2020年辽宁省阜新市数学高二第二学期期末调研试题含解析

2020年辽宁省阜新市数学高二第二学期期末调研试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．某部门将4名员工安排在三个不同的岗位，每名员工一个岗位，每个岗位至少安排一名员工，且甲乙两人不安排在同一岗位，则不同的安排方法共有（ ） A ．66种 B ．36种 C ．30种 D ．24种
【答案】C 【解析】 【分析】
根据分步乘法计数原理，第一步先将4名员工分成3组并去掉甲乙同组的情况，第二步将3组员工安排到3个不同的岗位。

【详解】
解：由题意可得，完成这件事分两步，
第一步，先将4名员工分成3组并去掉甲乙同组的情况，共有211421
2
215C C C A -=种， 第二步，将3组员工安排到3个不同的岗位，共有3
36A =种，
∴根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有5630⨯=种， 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查计数原理，考查组合数的应用，考查不同元素的分配问题，通常用除法原理，属于中档题． 2．已知函数23
(2)2
x f x x ++=+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为（ ） A ．1 B ．﹣1
C ．2
D ．﹣2
【答案】A 【解析】 【分析】
将x+2看做整体，求得f （x ）的解析式，进而求其导数，由导数的几何意义，计算可得所求切线的斜率． 【详解】
解：函数()23
22
x f x x ++=+， 即为()()22122
x f x x +-+=+，
则()12f x x =-
， 导数为()21
f x x
'=，
可得曲线()y f x =在点()()
1,1f 处切线的斜率为1． 故选：A ． 【点睛】
本题考查f （x ）的解析式求法，考查导数的几何意义，考查运算能力，属于基础题． 3．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好体育，得到如下的列联表：
由公式算得：K 2＝
()
()()()()
2
n ad bc a b c d a c b d -++++≈7.8.附表：
参照附表，得到的正确结论是( )
A ．有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”
B ．有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别无关”
C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好体育运动与性别有关”
D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好体育运动与性别无关” 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
2
2
110(40302020)7.860506050
k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯
27.8 6.635K ≈> ，
则有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”. 本题选择A 选项.
点睛：独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能
对统计计算的结果作出错误的解释. 4．设函数．若
为奇函数，则曲线
在点
处的切线方程为
( ) A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
分析：利用奇函数偶次项系数为零求得，进而得到
的解析式，再对
求导得出切线的斜率，
进而求得切线方程. 详解：因为函数是奇函数，所以，解得
，
所以，
，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为
，
化简可得
，故选D.
点睛：该题考查的是有关曲线
在某个点
处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先
需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结
果.
5．5(1)x 展开式3x 的系数是（ ） A ．-5 B ．10 C ．-5 D ．-10
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意利用二项展开式的通项公式，求出（1﹣x ）5展开式x 3的系数． 【详解】
解：根据（1﹣x ）5展开式的通项公式为T r+1＝r
5C •（﹣x ）r ，令r ＝3，可得x 3的系数是﹣3
5C ＝﹣10， 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 6．6名学生站成一排,若学生甲不站两端,则不同站法共有( ) A ．240种 B ．360种 C ．480种 D ．720种
【答案】C 【解析】 【分析】
先选2人（除甲外）排在两端，其余的4人任意排，问题得以解决． 【详解】
先选2人(除甲外)排在两端,其余的4人任意排,
故24
54480A A ⋅=种，
故选：C. 【点睛】
本题考查排列、组合及简单计数问题，常用的方法有元素优先法、插空法、捆绑法、分组法等，此题考查元素优先法，属于简单题.
