觉【例17】蒙住你朋友的双眼, 让她安静地坐在房间中央, 头不要转动, 然后, 你拿两枚硬币, 在以下哪个方位敲击时, 她能准确地判断出敲击硬币的方位（）A．在她的正前方B．在她的正后方C．在她头顶正上方D．在她左前方初一物理竞赛预备班·第4 讲·学生版43【例18】小红在漆黑的鬼屋里带上耳机听鬼故事, 听到有人在给自己剪发, 剪刀的声音从左耳到后面再到右耳, 她迅速回过头, 却没有人…… 请你帮她分析一下原因.【例19】常温下, 小林对着一口废矿井大喊了一声, 0.2S 后他听到了回声, 那么井深（）mA ．34B ．68C ．3.4D ．6.8【例20】在冬天, 一场大雪后, 人们感到外面万籁俱寂, 即使是繁华的闹市区, 虽然仍旧车水马龙, 但并不显得非常嘈杂了．然而在雪被踩过之后, 大自然又恢复了以前的喧闹, 这是为什么 呢?【例21】某汽车以 54km ／h 的速度匀速驶向一座大山, 司机想估测汽车到大山的距离, 按响喇叭后,继续以原速度向大山行驶, 经过 3s 后, 听到了喇叭回声, 求汽车喇叭发声处距大山多远?【例22】如下图所示是两种声音的波形图, 从图形可知: 图声音的响度大; 图 声音的 音调高．题型五 声音的三要素、声音的能量、噪声的防治题型四 声音的计算题型三 声音的反射和吸收44 初一物理竞赛预备班·第 4 讲·学生版【例23】三个瓶子装有不同量的水, 小明先用小棍敲击三个瓶子, 第个瓶子发出的音调最高;如果用嘴向三个瓶子内吹气, 则第个瓶子发出的音调最高．【例24】音调不同的声音, 在空气中传播时（）A．低音传播的速度比高音快B．高音传播的速度比低音快C．低音和高音传播的速度相同D．无法判断【例25】对你熟悉的人“未闻其声, 即知其人”的主要原因是因为每个人发出的声音有不同的（）A．音调B．响度C．音色D．三者都不同【例26】在一只玻璃杯中先后装入不同量的水, 用细棒轻轻敲击, 会听到不同频率的声音. 与此类似, 当医生在给病人检查腹部是否有积水时, 常会用手轻轻敲击患者腹部, 细细倾听其发出的声音, 此为“叩诊”. 判断腹部是否有积水主要根据的是（）A.声音的音调B.声音的响度C.声音的音色D.声音的快慢【例27】为了探究音调与什么因素有关, 小明设计了下面几个实验, 如图所示, 你认为不能够完成探究目的的是（）【例28】下列对声的应用实例中, 主要利用声波传递能量的是（）A．有经验的瓜农根据拍击西瓜发出的声音就能判断西瓜的生熟B．医生用听诊器可以了解病人心脏跳动的情况C．利用声纳测海深D．利用超声波来清洗精细的机械初一物理竞赛预备班·第4 讲·学生版45【例29】据报道, 世界“吼王”杰米•温德拉曾“吼”出超过100 分贝的声音, 他“吼”出声音将玻璃杯震碎．下列有关他“吼”出的声音的说法正确的是（）A．声音传递了能量B．声音只在玻璃杯中传播C．声音是玻璃杯振动产生的D．声音的分贝数越高其频率越大【例30】下列做法属于在传播途径中控制噪声的是（）A．汽车进入市区后禁止鸣喇叭B．图书馆里不能大声喧哗C．飞机旁的工作人员带上耳罩D．高速公路两侧安装透明板墙46 初一物理竞赛预备班·第4 讲·学生版【练1】唐诗《枫桥夜泊》中的名句“姑苏城外寒山寺, 夜半钟声到客船”中包含着声学知识．对其中声现象的解释中, 错误的是（）A．钟声是由钟的振动产生的B．船上的人根据音色知道是钟发出的声音C．钟声通过空气传播到客船D．船上的人根据音调知道是钟发出的声音【练2】如果“声音在空气中的传播的速度变为1 米/秒, 则我们周围的世界会有什么变化? “关于这一问题的讨论, 一位学生提出了下列四个有关的场景, 请你判断不正确的是（）A．教室内学生能更清楚地听到教师的讲课声B．乐队在会场内的演奏将变得很混乱C．汽车的喇叭不能再起到原来的作用D．我们听到万米高空传来的客机声时, 却不能看到该飞机【练3】电影院的墙壁上都被装成坑坑凹凹的, 俗称燕子泥, 其目的是（）A．