课时分层作业5 参数方程的概念 圆的参数方程

课时分层作业(五)
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．参数方程⎩⎨⎧
x ＝t ＋1
y ＝t 2
＋2t (t 为参数)的曲线必过点( ) A ．(1,2) B ．(－2,1) C ．(2,3)
D ．(0,1)
[解析] 代入检验知曲线经过点(2,3)． [答案] C
2．已知O 为原点，参数方程⎩⎨⎧
x ＝cos θ
y ＝sin θ(θ为参数)上的任意一点为A ，则
OA ＝( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
[解析] OA ＝x 2＋y 2＝
cos 2θ＋sin 2θ＝1，故选A.
[答案] A
3．直线l 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝a ＋t
y ＝b ＋t (t 为参数)，l 上的点P 1对应的参数是t 1，
则点P 1与P (a ，b )之间的距离是( )
A ．|t 1|
B ．2|t 1| C.2|t 1|
D.22|t 1|
[解析] ∵P 1(a ＋t 1，b ＋t 1)，P (a ，b )， ∴|P 1P |＝(a ＋t 1－a )2＋(b ＋t 1－b )2＝t 21＋t 21
＝2|t 1|. [答案] C
4．圆⎩⎨⎧
x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2的圆心坐标是( )
A ．(0,2)
B ．(2,0)
C ．(0，－2)
D ．(－2,0)
[解析] ∵x ＝2cos θ，y －2＝2sin θ， ∴x 2＋(y －2)2＝4， ∴圆心坐标是(0,2)，故选A. [答案] A
5．圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为( ) A.⎩⎨⎧
x ＝5－cos θy ＝5＋2sin θ
(0≤θ<2π) B.⎩
⎨⎧ x ＝2＋5cos θy ＝－1＋5sin θ(0≤θ<2π) C.⎩⎨⎧ x ＝－1＋5cos θy ＝2＋5sin θ
(0≤θ<π) D.⎩⎨⎧
x ＝－1＋5cos θy ＝2＋5sin θ
(0≤θ<2π) [解析] 圆心在点C (a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧ x ＝a ＋r cos θ
y ＝b ＋r sin θ(θ∈[0,2π))．故圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1＋5cos θ
y ＝2＋5sin θ(0≤θ<2π)．
[答案] D 二、填空题
6．若点(－3，－33)在参数方程⎩⎨⎧
x ＝6cos θ
y ＝6sin θ(θ为参数)的曲线上，则θ＝
________.
[解析] 将点(－3，－33)的坐标代入参数方程 ⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝6cos θy ＝6sin θ
(θ为参数)得⎩⎪⎨
⎪
⎧
cos θ＝－1
2，sin θ＝－3
2，
解得θ＝4π
3＋2k π，k ∈Z . [答案] 4π
3＋2k π，k ∈Z
7．参数方程⎩⎨⎧
x ＝cos α
y ＝1＋sin α(α为参数)表示的图形是________．
[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝cos α，
y ＝1＋sin α，且cos 2α＋sin 2α＝1，
∴x 2＋(y －1)2＝1，
∴该参数方程表示以(0,1)为圆心，以1为半径的圆． [答案] 圆
8．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝1＋2t
y ＝at 2
(其中t 为参数，a ∈R )，点M (5,4)在该曲线上，则实数a ＝________.
[解析] ∵点M (5,4)在曲线C 上，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5＝1＋2t ，4＝at 2
，解得：⎩⎪⎨⎪⎧
t ＝2，a ＝1，∴a 的值为1.
[答案] 1 三、解答题
9．已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧
x ＝1＋2sin θy ＝2－cos θ(θ为参数，0≤θ<2π)，试判断
点A (1,3)，B ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，52是否在曲线C 上．
[解] 将A (1,3)的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋2sin θ，
y ＝2－cos θ，
得⎩⎪⎨⎪⎧
1＝1＋2sin θ3＝2－cos θ，即⎩⎪⎨⎪⎧
sin θ＝0，
cos θ＝－1，由0≤θ<2π得θ＝π. 将B ⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，52的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋2sin θ，y ＝2－cos θ，
得⎩⎨⎧
0＝1＋2sin θ
5
2＝2－cos θ，
即⎩⎪⎨⎪⎧
sin θ＝－1
2，cos θ＝－1
2，
这样的角θ不存在．
所以点A 在曲线C 上，点B 不在曲线C 上．
10．已知圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ－π4＋6＝0.
(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； (2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值． [解] (1)由ρ2－42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－π4＋6＝0得
ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0， 即x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0为所求， 即圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2， 令x －2＝2cos α，y －2＝2sin α，
得圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2＋2cos α
y ＝2＋2sin α(α为参数)．
(2)由(1)知，x ＋y ＝4＋2(cos α＋sin α) ＝4＋2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫α＋π4，
又－1≤sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫α＋π4≤1，
故x ＋y 的最大值为6，最小值为2.
[能力提升练]
1．P (x ，y )是曲线⎩⎨⎧
x ＝2＋cos α
y ＝sin α(α为参数)上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2
的最大值为( )
A ．36
B ．6
C ．26
D ．25 [解析] 设P (2＋cos α，sin α)，代入得： (2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2 ＝25＋sin 2α＋cos 2α－6cos α＋8sin α ＝26＋10sin(a －φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫
tan φ＝34，φ为锐角，
∴最大值为36. [答案] A
2．如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________．
[解析] 将x 2
＋y 2
－x ＝0配方，得⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －122＋y 2＝1
4，∴圆的直径为1.设P (x ，
y )，
则x ＝|OP |cos θ＝1×cos θ×cos θ＝cos 2θ， y ＝|OP |sin θ＝1×cos θ×sin θ＝sin θcos θ， ∴圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝cos 2θ，
y ＝sin θcos θ
(θ为参数)． [答案] ⎩⎨⎧
x ＝cos 2
θ，
y ＝sin θcos θ
(θ为参数)
3．P (x ，y )是曲线⎩⎨⎧
x ＝2＋cos α
y ＝sin α(α为参数)上任意一点，则P 到直线x －y ＋
4＝0的距离的最小值是________．
[解析] 由P 在曲线⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2＋cos α
y ＝sin α上可得P 的坐标为(2＋cos α，sin α)，
由点到直线的距离公式得d ＝|cos α－sin α＋6|
2
＝⎪⎪⎪⎪⎪
⎪2cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π4＋62，当cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π4＝－1时，
d 最小，d min ＝－2＋6
2＝－1＋3 2.
[答案] －1＋3 2
4．已知圆系方程为x 2＋y 2－2ax cos φ－2ay sin φ＝0(a >0且为已知常数，φ为参数)，
(1)求圆心的轨迹方程；
(2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值． [解] (1)由已知圆的标准方程为： (x －a cos φ)2＋(y －a sin φ)2＝a 2(a >0)．
设圆心坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝a cos φ
y ＝a sin φ(φ为参数)，
消参数得圆心的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2.
(2)证明 由方程⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2－2ax cos φ－2ay sin φ＝0，
x 2＋y 2＝a 2，
得公共弦的方程：2ax cos φ＋2ay sin φ＝a 2，即x cos φ＋y sin φ－a
2＝0， 圆x 2＋y 2＝a 2的圆心到公共弦的距离d ＝a
2为定值， ∴弦长l ＝2a 2
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 22
＝3a (定值)．。