7．若一个直三棱柱的所有棱长都为1，且其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）． A ．π B ．
7π
3
C ．
11π
3
D ．5π
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意画出其立体图形.设此直三棱柱两底面的中心分别为12,O O ,则球心O 为线段12O O 的中点,利用勾股定理求出球O 的半径R ,即可求得该球的表面积． 【详解】 画出其立体图形:
Q 直三棱柱的所有棱长都为1,且每个顶点都在球O 的球面上，
设此直三棱柱两底面的中心分别为12,O O ,则球心O 为线段12O O 的中点， 设球O 的半径为R ，
在111A B C △中11A O 是其外接圆半径r ,
由正弦定理可得:12sin 60r =o
,r ==,
即11
3A O = 在11t R AO O V
中2
2
222
11111117323412A O A O O O ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭== ∴球O 的表面积2
7π
7S 44123
R ππ==⨯= . 故选:B. 【点睛】
本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质.解决本题的关键在于能想象出空间图形,并能准确的判断其外接球的球心就是上下底面中心连线的中点．
8．若函数()()2
212f x ax a x =+-+在区间(],4-∞上为减函数，则a 的取值范围为（）
A ．105
a <≤ B ．105
a ≤≤
C ．105
a <<
D ．15
a >
【答案】B 【解析】 【分析】
对参数进行分类讨论，当为二次函数时，只需考虑对称轴和区间的位置关系即可. 【详解】
当0a =时，()22f x x =-+，满足题意； 当0a ≠时，要满足题意，只需0a >，且()2142a a
--≥，
解得105
a <≤
. 综上所述：105
a ≤≤. 故选：B. 【点睛】
本题考查由函数的单调区间，求参数范围的问题，属基础题. 9．若离散型随机变量X 的分布如下：则X 的方差()D X =（ ）
A ．0.6
B ．0.4
C ．0.24
D ．1
【答案】C
【解析】
分析：由于已知分布列即可求出m 的取值，进而使用期望公式先求出数学期望，再代入方差公式求出方差．
详解：由题意可得：m+0.6=1，所以m=0.4， 所以E （x ）=0×
0.4+1×0.6=0.6， 所以D （x ）=（0﹣0.6）2×0.4+（1﹣0.6）2×0.6=0.1． 故选：C ．
点睛：本题主要考查离散型随机变量的分布和数学期望、方差等基础知识，熟记期望、方差的公式是解题的关键．
10．给出一个命题p ：若,,,,1,1a b c d a b c d ∈+=+=R ，且1ac bd +>，则a ，b ，c ，d 中至少有一个小于零，在用反证法证明p 时，应该假设（ ） A ．a ，b ，c ，d 中至少有一个正数 B ．a ，b ，c ，d 全为正数
C ．a ，b ，c ，d 全都大于或等于0
D ．a ，b ，c ，d 中至多有一个负数
【答案】C 【解析】 【分析】
由“a b c d ,,,
中至少一个小于零”的否定为“a b c d ,,,全都大于等于0”即可求解. 【详解】
因为“a ，b ，c ，d 中至少有一个小于零”的否定为“a b c d ,,,
全都大于等于0”, 所以由用反证法证明数学命题的方法可得,应假设“a b c d ,,,
全都大于等于0”, 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了反证法，反证法的证明步骤，属于容易题.
11．已知点F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，若M 是FN 的中点，则M 点的纵坐标为（ ）
A ．
B ．4
C ．
D ．±4
【答案】C 【解析】 【分析】
求出抛物线的焦点坐标，推出M 的坐标，然后求解，得到答案． 【详解】
由题意，抛物线2
:8C y x =的焦点(2,0)F ，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，
若M 为FN 的中点，如图所示，
可知M 的横坐标为1，则M 的纵坐标为22±， 故选C ．
【点睛】
本题主要考查了抛物线的简单性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 12．若a R ∈，则“复数32ai
z i
-=的共轭复数在复平面内对应的点在第二象限”是“0a >”（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
先将复数z 化简成z a bi =+形式，得其共轭复数，通过对应的点在第二象限求出a 的取值范围，即可判断与0a >的关系． 【详解】
22
323223ai i ai z a i i i --===--，所以共轭复数23z a i =-+，
因为共轭复数在复平面内对应的点在第二象限 所以20a -<，解得0a > 所以“复数32ai
z i
-=的共轭复数在复平面内对应的点在第二象限”是“0a >” 充要条件，故选C 【点睛】
本题考查复数的基本运算与充要关系，解题的关键是先通过条件求出a 的取值范围，属于一般题． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．已知三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰三角形，AB AC ⊥，PA ⊥底面ABC ，1==PA AB ，则这个三棱锥内切球的半径为_______. 【答案】
33
6
-
【解析】
分析：利用等体积法，设内切球半径为r ，则13r （S △ABC +S △PAC +S △PAB +S △PCB ）=1
3
×PA•S △ABC ，解得求出r ，再根据球的体积公式即可求出．
详解：∵AB ⊥AC ，PA ⊥底面ABC ，PA=AB=1，
∴∴S △ABC =12×AC×BC=12×1×1=1
2
， S △PAC =
12×AC×PA=12 S △PAB =12×AB×PA=12，S △PCB =234BC =32
， ∴V P ﹣ABC =
13×PA•S △ABC =1
6
， 设内切球半径为r ，则
13r （S △ABC +S △PAC +S △PAB +S △PCB ）=13×PA•S △ABC ，解得r=33
6
-． 故答案为
33-．
点睛：（1）本题主要考查几何体的内切球问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力分析推理能力.(2)求几何体的内切球的半径一般是利用割补法和等体积法. 14．曲线x y e =绕坐标原点顺时针旋转90︒后得到的曲线的方程为____． 【答案】ln y x =-； 【解析】 【分析】
曲线绕坐标原点顺时针旋转90︒，这个变换可分成两个步骤：先是关于直线y x =对称，再关于x 轴对称得到. 【详解】
绕坐标原点顺时针旋转90°等同于先关于直线y x =翻折，再关于x 轴翻折，
x y e =关于直线y x =翻折得到ln y x =，再关于x 轴翻折得到ln y x =-.