减弱回声B．防止声音振坏墙壁C．增大声音的频率D．增强响度【练4】吉它是年轻人喜爱的一种乐器. 在演奏前, 需要调整琴弦的松紧程度, 这样做的目的是调节琴弦发声时的（）A．振幅B．响度C．音调D．音色【练5】下列与声现象有关的说法中正确的是（）A．城市道路旁的隔音板是在入耳处减弱噪声B．B 超是利用了声音可以传递信息C．我们听不到蝴蝶翅膀振动发出的声音是因为响度太小D．声音在空气的速度一定是340m/s初一物理竞赛预备班·第4 讲·学生版4748 初一物理竞赛预备班·第4 讲·学生版阅读材料超音速飞机与声震现象当飞行器速度接近音速时, 会有一股强大的阻力, 使飞行器产生强烈的振荡, 速度衰减. 这一现象被俗称为音障(Sound Barrier). 突破音障时, 由于机身对空气的压缩无法迅速传播, 逐渐在飞机的迎风面积累而终形成激波面, 冲击波以锥形形状向飞机后方传播. 当冲击波达到地面时, 人们便听到了声震.如果你没有听过飞机的音爆, 那也不要紧. 其实音爆经常发生在抽陀螺健身哪里, 那清脆的啪啪声是小小皮鞭发出来的. 其实, 这啪啪声就是一次次小小的音爆, 因为根据观测, 抽鞭子的时候鞭梢的速度已经突破了音速, 这也可能是人类最早突破音速的尝试.“音爆”只有在飞机作超音速飞行时才会出现. 飞机在超音速飞行时产生的强压力波,传到地面上形成如同雷鸣的爆炸声. 在突破音障时伴随的一个奇特现象便是“音爆云”,这是由于在激波面后方由于气压降低而引起温度降低, 水气凝结形成微小的水珠, 看上去就像云雾一般. 这种云雾通常只能持续几秒钟, 激波现身, 转瞬即逝.把视线从天空转向水面, 把一粒石子投入水中, 水面便会出现一圈圈涟漪, 这是石子扰动水面形成的波. 再看看航行的船, 船头激起了倒V 字型的楔形波纹. 在空气中运动的物体与水上行船相似, 只不过二维的水面变成了三维的空间, 任何在空气中运动的物体都会扰动空气形成波. 这看起来没什么, 但当物体运动的速度越来越快时, 问题就出现了. 空气中波的运动速度是有限的, 也就是音速, 当物体的速度达到音速时, 它激起的那些波就被物体本身赶上了, 堆积起来. 换句话说, 就是空气分子来不及逃开, 被挤压在了一起.当飞机的速度接近音速, 情况与之类似, 一堵空气墙横在前面. 只要动力足够充沛,结构足够结实, 外形足够合理, 被空气墙裹住的飞机便会超过音速. 此时被压缩到极致的空气被穿透, 产生了激波, 造成压力的剧烈波动. 音爆实际上是由紧邻的两声巨响组成的, 这分别代表了空气被飞机前部撞开和空气在飞机尾部闭合形成的激波. 当然, 由于地面和建筑物的反射, 那声音更像是打雷, 绵延不绝.初一物理竞赛预备班·第4 讲·学生版49。
第四讲液体压强锥形瓶
， 初中物理竞赛辅导—压强2、如图所示，甲、乙两个正方体物块放置在水平地面上，甲的边长小于乙的边长。
甲对地面的压强为P 1，乙对地面的压强为P 2。
（ ）A 如甲、乙密度相等，将甲放到乙上，乙对地面的压强有可能变为P 1B 如甲、乙密度相等，将乙放到甲上，甲对地面的压强有可能变为P 2C 如甲、乙质星相等，将甲放到乙上，乙对地面的压强有可能变为P 1D 如甲、乙质量相等，将乙放到甲上，甲对地面的压强有可能变为P 24、如图所示，A 、B 两立方体叠置在一起放于水平桌面上，A 的密度为ρA ，B 的密度为ρB 且ρA ：ρB =1：2，，开始时它们的边长比为L A ：L B =1：1，若不断地缩小A 立方体的体积，但始终保持A 的形状为立方体，使A 、B 两立方体的边长L A ：L B 的比值由1：1逐渐变为1：2，则压强P A ：P B 的比值变化情况为（ ）A 、始终变大B 、始终变小C 、先减小后变大D 、先增大后减5、（1）小王同学为了测量积雪的密度，设计了“根据雪地上的脚印深度进行估测”的方法。
