2022届高三数学每天一练半小时：阶段滚动检测(五) Word版含答案

1．设集合M ＝{x |－1≤x ＜2}，N ＝{x |x －k ≤0}，若M ⊆N ，则k 的取值范围是______________．
2．(2022·吉林吉大附中第一次摸底)若命题“∃x 0∈R ，使得x 2
＋mx ＋2m －3＜0”为假命题，则实数m 的取值范围是______________．
3．偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则关于x 的方程f (x )＝(110)x
在x ∈[0,4]
上解的个数是________．
4．已知等比数列{a n }满足a 4＋a 8＝2，则a 6(a 2＋2a 6＋a 10)的值为________．
5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sin 2
A －sin 2
B ＝3sin B sin
C ，c ＝23b ，则A ＝________. 6．(2022·南京三模)如图，在梯形ABC
D 中，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝3，CD ＝2，AM →＝2MD →.若AC →·BM →＝－3，则AB →·AD →＝______.
7．已知函数f (x )及其导数f ′(x )，若存在x 0，使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是________．
①f (x )＝x 2；②f (x )＝e －x
；③f (x )＝ln x ；④f (x )＝tan x ；⑤f (x )＝1x
.
8．(2022·无锡模拟)已知函数f (x )满足f (x )＋1＝
1
f (x ＋1)
，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x .若g (x )＝f (x )－mx －
2m 在区间(－1,1]上有两个零点，则实数m 的取值范围是________________．
9．(2022·常锡联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －5≤0，2x －y ＋2≥0，
y ≥0，
则目标函数z ＝x －y 的最小值为________．
10．设F 1，F 2分别为椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2a 21－y 2
b 21
＝1(a 1＞0，b 1＞0)的公共左，右焦点，
它们在第一象限内交于点M ，∠F 1MF 2＝90°，若椭圆C 1的离心率e ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3
4，32，则双曲线C 2的离心率e 1的取
值范围是________________．
11．若曲线y ＝x 2
上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，
x ≥m ，
则实数m 的取值范围是____________．
12．已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且函数f (x )＝1＋2sin 2
x sin2x 的最小值为m ，若函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－1⎝ ⎛⎭⎪⎫π
4＜x ＜π2，8x 2
－6mx ＋4⎝
⎛⎭⎪⎫0＜x ≤π4，则不等式g (x )≤1的解集为________________．
13．已知函数f (x )＝log 21－x 1＋x ，若f (a )＝1
2，则f (－a )＝________.
14．数列{a n }满足a 1＝1，
a 2k a 2k －1＝2，a 2k ＋1
a 2k
＝3(k ≥1)，则其前100项和S 100的值为________．(填写式子) 15．平行四边形ABCD 中，已知AB ＝4，AD ＝3，∠BAD ＝60°，点E ，F 分别满足AE →＝2ED →，DF →＝FC →，则AF →·BE →
＝________.
16．如图所示，放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点．设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，则对函数y ＝f (x )有下列推断： ①若－2≤x ≤2，则函数y ＝f (x )是偶函数； ②对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x －2)；
③函数y ＝f (x )在区间[2,3]上单调递减； ④函数y ＝f (x )在区间[4,6]上是减函数．
其中推断正确的序号是________．(写出全部正确结论的序号)
17．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx －cos 2
ωx ＋12(ω＞0)，经化简后利用“五点法”画其在某一周期内的
图象时，列表并填入的部分数据如下表：
x ① 2π
3
5π3 f (x )
1
－1
(1)请直接写出①处应填的值，并求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－2，3上的值域； (2)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知f (A ＋π
3
)＝1，b ＋c ＝4，a ＝7，求△ABC 的面积．
18.(2022·广州模拟)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ＝AC ＝2AA 1，∠BAC ＝120°，D ，
D 1分别是线段BC ，B 1C 1的中点，过线段AD 的中点P 作BC 的平行线，分别交AB ，AC 于点M ，N .
(1)证明：MN ⊥平面ADD 1A 1；
(2)求二面角A －A 1M －N 的余弦值．
19．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＞0.且a 2，a 5，a 14分别是等比数列{b n }的b 2，b 3，b 4. (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；
(2)设数列{c n }对任意自然数n 均有c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n b n
＝a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋…＋c 2022的值．
20．已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左，右焦点分别为F 1，F 2，上顶点和右顶点分别为B ，
A ，线段A
B 的中点为D ，且k OD ·k AB ＝－12
，△AOB 的面积为2 2.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，若△MF 2N 的面积为16
3，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方
程．
21．(2022·山东)设f (x )＝x ln x －ax 2
＋(2a －1)x ，a ∈R . (1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；
(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值，求实数a 的取值范围．
22．(2022·山西四校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为6
3
，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半
轴长为半径的圆与直线2x －2y ＋6＝0相切． (1)求椭圆C 的标准方程；
(2)已知点A ，B 为动直线y ＝k (x －2)(k ≠0)与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在定点E ，使得EA →2
＋EA →·AB →
为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．
答案精析
1．[2，＋∞) 2.[2,6] 3.4 4.4 5.30° 6.32
解析 设AB →＝4a ，AD →＝3b ，其中|a |＝|b |＝1，则DC →＝2a ，AM →
＝2b . 由AC →·BM →
＝－3，得(3b ＋2a )·(2b －4a )＝－3，化简得a ·b ＝18，
所以AB →·AD →
＝12a ·b ＝32.
