山东省青州第二中学2025届高三第二次联考数学试卷含解析

山东省青州第二中学2025届高三第二次联考数学试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线22
221x y C a b
-=：的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于( )
A ．2?
B ．
10
3
C ．10?
D ．22
2．已知函2
2
()(sin cos )2cos f x x x x =++，,44x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，则()f x 的最小值为（ ） A ．22-
B ．1
C ．0
D ．2-
3．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（ ）
A ．2对
B ．3对
C ．4对
D ．5对
4．(),0F c -为双曲线2222:1x y E a b
-=的左焦点，过点F 的直线与圆22
234x y c +=交于A 、B 两点，（A 在F 、B 之
间）与双曲线E 在第一象限的交点为P ，O 为坐标原点，若FA BP =，且2
3100
OA OB c ⋅=-，则双曲线E 的离心率为（ ） A 5B ．
52
C 5
D ．5
5．已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，若存在点P 满足
1212::4:6:5PF PF F F =，则该双曲线的离心率为（ ）
A ．2
B ．
52
C ．
53
D ．5
6． “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 A ．32f B ．322f C ．1252f D ．1272f
7．已知双曲线)，其右焦点F 的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标
原点，满足，线段交双曲线于点.若为
的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A ．
B ．2
C ．
D ．
8．已知函数1
()2x f x e x -=+-的零点为m ，若存在实数n 使230x ax a --+=且||1m n -≤，则实数a 的取值范围
是（ ） A ．[2,4]
B ．72,3
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．7
,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．[2,3]
9．已知双曲线22
22:10,0()x y C a b a b
-=>>的左、右顶点分别为12A A 、，点P 是双曲线C 上与12A A 、不重合的动点，
若123PA PA k k =， 则双曲线的离心率为( ) A 2
B 3
C ．4
D ．2
10．已知抛物线C ：2
2y px =（0p >）的焦点为F ，01,2M y ⎛⎫
⎪⎝⎭
为该抛物线上一点，以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，120AMF ∠=︒，则抛物线方程为（ ） A ．2
2y x =
B ．24y x =
C ．26y x =
D ．2
8y x =
11．已知等式23
24
2
14012141(1(2))x x x a a x a x a x -+⋅-=++++成立，则2414a a a ++
+=（ ）
A ．0
B ．5
C ．7
D ．13
12．已知双曲线22
221x y a b
-=（0a ＞，0b >）的左、右焦点分别为E F ，，以OF （O 为坐标原点）为直径的圆C 交
双曲线于A B 、两点，若直线AE 与圆C 相切，则该双曲线的离心率为（ ）
A
B
C
D
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和，396,,S S S 成等差数列，则
25
8
a a a +的值为_____． 14．已知向量()1,1m =，()2,1n =-，()1,g λ=，若()
2g m n ⊥+，则λ=______.
15
．二项式12n
x ⎫⎪⎭
的展开式中所有项的二项式系数之和是64，则展开式中的常数项为______. 16．已知角6
π
α+
的终边过点(1,P --，则sin α=______.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了健身促销活动，收费标准如下：健身时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为20元（不足l 小时的部分按1小时计算）.现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身，设甲、乙健身时间不超过1小时的概率分别为14，16
，健身时间1小时以上且不超过2小时的概率分别为12，2
3，且两人健
身时间都不会超过3小时.
（1）设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量ξ（单位：元），求ξ的分布列与数学期望()E ξ；
（2）此促销活动推出后，健身馆预计每天约有300人来参与健身活动，以这两人健身费用之和的数学期望为依据，预测此次促销活动后健身馆每天的营业额.
18．（12分）己知等差数列{}n a 的公差0d ≠，125a =，且1a ，11a ，13a 成等比数列. （1）求使不等式0n a ≥成立的最大自然数n ； （2）记数列11n n a a +⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，求证：1312
2525n
T -≤≤. 19．（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C
的参数方程为sin x y α
α
⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos sin 40ρθρθ++=. （1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；
（2）若点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上，求||PQ 的最小值及此时点P 的坐标.
20．（12分）为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如表数据：
处罚金额x （单位：元） 5 10 15 20 会闯红灯的人数y
50
40
20
10
若用表中数据所得频率代替概率.