他采用的方法是：利用一块平整地面上的积雪，用脚竖直向下踩在雪上，形成一个向下凹的脚印。
然后通过测量积雪原来的厚度H ，用脚踩后在雪上形成脚印的深度h ，就可以估测雪的密度。
请通过推导得出雪的密度的计算表达式。
6、用长度相同、直径分别为d １和d ２＝2d １的输油管输送石油，如果泵站保证两管管端的压强差始终不变，且液体匀速流动，流动时所受阻力与速度成正比，问一昼夜后者所输送的石油是前者的多少倍?7、如图所示的连通器，粗管截面积为16厘米2，半径是细管半径的2倍，横管长10厘米，粗细与细管一样。
先把0．24升水银注入连通器内，然后在细管一端灌水。
问：灌多少毫升水可以灌满?如果改在由粗管一端灌水，则需多少毫升可以把粗管灌满?8、如图所示，两个密闭容器中均装满液体。
容器中的大活塞面积为S 2，小活塞的面积为S 1，且S 1：S 2=1：5。
第四讲 四点共圆问题
第四讲 四点共圆问题“四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路.判定“四点共圆”的方法，用得最多的是统编教材《几何》二册所介绍的两种（即P 89定理和P 93例3），由这两种基本方法推导出来的其他判别方法也可相机采用. 1 “四点共圆”作为证题目的例1．给出锐角△ABC ，以AB 为直径的圆与AB 边的高CC ′及其延长线交于M ，N .以AC 为直径的圆与AC 边的高BB ′及其延长线将于P ，Q .求证：M ，N ，P ，Q 四点共圆.(第19届美国数学奥林匹克)分析：设PQ ，MN 交于K 点，连接AP ，AM .欲证M ，N ，P ，Q 四点共圆，须证 MK ·KN ＝PK ·KQ ，即证(MC ′-KC ′)(MC ′+KC ′) ＝(PB ′-KB ′)·(PB ′+KB ′)或MC ′2-KC ′2=PB ′2-KB ′2 . ①不难证明 AP =AM ，从而有 AB ′2+PB ′2=AC ′2+MC ′2. 故 MC ′2-PB ′2=AB ′2-AC ′2ABCK M NPQ B ′C ′=(AK 2-KB ′2)-(AK 2-KC ′2)=KC ′2-KB ′2. ②由②即得①，命题得证.例2．A 、B 、C 三点共线，O 点在直线外，O 1，O 2，O 3分别为△OAB ，△OBC ， △OCA 的外心.求证：O ，O 1，O 2， O 3四点共圆.(第27届莫斯科数学奥林匹克)分析：作出图中各辅助线.易证O 1O 2垂直平分OB ，O 1O 3垂直平分OA .观察△OBC 及其外接圆，立得∠OO 2O 1=21∠OO 2B =∠OCB .观察△OCA 及其外接圆，立得∠OO 3O 1=21∠OO 3A =∠OCA .由∠OO 2O 1=∠OO 3O 1 O ，O 1，O 2，O 3共圆.利用对角互补，也可证明O ，O 1，O 2，O 3四点共圆，请同学自证.2 以“四点共圆”作为解题手段这种情况不仅题目多，而且结论变幻莫测，可大体上归纳为如下几个方面. (1)证角相等例3．在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＞CD ，K ，M 分别在AD ，BC 上，∠DAM ＝∠CBK .A BCOO O O 123？？求证：∠DMA ＝∠CKB .（第二届袓冲之杯初中竞赛）分析：易知A ，B ，M ，K 四点共圆.连接KM ，有∠DAB ＝∠CMK .∵∠DAB +∠ADC ＝180°，∴∠CMK +∠KDC ＝180°.故C ，D ，K ，M 四点共圆 ∠CMD ＝∠DKC . 但已证∠AMB ＝∠BKA ， ∴∠DMA ＝∠CKB .(2)证线垂直例4．⊙O 过△ABC 顶点A ，C ，且与AB ， BC 交于K ，N (K 与N 不同).△ABC 外接圆和△BKN 外接圆相交于B 和 M .