7．①③⑤
解析 ①若f (x )＝f ′(x )，则x 2
＝2x ，这个方程明显有解，故①符合要求；②若f (x )＝f ′(x )，则e －x
＝－e
－x
，此方程无解，故②不符合要求；③若f (x )＝f ′(x )，则ln x ＝1
x
，数形结合可知，这个方程存在实数解，
故③符合要求；④中，f ′(x )＝cos 2x ＋sin 2
x cos 2x ＝1cos 2x ，若f (x )＝f ′(x )，则1
cos 2x ＝tan x ，化简得sin x cos x ＝1，即sin2x ＝2，方程无解，故④不符合要求；⑤中，f ′(x )＝－1x
2，
若f (x )＝f ′(x )，则－1
x 2＝1
x
，可得x ＝－1，故⑤符合要求．
8．(0，1
3]
解析
当－1＜x ＜0时，0＜x ＋1＜1，由f (x )＋1＝1f (x ＋1)，可得f (x )＝1
x ＋1
－1，则y ＝f (x )在区间
(－1,1]上的图象如图所示．若g (x )＝f (x )－mx －2m 在(－1,1]上有两个零点，则函数y ＝f (x )的图象与直线
y ＝mx ＋2m 在(－1,1]上有两个交点．从图象分析可知，直线y ＝mx ＋2m 恒过定点(－2,0)，且与y 轴的交点
(0,2m )应位于y 轴的正半轴，可知m ＞0，即直线y ＝mx ＋2m 的斜率大于0，而此时应使直线y ＝mx ＋2m 上的点(1,3m )位于点(1,1)或其下方，则可得3m ≤1，即m ≤13.综上所述，0＜m ≤1
3.
9．－3
解析 不等式组对应的平面区域是以点(－1,0)，(1,4)和(5,0)为顶点的三角形及其内部，目标函数y ＝x －z
经过点(1,4)时，z 取得最小值－3.
10.⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
62
，322
解析 由已知得MF 1＋MF 2＝2a ，MF 1－MF 2＝2a 1，所以MF 1＝a ＋a 1，MF 2＝a －a 1，又由于∠F 1MF 2＝90°，所以MF 2
1＋MF 22＝4c 2，即(a ＋a 1)2＋(a －a 1)2＝4c 2，即a 2＋a 21＝2c 2，所以1e 2＋1e 21＝2，所以e 2
1＝12－1e
2
，由于e ∈[34，32
]，
所以916≤e 2
≤34
，
即43≤1e 2≤169，29≤2－1e 2≤23， 所以32≤e 21≤92，所以e 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤62，322.
11．(－∞，1]
解析 作出不等式组表示的平面区域(如图)，作出抛物线y ＝x 2
，
解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y －2＝0，
y ＝x 2
，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，y ＝1或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－2，
y ＝4，
即直线x ＋y －2＝0与抛物线y ＝x 2
的交点坐标为(1,1)和(－2,4)． 若曲线y ＝x 2
上存在点(x ，y )在平面区域内，则m ≤1.
12.⎣⎢
⎡⎭
⎪⎫
34，π2 解析 ∵x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，∴tan x ＞0，
∴f (x )＝1＋2sin 2
x sin2x ＝12⎝
⎛
⎭⎪⎫3tan x ＋1tan x
≥
3tan x ·1
tan x
＝3，当且仅当tan x ＝33，即x ＝π6时取等号，因此m ＝ 3.不等式g (x )≤1⇔①π4＜x ＜π
2
或②⎩⎪⎨⎪⎧
0＜x ≤π4，
8x 2－63x ＋4≤1，
解②得
34≤x ≤π4.因此，不等式g (x )≤1的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2＝⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
34，π2.
13．－12
解析 由已知得，函数的定义域为(－1,1)，且f (－x )＝log 21－(－x )
1＋(－x )
＝－log 21－x
1＋x
＝－f (x )，
所以函数f (x )是奇函数，故f (－a )＝－f (a )＝－1
2.