（1）当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？
（2）将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类：A 类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；B 类是其他市民.现对A 类与B 类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为B 类市民的概率是多少？ 21．（12分）如图1，四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，E 为CD 的中点，以BE 为折痕将BCE ∆折起到PBE ∆的位置，使得平面PBE ⊥平面ABCD ，如图2.
（1）证明：平面PAB ⊥平面PBE ； （2）求点D 到平面PAB 的距离.
22．（10分）已知函数2()ln (1)1(,).f x x ax a b x b a b R =-+--++∈ （1）若0a =，试讨论()f x 的单调性；
（2）若02,1a b <<=，实数12,x x 为方程2()f x m ax =-的两不等实根，求证：
12
11
42a x x +>-. 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B 【解析】
由于直线的斜率k 3=,所以一条渐近线的斜率为13k '=-，即13b a =，所以21()b e a
=+=10
，选B. 2、B
【解析】
()2sin(2)2,4f x x π=++,44x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，32444x πππ-≤+≤利用整体换元法求最小值.
【详解】
由已知，2
()12sin cos 2cos sin 2cos22f x x x x x x =++=++2sin(2)2,4
x π
=
++
又44x ππ-
≤≤，32444
x πππ∴-≤+≤，故当244x ππ+=-，即4π
x =-时，min ()1f x =.
故选：B. 【点睛】
本题考查整体换元法求正弦型函数的最值，涉及到二倍角公式的应用，是一道中档题. 3、C 【解析】
画出该几何体的直观图P ABCD -，易证平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PCD ⊥平面PAD ，平面PAB ⊥平面PAD ，平面PAB ⊥平面PCD ，从而可选出答案． 【详解】
该几何体是一个四棱锥，直观图如下图所示，易知平面PAD ⊥平面ABCD ， 作PO ⊥AD 于O ，则有PO ⊥平面ABCD ，PO ⊥CD ， 又AD ⊥CD ，所以，CD ⊥平面PAD ， 所以平面PCD ⊥平面PAD ， 同理可证：平面PAB ⊥平面PAD ，
由三视图可知：PO ＝AO ＝OD ，所以，AP ⊥PD ，又AP ⊥CD ， 所以，AP ⊥平面PCD ，所以，平面PAB ⊥平面PCD ， 所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对．
【点睛】
本题考查了空间几何体的三视图，考查了四棱锥的结构特征，考查了面面垂直的证明，属于中档题． 4、D 【解析】
过点O 作OM PF ⊥，可得出点M 为AB 的中点，由2
3100
OA OB c ⋅=-
可求得cos AOB ∠的值，可计算出cos
2
AOB
∠的值，进而可得出OM ，结合FA BP =可知点M 为PF 的中点，可得出PF '，利用勾股定理求得PF （F '为双曲线的右焦点），再利用双曲线的定义可求得该双曲线的离心率的值. 【详解】
如下图所示，过点O 作OM PF ⊥，设该双曲线的右焦点为F '，连接PF '.
2
333cos 2100
OA OB AOB c ⋅=
⋅∠=-，1cos 25AOB ∴∠=-.
1cos 23
cos
22AOB AOB ∠+∠∴==
3cos 25AOB OM OA c ∠∴==， FA BP =，M ∴为PF 的中点，//PF OM '∴，90FPF '∠=，625
c
PF OM '==
， ()
2
2
825
c PF c PF '∴=
-=
， 由双曲线的定义得2PF PF a '-=，即225
c
a =， 因此，该双曲线的离心率为5c
e a
==. 故选：D. 【点睛】
本题考查双曲线离心率的求解，解题时要充分分析图形的形状，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 5、B 【解析】
利用双曲线的定义和条件中的比例关系可求. 【详解】
1221
55
642
F F e PF PF =
=
=--.选B. 【点睛】
本题主要考查双曲线的定义及离心率，离心率求解时，一般是把已知条件，转化为a,b,c 的关系式. 6、 D 【解析】
分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解. 详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为122， 所以1212(2,)n n a a n n N -+=≥∈， 又1a f =，则127771281(2)2a a q f f === 故选D.