求证：∠BMO =90°. (第26届IMO 第五题)分析：这道国际数学竞赛题，曾使许多选手望而却步.其实，只要把握已知条件和图形特点，借助“四点共圆”，问题是不难解决的. 连接OC ，OK ，MC ，MK ，延长BM 到G .易得∠GMC =∠BAC =∠BNK =∠BMK .而∠COK =2·∠BAC =∠GMC +A BC D K M ··ABO K N CMG∠BMK =180°-∠CMK ，∴∠COK +∠CMK =180°⇒C ，O ，K ，M 四点共圆. 在这个圆中，由OC =OK ⇒ OC =OK ⇒∠OMC =∠OMK . 但∠GMC =∠BMK ， 故∠BMO =90°. (3)判断图形形状例5．四边形ABCD 内接于圆，△BCD ，△ACD ，△ABD ，△ABC的内心依次记为I A ，I B ，I C ，I D .试证：I A I B I C I D 是矩形.(第一届数学奥林匹克国家集训选拔试题) 分析：连接AI C ，AI D ，BI C ，BI D 和DI B .易得∠AI C B =90°+21∠ADB =90°+21 ∠ACB =∠AI D B ⇒A ，B ，I D ，I C 四点 共圆.同理，A ，D ，I B ，I C 四点共圆.此时 ∠AI C I D =180°-∠ABI D =180°-21∠ABC ， ∠AI C I B =180°-∠ADI B =180°-21∠ADC ， ABCDI C I DAI I B∴∠AI C I D +∠AI C I B =360°-21(∠ABC +∠ADC ) =360°-21×180°=270°. 故∠I B I C I D =90°.同样可证I A I B I C I D 其它三个内角皆为90°.该四边形必为矩形. (4)计算例6．正方形ABCD 的中心为O ，面积为1989㎝2.P 为正方形内一点，且∠OPB =45°，P A :PB =5:14.则PB =__________ (1989，全国初中联赛)分析：答案是PB =42㎝.怎样得到的呢？连接OA ，OB .易知O ，P ，A ，B四点共圆，有∠APB =∠AOB =90°. 故P A 2+PB 2=AB 2=1989. 由于P A :PB =5:14，可求PB . (5)其他例7．设有边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出面积最大的和一个面积最小的，并求出这两个面积(须证明你的论断).··P OA BCD(1978，全国高中联赛)分析：设△EFG 为正方形ABCD 的一个内接正三角形，由于正三角形的三个顶点至少必落在正方形的三条边上，所以不妨令F ，G 两点在正方形的一组对边上. 作正△EFG 的高EK ，易知E ，K ，G ，D 四点共圆⇒∠KDE =∠KGE =60°.同 理，∠KAE =60°.故△KAD 也是一个正 三角形，K 必为一个定点.又正三角形面积取决于它的边长，当KF 丄AB 时，边长为1，这时边长最小，而面积S =43也最小.当KF 通过B 点时，边长为2·32-，这时边长最大，面积S =23-3也最大. 例8．NS 是⊙O 的直径，弦AB 丄NS 于M ，P 为ANB 上异于N 的任一点，PS 交AB 于R ，PM 的延长线交⊙O 于Q .求证：RS ＞MQ .(1991，江苏省初中竞赛)分析：连接NP ，NQ ，NR ，NR 的延长线交⊙O 于Q ′.连接MQ ′，SQ ′.易证N ，M ，R ，P 四点共圆，从而，∠SNQ ′=∠MNR =∠MPR =∠SPQ =∠SNQ .根据圆的轴对称性质可知Q 与Q ′关于NS 成轴对称⇒MQ ′=MQ .A BCDEF KG ······又易证M，S，Q′，R四点共圆，且RS是这个圆的直径(∠RMS=90°)，MQ′是一条弦(∠MSQ′＜90°)，故RS ＞MQ′.但MQ=MQ′，所以，RS＞MQ.