14.35×(650
－1) 解析 由
a 2k a 2k －1＝2，a 2k ＋1a 2k ＝3，得a 2k ＋1a 2k －1＝6，所以数列{a n }的奇数项构成首项为1，公比为6的等比数列．由a 2k
a 2k －1
＝2，得a 2k ＋2a 2k ＋1＝2，结合a 2k ＋1a 2k ＝3，得a 2k ＋2
a 2k
＝6.又a 2＝2，所以数列{a n }的偶数项构成首项为2，公比为6的等比
数列，
所以S 100＝1×(1－650
)1－6＋2×(1－650
)1－6＝35×(650
－1)．
15．－6
解析 依题意得AF →＝AD →＋DF →
＝AD →＋12AB →，
BE →＝AE →－AB →
＝23AD →－AB →， AF →
·BE →
＝(AD →＋12
AB →
)·(23
AD →－AB →
)
＝23AD →2－12AB →2－23
AD →·AB →
＝23×32－12×42
－23×3×4cos60°＝－6. 16．①②④
解析 当－2≤x ≤－1时，P 的轨迹是以A 为圆心，半径为1的1
4圆，
当－1≤x ≤1时，P 的轨迹是以B 为圆心，半径为2的1
4圆，
当1≤x ≤2时，P 的轨迹是以C 为圆心，半径为1的1
4圆，
当2≤x ≤3时，P 的轨迹是以A 为圆心，半径为1的1
4圆，
∴函数的周期是4，因此最终构成的图象如下：
①依据图象的对称性可知函数y ＝f (x )是偶函数， ∴①正确；
②由图象可知函数的周期是4，∴②正确；
③由图象可推断函数y ＝f (x )在区间[2,3]上单调递增，∴③错误； ④由图象可推断函数y ＝f (x )在区间[4,6]上是减函数，∴④正确． 故答案为①②④.
17．解 (1)①处应填入π
6
.
f (x )＝
32sin2ωx －1＋cos2ωx 2＋12
＝
32sin2ωx －1
2
cos2ωx ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6.
由于T ＝2×⎝
⎛⎭
⎪⎫5π3－2π3＝2π，
所以2π2ω＝2π，所以ω＝12，
即f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ x －π6.
由于x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π3，
所以－2π3≤x －π6≤π6
，
所以－1≤sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6≤1
2，
故f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12.
(2)f (A ＋π3)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝1， 由于0＜A ＜π， 所以π6＜A ＋π6＜7π
6，
所以A ＋π6＝π2，所以A ＝π3.
由余弦定理得a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A
＝(b ＋c )2
－2bc －2bc cos π3
＝(b ＋c )2
－3bc ，
即(7)2
＝42－3bc ，所以bc ＝3， 所以△ABC 的面积S ＝1
2bc sin A
＝12×3×32＝334
. 18．(1)证明 由于AB ＝AC ，D 是BC 的中点， 所以BC ⊥AD . 由题可知MN ∥BC ， 所以MN ⊥AD .
由于AA 1⊥平面ABC ，MN ⊂平面ABC ， 所以AA 1⊥MN .
又AD ，AA 1在平面ADD 1A 1内，且AD 与AA 1相交于点A ， 所以MN ⊥平面ADD 1A 1.
(2)解 如图，连结A 1P ，过点A 作AE ⊥A 1P 于点E ，过点E 作EF ⊥A 1M 于点F ，连结AF .
由(1)知，MN ⊥平面AEA 1， 所以平面AEA 1⊥平面A 1MN .
由于平面AEA 1∩平面A 1MN ＝A 1P ，AE ⊥A 1P ，AE ⊂平面AEA 1， 所以AE ⊥平面A 1MN ，则A 1M ⊥AE ，又AE ∩EF ＝E ， 所以A 1M ⊥平面AEF ，则A 1M ⊥AF ，
故∠AFE 为二面角A －A 1M －N 的平面角(设为θ)． 设AA 1＝1，则由AB ＝AC ＝2AA 1，∠BAC ＝120°，
D 为BC 的中点，有∠BAD ＝60°，AB ＝2，AD ＝1.
又P 为AD 的中点，M 为AB 的中点， 所以AP ＝1
2
，AM ＝1.
在Rt △AA 1P 中，A 1P ＝
5
2
， 在Rt △A 1AM 中，A 1M ＝2， 从而AE ＝
AA 1·AP A 1P ＝5
5
， AF ＝AA 1·AM A 1M ＝2
2
，
所以sin θ＝AE
AF ＝
105
. 由于∠AFE 为锐角， 所以cos θ＝1－sin 2
θ＝
1－(
105)2＝155
. 故二面角A －A 1M －N 的余弦值为
155
. 19．解 (1)∵a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d ，
a 14＝1＋13d ，且a 2，a 5，a 14成等比数列，
∴(1＋4d )2
＝(1＋d )(1＋13d )， 解得d ＝2，d ＝0(舍去)． ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， 又∵b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9.