点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：
（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1
n
n a q a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈）， 数列{}n a 是等比数列；
（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*
3,n n N ≥∈），则数列{}n a 是等比数列.
7、C 【解析】 计算得到，
，代入双曲线化简得到答案.
【详解】
双曲线的一条渐近线方程为，是第一象限内双曲线渐近线上的一点，，
故
，
，故
，代入双曲线化简得到：
，故
.
故选：. 【点睛】
本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 8、D 【解析】
易知()f x 单调递增,由(1)0f =可得唯一零点1m =,通过已知可求得02n ≤≤,则问题转化为使方程
230x ax a --+=在区间[]0,2上有解,化简可得4
121
a x x =++
-+,借助对号函数即可解得实数a 的取值范围. 【详解】
易知函数1
()2x f x e x -=+-单调递增且有惟一的零点为1m =，所以|1|1n -≤，∴02n ≤≤，问题转化为：使方程
2
30x ax a --+=在区间[]0,2上有解，即223(1)2(1)44
12111
x x x a x x x x ++-++=
==++-+++ 在区间[]0,2上有解，而根据“对勾函数”可知函数4
121
y x x =++-+在区间[]0,2的值域为[2,3]，∴23a ≤≤. 故选D ． 【点睛】
本题考查了函数的零点问题,考查了方程有解问题,分离参数法及构造函数法的应用,考查了利用“对勾函数”求参数取值范围问题,难度较难. 9、D 【解析】
设()00,P x y ，()1,0A a -，()2,0A a ，根据12
3PA PA k k =可得2
22
33y x a =-①，再根据又22
00221x y a b
-=②，由①②可得(
)()
22
2222033b a x
a b a -=-，化简可得2c a =，即可求出离心率．
【详解】
解：设()00,P x y ，()1,0A a -，()2,0A a ， ∵123PA PA k k =， ∴
0000·3y y x a x a
=+-，即22
20033y x a =-，① 又2200
221x y a b
-=，②， 由①②可得(
)()
22
2
2220
33b a
x
a b a -=-，
∵0x a ≠±， ∴2230b a -=， ∴22223b a c a ==-， ∴2c a =， 即2e =， 故选：D ．
【点睛】
本题考查双曲线的方程和性质，考查了斜率的计算，离心率的求法，属于基础题和易错题． 10、C 【解析】
根据抛物线方程求得M 点的坐标，根据//MA x 轴、120AMF ∠=︒列方程，解方程求得p 的值. 【详解】
不妨设M 在第一象限，由于M 在抛物线上，所以12M p ⎛
⎝，由于以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，根据抛物线的定义可知，MA MF =、//MA x 轴，且,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
.由于120AMF ∠=︒，所以直线MF 的倾斜角α为120，所以
tan1203
122
MF p k p
-==
=-3p =，或13p =（由于10,122p p -<>，故舍去）.所以抛物线的方程为2
6y x =. 故选：C
【点睛】
本小题主要考查抛物线的定义，考查直线的斜率，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 11、D 【解析】
根据等式和特征和所求代数式的值的特征用特殊值法进行求解即可. 【详解】
由23
24
2
14012141(1(2))x x x a a x a x a x -+⋅-=++++可知：
令0x =，得0011a a ⇒==； 令1x =，得012140121411(1)a a a a a a a a =+++
+++++⇒=；
令1x =-，得0123140123142727(2)()()a a a a a a a a a a =-++-++-++⇒=+-+
，
(2)(1)+得，024********(28)14a a a a a a a a ++++=⇒++++=，而01a =，所以
241413a a a ++
+=.