练习题1.⊙O1交⊙O2于A，B两点，射线O1A交⊙O2于C点，射线O2A交⊙O1于D点.求证：点A是△BCD的内心.(提示：设法证明C，D，O1，B四点共圆，再证C，D，B，O2四点共圆，从而知C，D，O1，B，O2五点共圆.)2.△ABC为不等边三角形.∠A及其外角平分线分别交对边中垂线于A1，A2；同样得到B1，B2，C1，C2.求证：A1A2=B1B2=C1C2.(提示：设法证∠ABA1与∠ACA1互补造成A，B，A1，C四点共圆；再证A，A2，B，C四点共圆，从而知A1，A2都是△ABC的外接圆上，并注意∠A1AA2=90°.)3.设点M在正三角形三条高线上的射影分别是M1，M2，M3(互不重合).求证：△M1M2M3也是正三角形.4.在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，P是AB上的点，过A 点作PC的垂线交过B所作AB的垂线于Q点.求证：PD丄QD.(提示：证B，Q，E，P和B，D，E，P分别共圆)5.AD，BE，CF是锐角△ABC的三条高.从A引EF的垂线l1，从B引FD的垂线l2，从C引DE的垂线l3.求证：l1，l2，l3三线共点.(提示：过B作AB的垂线交l1于K，证：A，B，K，C四点共圆)。
初二物理竞赛辅导资料(共12讲)讲义
初二物理竞赛辅导资料(共12讲)讲义
这份资料包括12门课程，旨在帮助初二学生考取物理竞赛的好成绩。
以下是每门课程的简要介绍：
第1讲：物理竞赛基础知识与技巧
介绍了包括参加竞赛前的准备、研究方法、解题技巧等在内的基本知识。
第2讲：力学中的几何解法
介绍了使用几何学方法解决力学问题的方法。
第3讲：热学和热力学的基本概念和形式
介绍了热学和热力学中的基本概念和公式。
第4讲：电学与磁学
介绍了电学和磁学中的基本概念和公式。
第5讲：光学基础知识
介绍了光学中的基本概念，包括光线、光程和光谱等。
第6讲：机械波和电磁波
介绍了机械波和电磁波的基本概念和公式。
第7讲：基本电路与晶体管
介绍了电路中的基本元件和晶体管的工作原理。
第8讲：行星和天体物理学
介绍了行星和天体物理学的基本概念和公式。
第9讲：原子物理和量子力学
介绍了原子物理学和量子力学中的基本概念和公式。
第10讲：核物理学和粒子物理学
介绍了核物理学和粒子物理学中的基本概念和公式。
第11讲：相对论和宇宙学
介绍了相对论和宇宙学的基本概念和公式。
第12讲：物理竞赛考试技巧和策略
介绍了物理竞赛考试中使用的技巧和策略，以帮助学生取得更好的成绩。
该资料涵盖了物理学的各个方面，非常全面。
希望学生们能够认真学习，取得优异的成绩。
初中物理竞赛教程(基础篇)第4讲 光的折射 凸透镜成像
第4讲光的折射透镜4.1 学习提要4.1.1 光的折射1. 光的折射现象光从一种物质进入另一种物质时，它的传播方向通常会改变，这种现象叫做光的折射。
2. 光的折射规律如图4-1所示，光线AO从空气斜射人水中，传播方向发生改变，折射光线是OB。
光折射时，折射光线、入射光线、法线在同一面内；折射光线和入射光线分别位于法线两侧。
当光从空气斜射入水（或其他透明介质）中时，折射光线向法线靠拢，折射角小于入射角。
入射角增大时，折射角增大。
光垂直射到水（或其他透明介质）的表面时，光的传播方向不变。
图4-1当光从水（或其他透明介质）斜射入空气中时，折射光线将偏离法线，折射角大于入射角。
如图4-2（a）和(b)所示，当光以相同的人射角分别从空气斜射人水或玻璃中时，在玻璃中的折射光线向法线偏折更明显，说明玻璃对光的折射本领比水强。
实验表明，不同介质对光的折射本领不同。
图4-24.1.2 透镜1. 三棱键三棱镜是一个截面为三角形的透明棱柱体。
如图4-3所示，由空气射人三棱镜内的光线，通过棱镜后出射光线向棱镜的底面偏折。
图4-3 图4-42. 凸透镜（1）中间比边缘厚的透镜叫做凸透镜。
