双曲线及其标准方程(修改版)

F2
x
F1 (0,-c) , F2 (0,c)
F1
| ( y c)2 x2 ( y c)2 x2 | 2a.
化简为：
c2 a2 b2
三.双曲线两种标准方程的比较
x2 y 2 1(a 0,b 0) a2 b2 y
M
F1 O F2 x
y2 a2

x2 b2
且点O与线段AB的中点重合
设爆炸点P的坐标为(x,y)，
y
P
则 PA PB 340 2 680 即 2a=680，a=340 AB 800
Ao Bx
2c 800,c 400, b2 c2 a2 44400
800 PA PB 680 0 , x 因此炮弹爆炸点的轨迹方程为
（
15 3
,
2 ），求双曲线的标准方程。
设法一： 设法二：
这些方法 叫待定系
数法
设法三：
变式 已知双曲线上的两点P1、P2的坐标分别为
（
2,
3），（
15 3
,
2），求双曲线的
标准方程。
随堂练习
1 已知方程
x2 2m
y2 m1
表示焦点在y轴的
双曲线，则实数m的取值范围是____m_＜__－__2_____
(2) 双曲线的标准方程为______________
(3)双曲线上一点Ｐ，| |PF1| - |PF2| | = 6
若 |PF1|=10, 则|PF2|=__4_或__1_6___
题后反思： 求标准方程要做到 先定型，后定量。
例2 已知双曲线的焦点在x轴上，并且双曲线上
的两点P1、P2的坐标分别（ 2, 3），
y
坐标系
2.设点．设M（x , y）,双曲线的焦
距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0) 常数为2a
F1 O
3.列式．||MF1| - |MF2||= 2a
M F2 x
即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a.
4.化简.
• 想一想
y
M
焦点在y轴上的双曲线 的标准方程是什么？
F（±c，0） F（0，±c）
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0，a2=b2+c2
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
• 例1、已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲 线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6，则
(1) a=___3____ , c =____5___ , b =__4_____
1(a 0,b 0)
y
M
F2 x
O
F1
① 方程用“－”号连接。
② 分母是 a2 , b2 , a 0, b 0 但 a, b 大小不定。
③ c2 a2 。 b2
x ④如果 x 2的系数是正的，则焦点在 轴上；如果 y 2的系数是正的，则
焦点在 y轴上。
四、双曲线与椭圆之间的区别与联系
定义 方程
焦点 a.b.c的关
系
椭圆
双曲线
|MF1|+|MF2|=2a
||MF1|－|MF2||=2a
x2 y2 a2 b2 1(a b 0) y2 x2 a2 b2 1(a b 0)
x2 a2

y2 b2
1(a
0,b

0)
y2 a2

x2 b2
1(a
0,b 0)
晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点
的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点 的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.
如图所示，建立直角坐标系xOy,使A、B两点在x轴上，并
即“平面内与两个定点F1、F2的距离的差等于常数 的点的轨迹 ”是什么？
看图分析动点M满足的条件： ①如图(A)，
|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)，
|MF2|-|MF1|=2a
由①②可得：
| |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值）
上面 两条曲线合起来叫做 双曲线,每一条叫做双曲线 的一支。
双曲线的定义
平面内与两定点F1，F2 的距离的差的绝对值等
于常数（小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.
F1,F2 -----焦点
|F1F2| -----焦距记为2c
F1
| |MF1| - |MF2| | = 2a
(这里c>a)
M F2
1. 建系.以F1,F2所在的直线为X轴，
线如段何F1求F2这的优中美点的o为曲原线点的建方立程直？角
2.3.1 双曲线及其标准方程
肇庆市第一中学 姚河生
二0一三年１2月
探索研究
椭圆的定义？
平面内与两个定点F1、F2的 距离的和等于常数（大于 ｜F1F2｜）的点轨迹叫做椭圆。
Y
O
F1 c, 0
Mx, y
F2 c, 0 X
思考：如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距 离之差”，那么点的轨迹是怎样的曲线？
0
x2

y2
1( x 0)
115600 44400
课时小结：
1、双曲线及其焦点，焦距的定义，双曲线的标准方程 以及方程中的abc之间的关系
2、焦点位置的确定方法
3、求双曲线标准方程关键（定位，定量）
作业 ：P54 习题2.3 A. 2
变式: 上述方程表示双曲线，则m的取值范围是 __m__＜__－__2_或__m__＞__－__1_
求适合下列条件的双曲线的标准方程
①a=4,b=3，焦点在x轴上；
x2 16

y2 9
1
②焦点为(0,－6),(0,6)，经过点(2,－5)
1 y2
x2
20 16
例2已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地