故选：D 【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，考查了特殊值代入法，考查了数学运算能力. 12、D 【解析】
连接CA AF ，，可得32
c
EC =，在ACF 中，由余弦定理得AF ，结合双曲线的定义，即得解. 【详解】
连接CA AF ，， 则2c OC CA CF ===，OE c =， 所以32c EC =，||2
c FC = 在Rt EAC 中，2AE c ，1cos 3ACE ∠=， 故1cos cos 3
ACF ACE ∠=-∠=-
在ACF 中，由余弦定理 2222cos AF CA CF CA CF ACF =+-⋅⋅∠ 可得6AF . 622c a -
=， 所以双曲线的离心率3266
326
23c e a +====--故选：D
【点睛】
本题考查了双曲线的性质及双曲线的离心率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、2
【解析】
设等比数列{}n a 的公比设为,q 再根据396,,S S S 成等差数列利用基本量法求解,q 再根据等比数列各项间的关系求解
258
a a a +即可. 【详解】
解：等比数列{}n a 的公比设为,q
396,,S S S 成等差数列,
可得9362,S S S +＝
若1,q ＝
则1111836,a a a +＝ 显然不成立,故1,q ≠
则()
()()9361111112111a q a q a q q
q q ---⋅=+---, 化为6321,q q +＝
解得31
2
q ＝﹣, 则43
251176811112214
a a a a q q a a q q
-+++====
故答案为：2．
【点睛】 本题主要考查了等比数列的基本量求解以及运用,属于中档题.
14、-1
【解析】
由向量垂直得向量的数量积为0，根据数量积的坐标运算可得结论．
【详解】
由已知2(4,1)m n +=，∵()2g m n ⊥+，∴()
240g m n λ⋅+=+=，4λ=-．
故答案为：－1．
【点睛】
本题考查向量垂直的坐标运算．掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键．
15、154 【解析】
由二项式系数性质求出n ，由二项展开式通项公式得出常数项的项数，从而得常数项．
【详解】
由题意264n =，6n =．
展开式通项为336216611()()22r r r r r r r T C C x x --+=-=-，由3302r -=得2r ， ∴常数项为2236115()24T C =-=
． 故答案为：
154． 【点睛】
本题考查二项式定理，考查二项式系数的性质，掌握二项展开式通项公式是解题关键．
16 【解析】 由题意利用任意角的三角函数的定义，两角和差正弦公式，求得sin sin[()]66
ππαα=+-的值． 【详解】
解：∵角6πα+的终边过点(1,P --，
∴sin
63πα⎛
⎫+==- ⎪⎝⎭，1cos 63πα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，
∴sin sin 66ππαα⎡⎤⎛
⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
sin cos cos sin 6666ππππαα⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11332⎛⎫=---⋅ ⎪⎝⎭=，
【点睛】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差正弦公式，属于基础题．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）见解析，40元（2）6000元
【解析】
（1）甲、乙两人所付的健身费用都是0元、20元、40元三种情况，因此甲、乙两人所付的健身费用之和共有9种情况，分情况计算即可
（2）根据（1）结果求均值.
【详解】
解：（1）由题设知ξ可能取值为0，20，40，60，80，则
()11104624
P ξ==⨯=； ()121112043624
P ξ==⨯+⨯=； ()11121154046236412
P ξ==⨯+⨯+⨯=； ()111216026434
P ξ==⨯+⨯=； ()111804624
P ξ==⨯=. 故ξ的分布列为：
所以数学期望()10204060804024412424
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元） （2）此次促销活动后健身馆每天的营业额预计为：14030060002⨯⨯=（元） 【点睛】
考查离散型随机变量的分布列及其期望的求法，中档题.
18、（1）13n =；（2）证明见解析
【解析】
（1）根据1a ，11a ，13a 成等比数列，有211113a a a =⋅，结合公差0d ≠，125a =，求得通项，再解不等式0n a ≥.
（2）根据（1）()()1111112272252227225n n a a n n n n +⎛⎫==-- ⎪-+-+-+-+⎝⎭
，用裂项相消法求和，然后研究其单调性即可.
【详解】
（1）由题意，可知2
11113a a a =⋅，
即()()21111012a d a a d +=⋅+，
∴()12250d a d +=.
又25a =，0d ≠，∴2d =-，
∴227n a n =-+.
∴2270n -+≥，
∴13.5n ≤，
故满足题意的最大自然数为13n =.