【点睛】
本题表面考查旋转变换，而实质考查的是两次的轴对称变换，要注意指数函数与同底数的对数函数关于直线y x =对称.
15．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为线段1B C 上的一点，则三棱锥1A DED -的体积为
＿＿＿＿＿.
【答案】16
【解析】
以△1ADD 为底面，则易知三棱锥的高为1， 故111111326
V =
⋅⋅⋅⋅= 16．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道，乙能答对其中的8道，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算合格，则甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为________. 【答案】4445
【解析】 【分析】
设事件A 表示甲考试合格，事件B 表示乙考试合格，计算出()P A 、()P B ，则甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为()
1P P AB =-，由此能求出结果. 【详解】
设事件A 表示甲考试合格，事件B 表示乙考试合格，
则()32166431023C C C P A C +==，()321
8823
1014
15
C C C P B C +==. 则甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为()
21444
111131545
P P AB ⎛⎫⎛⎫=-=--⋅-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：4445
. 【点睛】
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是中等题．
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．我市物价监督部门为调研某公司新开发上市的一种产品销售价格的合理性，对该公司的产品的销售与价格进行了统计分析，得到如下数据和散点图：
定价x（元/kg）10 20 30 40 50 60
年销售()
y kg1150 643 424 262 165 86 2ln
z y
=14.1 12.9 12.1 11.1 10.2 8.9
图（1）为x y
-散点图，图（2）为x z
-散点图.
（Ⅰ）根据散点图判断y与x，z与x哪一对具有较强的线性相关性（不必证明）；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果和参考数据，建立y关于x的回归方程（线性回归方程中的斜率和截距均保留两位有效数字）；
（Ⅲ）定价为多少时，年销售额的预报值最大？（注：年销售额=定价⨯年销售）
参考数据：35
x=，455
y=，11.55
z=，
6
2
1
()1750
i
i
x x
=
-=
∑，62
1
()776840
i
i
y y
=
-=
∑，
6
1
()()34580
i i
i
x x y y
=
--=-
∑，6
1
()()175.5
i i
i
x x z z
=
--=-
∑，6
1
()()3465.2
i i
i
y y z z
=
--=
∑，
参考公式：
6
1
6
2
1
()()
()
i i
i
i
i
x x y y
b
x x
=
=
--
=
-
∑
∑
$，
a y bx
=-
$$.
【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ)定价为20元/kg时，年销售额的预报值最大.
【解析】
分析：（Ⅰ）由于图（2）的点更集中在一条直线附近，所以z与x具有的线性相关性较强.（Ⅱ）利用最小二乘法求y关于x的回归方程为0.1015
2
ˆ
x
y e
-+
=. （Ⅲ）先得到()
0.1015
2
ˆ
x
f x xy xe
-+
==，
()
0,
x∈+∞，再利用导数求定价为多少时年销售额的预报值最大.
详解：（Ⅰ）由散点图知，z与x具有的线性相关性较强.
（Ⅱ）由条件，得
()()
()
6
1
62
1
175.5
0.10
1750
ˆi i
i
i
i
x x z z
b
x x
=
=
---
==≈-
-
∑
∑，
()
11.550.103515.05
ˆ
ˆ15
a z bx
=-=--⨯=≈，所以0.1015
ˆz x
=-+，。