通常透镜的两个表面都是球面，或者一面是球面，—面是平面。
通过透镜球面的球心C1、C2的直线叫做透镜的主光轴，透镜的中心O点叫做透镜的光心。
（2）凸透镜对光线有会聚作用，如图4-4所示，凸透镜的焦点为实焦点。
（3）经过凸透镜有三条特殊光线，如图4-5所示：（a）平行于主光轴的光线经凸透镜折射后过焦点。
（b）过焦点的光线绘凸透镜折射后折射光线平行于主光轴。
（b）通过凸透镜光心的光线方向不改变。
图4-53. 凹透镜（1）中间比边缘薄的透镜叫做凹透镜。
（2）凹透镜对光线有发散作用，如图4-6所示，凹透镜的焦点为虚焦点。
（3）经过凹透镜有三条特殊光线，如图4-7所示：（a）平行于主光轴的光线经凹透镜折射后它的反向延长线过焦点。
图4-6（b）延长线过焦点的光线经凹透镜折射后折射光线平行于主光轴。
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第四讲 平移、旋转、翻转
平移
1.等腰梯形ABCD 中，对角线夹角为60°,中位线长度为4，则梯形的面积为_____________
2.如图1，正方形ABCD 中，将线段BC 折叠后使B 落在段AD 上，记为B ’,折痕为EF,AB ’=5,EF=13,求BE=__________
对称
3.4.图）5.
第5题
6.，将它折叠，使点D 与点B 重合，求折叠后A 、5C 、6
7.在一起,得到折痕EF.
(1)证明四边形AECF 是菱形. (2)计算折痕EF 的长.
(3)求△CEH 的面积. 第7题
D
8.恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然
保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km,A、B到直线X的距离分别为10km和40km,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P,向A、B两景区运送游客.小民设计了两种方案，图10（1）是方案一的示意图(AP与直线X垂直，垂足为P),P到A、B的距离之和S1=PA+PB；图10（2）是方案二的示意图(点A关于直线X的对称点是A'，连接BA'交直线X于点P),P到A、B的距离之和S2=PA+PB.
(1).求S1 、S2 ,并比较它们的大小.
(2).请你说明S2=PA+PB的值为最小.
(3).拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为
组成的四边形的周长最小.并求出这个最小
P是线
的坐标是
°，13.如图，D为正三角形ABC内一点，BD=5, CD=3, ∠ADC=150°,求AD 的长.
第13题
B C
D
A
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14.如图，等边∆A B C 的边长a =
+25123，点P 是∆A B C 内的一点，且
PA PB PC 2
2
2
+=，若PC =5，求PA 、PB 的长。
第14题
15.
=
16.
17.且∠
第17题
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18.已知Rt △ABC 中，︒=∠90ACB ，CB CA =，有一个圆心角为︒45，半径的长等于CA 的扇形CEF 绕点C 旋转，且直线CE ，CF 分别与直线AB 交于点M ，N ． （Ⅰ）当扇形CEF 绕点C 在ACB ∠的内部旋转时，如图①，求证：2
2
2
BN
AM
MN +=；
（Ⅱ）当扇形CEF 绕点C 旋转至图②的位置时，关系式2
2
2
BN
AM
MN +=是否仍然成立？若成立，请证明；
19.PG （1（2）。