（2）()()1111112272252227225n n a a n n n n +⎛⎫==-- ⎪-+-+-+-+⎝⎭
， ∴12233411111n n n T a a a a a a a a +=
+++. 1111111225232321227225n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
. 1111122522550504n n ⎛⎫=--=-+ ⎪-+-⎝⎭. 从而当12n ≤时，1150504n T n
=-+-单调递增，且0n T >， 当13n ≥时，1150504n T n =-
+-单调递增，且0n T <， 所以1312n T T T ≤≤，
由
121225T =，131325
T =-知不等式成立. 【点睛】
本题主要考查等差数列的基本运算和裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
19、（1）2
213x y +=；40x y ++=（2，此时31,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
【解析】
（1）消去曲线1C 参数方程的参数，求得曲线1C 的普通方程.利用极坐标和直角坐标相互转化公式，求得曲线2C 的直角坐标方程.
（2）设出P 的坐标，结合点到直线的距离公式以及三角函数最值的求法，求得||PQ 的最小值及此时点P 的坐标.
【详解】
2x
把cos x ρα=，sin y ρα=代入得，曲线2C 的直角坐标方程是40x y ++=
（2
）设,sin )P αα，||PQ 的最小值就是点P 到直线2C 的最小距离.
设d == 在56πα=-时，sin 13πα⎛⎫+=- ⎪⎝
⎭
，d =
32
α=-，1sin 2α=-
，此时31,22P ⎛⎫-
- ⎪⎝⎭ 【点睛】
本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查利用圆锥曲线的参数求最值，属于中档题.
20、（1）降低
15（2）16 【解析】
（1）计算出罚金定为10元时行人闯红灯的概率，和不进行处罚时行人闯红灯的概率，求解即可；
（2）闯红灯的市民有80人，其中A 类市民和B 类市民各有40人，根据分层抽样法抽出4人依次排序，计算所求的概率值.
【详解】
解：（1）当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率为
4012005=； 不进行处罚，行人闯红灯的概率为8022005
=； 所以当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低
211555-=； （2）由题可知，闯红灯的市民有80人，A 类市民和B 类市民各有40人
故分别从A 类市民和B 类市民各抽出两人，4人依次排序
记A 类市民中抽取的两人对应的编号为1,2，B 类市民中抽取的两人编号为3,4
则4人依次排序分别为(1,2,3,4),(1,2,4,3)，(1,3,2,4),(1,3,4,2)，(1,4,3,2),(1,4,2,3)，(2,1,3,4),(2,1,4,3)，(2,3,1,4),(2,3,4,1)，(2,4,1,3),(2,4,3,1)，(3,1,2,4),(3,1,4,2)，(3,2,1,4),(3,2,4,1)，(3,4,1,2),(3,4,2,1)，
(4,1,2,3),(4,1,3,2)，(4,2,1,3),(4,2,3,1)，(4,3,1,2),(4,3,2,1)，共有24种
前两位均为B 类市民排序为(3,4,1,2),(3,4,2,1)，(4,3,1,2),(4,3,2,1)，有4种，所以前两位均为B 类市民的概率是41246P ==. 【点睛】
本题主要考查了计算古典概型的概率，属于中档题.
21、（1）证明见解析（2）
32 【解析】
（1）由题意可证得PE AB ⊥，AB BE ⊥，所以AB ⊥平面PBE ，则平面PAB ⊥平面PBE 可证； （2）解法一：利用等体积法由P ADB D APB V V --=可求出点D 到平面PAB 的距离；解法二：由条件知点D 到平面PAB 的距离等于点E 到平面PAB 的距离，过点E 作PB 的垂线，垂足F ，证明EF ⊥平面PAB ，计算出EF 即可.
【详解】
解法一：（1）依题意知，因为CE BE ⊥，所以PE BE ⊥.
又平面PBE ⊥平面ABCD ，平面PBE ⋂平面ABCD BE =，PE ⊂平面PBE ，
所以PE ⊥平面ABCD .
又AB 平面ABCD ， 所以PE AB ⊥.
由已知，BCD ∆是等边三角形，且E 为CD 的中点，所以BE CD ⊥.
因为//AB CD ，所以AB BE ⊥.
又PE BE E ⋂=，所以AB ⊥平面PBE .
又AB 平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PBE .