∴等比数列{b n }的公比q ＝3，b 1＝1，b n ＝3
n －1
.
(2)∵c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n b n
＝a n ＋1，① ∴c 1b 1
＝a 2，即c 1＝b 1a 2＝3. 又c 1b 1＋c 2b 2＋…＋
c n －1
b n －1
＝a n (n ≥2)，② ①－②得，c n b n
＝a n ＋1－a n ＝2， ∴c n ＝2b n ＝2×3
n －1
(n ≥2)，
∴c n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
3(n ＝1)，2×3n －1
(n ≥2).
则c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2022 ＝3＋2×31
＋2×32
＋…＋2×32022－1
＝3＋2×(31
＋32
＋…＋3
2021
)
＝3＋
2×3×(1－32021
)1－3
＝32022. 20．解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由已知得A (a,0)，B (0，b )，D ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2，b 2，
所以k OD ·k AB ＝b
2a 2·b －a ＝－1
2，
即a 2
＝2b 2
，①
又S △AOB ＝1
2ab ＝22，所以ab ＝42，②
由①②解得a 2
＝8，b 2
＝4， 所以椭圆方程为x
2
8＋y
2
4
＝1.
(2)①当直线l ⊥x 轴时，易得M (－2，2)，N (－2，－2)，△MF 2N 的面积为42，不合题意． ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入椭圆方程得 (1＋2k 2
)x 2
＋8k 2
x ＋8k 2
－8＝0.
明显有Δ＞0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8k 2
1＋2k 2，x 1x 2＝8k 2
－8
1＋2k 2，
所以MN ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2
＝1＋k
2
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－8k 2
1＋2k 22－4×8k 2
－81＋2k 2
，
化简得MN ＝42(1＋k 2
)
1＋2k 2
. 又圆的半径r ＝4|k |
1＋k 2
， 所以S △MF 2N ＝1
2MN ·r
＝12×42(1＋k 2
)1＋2k 2·4|k |1＋k 2
＝
82|k |1＋k 21＋2k 2
＝16
3
， 化简得k 4
＋k 2
－2＝0，解得k ＝±1， 所以r ＝22，
所以所求圆的方程为(x －2)2
＋y 2
＝8. 21．解 (1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a . 可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞)，
则g ′(x )＝1x －2a ＝1－2ax
x
.
当a ≤0，x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增；
当a ＞0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，g ′(x )＜0，函数g (x )单调递
减．
所以当a ≤0时，g (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；
当a ＞0时，g (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞.
(2)由(1)知，f ′(1)＝0. ①当a ≤0时，f ′(x )单调递增，
所以当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 所以f (x )在x ＝1处取得微小值，不合题意． ②当0＜a ＜12时，1
2a
＞1，
由(1)知f ′(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 内单调递增，可得当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，
当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，12a 时，f ′(x )＞0. 所以f (x )在(0,1)内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 内单调递增． 所以f (x )在x ＝1处取得微小值，不合题意． ③当a ＝12时，1
2a ＝1，f ′(x )在(0,1)内单调递增，
在(1，＋∞)内单调递减．
所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意． ④当a ＞12时，0＜12a ＜1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减． 所以f (x )在x ＝1处取极大值，符合题意. 综上可知，实数a 的取值范围为a ＞1
2.
22．解 (1)由e ＝63，得c a ＝63
， 即c ＝
6
3
a ，①
又以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆为x 2＋y 2＝a 2
，且该圆与直线2x －2y ＋6＝0相切， 所以a ＝
|6|22
＋(－2)
2
＝6，代入①得c ＝2，
所以b 2
＝a 2
－c 2＝2，
所以椭圆C 的标准方程为x 26＋y 2
2
＝1.
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧
x 26＋y 2
2
＝1，
y ＝k (x －2)，
得(1＋3k 2)x 2－12k 2x ＋12k 2
－6＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝12k 2
1＋3k 2，x 1x 2＝12k 2
－61＋3k
2.
依据题意，假设x 轴上存在定点E (m,0)，使得EA →2＋EA →·AB →＝(EA →＋AB →)·EA →＝EA →·EB →
为定值，
则EA →·EB →＝(x 1－m ，y 1)·(x 2－m ，y 2)＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2－(2k 2＋m )(x 1＋x 2)＋(4k 2＋m 2
)＝(3m 2
－12m ＋10)k 2
＋(m 2
－6)
1＋3k
2
， 要使上式为定值，即与k 无关，只需3m 2－12m ＋10＝3(m 2
－6)，解得m ＝73，
此时，EA →2＋EA →·AB →＝m 2
－6＝－59
，
所以在x 轴上存在定点E (73，0)，使得EA →2＋EA →·AB →
为定值，且定值为－59.。