（2）在ABD 中，2AB AD ==，60BAD ∠=︒，所以3ABD S ∆=由（1）知，PE ⊥平面ABD ，且1PE =，
13
在Rt PBE ∆中，1PE =
，BE =，得2PB =，
由（1）知，AB ⊥平面PBE ，所以AB PB ⊥，
所以2ABP S ∆=，
设点D 到平面PAB 的距离d ，
则三棱锥E PAB -
的体积123V d '=
⨯⨯=
，得d =. 解法二：（1）同解法一；
（2）因为//DE AB ，AB
平面PAB ，DE ⊄平面PAB ， 所以//DE 平面PAB .
所以点E 到平面PAB 的距离等于点D 到平面PAB 的距离.
过点E 作PB 的垂线，垂足F ，即EF PB ⊥.
由（1）知，平面PAB ⊥平面PBE ，平面PAB ⋂平面PBE PB =，EF ⊂平面PBE ，
所以EF ⊥平面PAB ，即EF 为点D 到平面PAB 的距离.
由（1）知，PE BE ⊥，
在Rt PBE ∆中，1PE =
，BE =，得2PB =.
又PE BE PB EF ⨯=⨯
，所以2EF =
. 所以点D 到平面PAB
【点睛】 本题主要考查空间面面垂直的的判定及点到面的距离，考查学生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力.求点到平面的距离一般可采用两种方法求解：①等体积法；②作(找)出点到平面的垂线段，进行计算即可.
22、（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析
【解析】
（1）根据题意得()f x '，分1b ≤-与1b >-讨论即可得到函数()f x 的单调性；
（2）根据题意构造函数()g x ，得12()()g x g x m ==，参变分离得2112
ln ln 2x x a x x --=-， 分析不等式121142a x x +>-，即转化为1222112ln x x x x x x -<-，设21(1)x t t x =>，再构造函数()12ln g t t t t
=-+，利用
【详解】
（1）依题意0x >，当0a =时，1()(1)f x b x
'=-+， ①当1b ≤-时，()0f x '>恒成立，此时()f x 在定义域上单调递增；
②当1b >-时，若10,1x b ⎛
⎫∈ ⎪+⎝⎭，()0f x '>；若1,1x b ⎛⎫∈+∞ ⎪+⎝⎭
，()0f x '<； 故此时()f x 的单调递增区间为10,
1b ⎛
⎫ ⎪+⎝⎭，单调递减区间为1,1b ⎛⎫+∞ ⎪+⎝⎭. （2）方法1：由2()f x m ax =-得ln (2)20x a x m +-+-=
令()ln (2)2g x x a x =+-+，则12()()g x g x m ==，
依题意有1122ln (2)ln (2)x a x x a x +-=+-，即2112
ln ln 2x x a x x --=-， 要证121142a x x +>-，只需证()21121212
2ln ln 2(2)x x x x a x x x x --+>-=-（不妨设12x x <）， 即证122211
2ln x x x x x x -<-， 令21(1)x t t x =>，设()12ln g t t t t
=-+，则22211()1(1)0g t t t t '=--=--<， ()g t ∴在(1,)+∞单调递减，即()(1)0g t g <=，从而有
121142a x x +>-. 方法2：由2()f x m ax =-得ln (2)20x a x m +-+-=
令()ln (2)2g x x a x =+-+，则12()()g x g x m ==，1()(2)g x a x '=
-- 当1(0,)2x a ∈-时()0g x '>，1(,)2x a
∈+∞-时()0g x '<， 故()g x 在1(0,)2a -上单调递增，在1(,)2a
+∞-上单调递减， 不妨设12x x <，则12102x x a
<<<-， 要证12
1142a x x +>-，只需证212(42)1x x a x <--，易知221(0,)(42)12x a x a ∈---， 故只需证21()()x g x g <，即证22()()x g x g <
令()()()(42)1x h x g x g a x =---，（12x a
>-）， 则()21
()()()(42)1
421x h x g x g a x a x '''=+----⎡⎤⎣⎦ =()21(2)1(2)1421a x a x x x a x ----⎡⎤+⎢⎥⎣⎦--⎡⎤⎣⎦=()()224(2)210421a a x a x ----⎡⎤⎣⎦<--⎡⎤⎣⎦
， （也可代入后再求导）
()h x ∴在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭
上单调递减，1()()02h x h a ∴<=-， 故对于12x a >
-时，总有()()(42)1x g x g a x <--.由此得121142a x x +>- 【点睛】
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题.。