勾股定理 初中八年级下册数学教案教学设计课后反思 人教版

勾股定理
【课时安排】
4课时
【第一课时】
【教学目标】
1．知识与技能：
（1）了解勾股定理的发现过程。

（2）掌握勾股定理的内容。

（3）会用面积法证明勾股定理。

（4）会应用勾股定理进行简单的计算。

2．过程与方法：
（1）经历利用等腰直角三角形探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。

（2）探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。

3．情感、态度与价值观：
（1）介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。

（2）培养在实际生活中发现问题、总结规律的意识和能力。

【教学重点】
勾股定理的内容及证明。

【教学难点】
勾股定理的证明。

【教学过程】
一、引入新课。

教师活动：目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。

我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反
映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。

这个事实可以说明勾股定理的重大意义。

尤其是在两千年前，更是非常了不起的成就。

二、进行新课。

1．勾股定理的内容及其证明。

教师活动：引导学生阅读课本相关的内容。

相传2500年前，毕达哥拉斯又一次在朋友家做客时，发现朋友家的用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系。

我们也来观察下图中的地面，看看能发现些什么？
思考：你能发现下面图中的直角三角形有什么性质吗？
可以发现，以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积。

即我们惊奇的发现，等腰三角形的三边之间有一种特殊的关系：斜边的平方等于两直角边的平方和。

探究：等腰直角三角形有上述性质，其他的直角三角形也有这个性质吗？上图中，每个小方格的面积均为1，请分别算出图中正方形A ，B ，C ，，，的面积，看看能得出'A 'B 'C 什么结论。

（提示：以斜边为边长的正方形的面积，等于以某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积。

）
学生活动：仔细阅读上面的内容，思考“思考”和“探究”中的问题，并与同伴交流讨论。

教师活动：引导学生画图。

学生活动：画一个直角边为3cm 和4cm 的直角，用刻度尺量出AB 的长。

ABC ∆再画一个两直角边为5和12的直角，用刻度尺量AB 的长。

ABC ∆学生活动：发现了等量关系：32＋42＝52，52＋122＝132。

教师活动：对于任意的直角三角形也有这个性质吗？
学生活动：猜想如果直角三角形的两直角边为，b ，斜边为c 那么。

a 222a ＋
b ＝
c 教师活动：我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来。

教师活动：出示例1（补充）。

例1已知：在中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边为，b ，c ，求证：
ABC ∆a 。

222a ＋b ＝c 学生活动：利用多个不同颜色的三角形模型，拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。

教师活动：巡视指导学生拼图。

学生可能拼成如图（1）的赵爽弦图的形式进行证明，也可能拼成如图（2）（3）的两个正方形，利用面积相等进行证明，还有可能拼成其它的图形。

只要拼图合理能够证明此结论，教师就应给予肯定和赞赏。

教师活动：指出上面的猜想是正确的，这就是著名的定理——勾股定理。

2．勾股定理的简单计算。

教师活动：出示例2（补充）。

例2在，∠C=90°。

Rt ABC ∆（1）已知a ＝b ＝5，求c ；（2）已知a ＝1，c ＝2，求b ；（3）已知c ＝17，b ＝8，求a 。

师生共同分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。

（1）已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。

（2）（3）已知斜边和一条直角边，求另一直角边，用勾股定理的变形式。

学生活动：画图，求解，同组交流。

教师活动：巡视，帮助学有困难的学生。

三、课堂总结、点评。

勾股定理是几何中重要的定理之一，关于勾股定理的证明方法有很多。

赵爽的证法是一
种面积证法，其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。

“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲。

正因为此，这个图案被选为2002年在北京召开的世界数学家大会的会徽。

【第二课时】
【教学目标】
1．知识与技能：
会用勾股定理进行简单的计算。

2．过程与方法：
在解题过程中渗透数形结合和方程的思想。

3．情感、态度与价值观：
（1）鼓励学生勇于克服困难，树立学好数学的自信心。

（2）加强学生团队意识及合作精神。

【教学重点】
运用勾股定理的进行计算。

【教学难点】
灵活运用勾股定理，理解与直角三角形有关的问题。

【教学过程】
一、引入新课。

教师活动：回忆勾股定理的文字叙述、勾股定理的符号语言及变形。

学生活动：思考回顾所学过的勾股定理。

二、进行新课
1．勾股定理的有关计算。

教师活动：出示例1：
例1在中，：
Rt ABC ∆90C ∠︒＝（1）已知a ：b ＝1：2，c ＝5，求∠A 。

（2）已知b ＝15，∠A ＝30°，求a ，c 。

师生共同分析：已知一边和两边关系，也可以求出未知边，见比就设参数的也是一种常用的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。

学生活动：动手画图，解题。

教师活动：巡视、帮助学有困难的学生。

教师活动：出示例2：
例2已知：如下图，等边的边长是6cm 。

ABC ∆（1）求等边的高。

ABC ∆（2）求。

S ABC ∆
学生活动：认真审题，独立思考后，小组内交流讨论寻求解题思路。

教师活动：帮助学生分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要构造直角三角形，作高是常用的构造直角三角形的辅助线做法。

欲求高CD ，可将其置身于Rt ADC
∆或中，但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求AD ＝BD ＝AB ＝Rt BDC ∆12
3cm ，则此题可解。

三、课堂总结、点评。

在直角三角形中，若已知任意两边，就可以运用勾股定理求出第三边；若已知一边和其中两边的关系，也可求出两边的长。

若没有直角，可作垂线构造直角三角形。

【第三课时】
【教学目标】
1．知识与技能：
能利用勾股定理解决实际问题。

2．过程与方法：
经历运用勾股定理探究实际问题的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯。

3．情感、态度与价值观：
（1）通过探究勾股定理在实际生活中的应用，体会生活中处处有数学。

（2）渗透数形结合的思想。

【教学重点】
勾股定理在实际生活中的应用。

【教学难点】
将实际问题转化为数学问题。

【教学过程】
一、引入新课。

教师活动：飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞机飞到一个男孩头顶正上方4000多米处，过20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每时飞行多少千米？
学生活动：审题思考，激发学习兴趣。

二、进行新课。

1．勾股定理的实际应用。

教师活动：引导学生探讨“探究1”中的问题。

探究1：一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过？为什么？
学生活动：认真审题，思考交流，将实际问题转化为数学问题。

教师活动：（1）提醒学生在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是直角。

（2）让学生深入探讨图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪条最长？（3）指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，让学生注意探讨以何种方式通过？
学生活动：画出图形，对照自己所画的图形求解。

教师活动：巡视，指导帮助学有困难的学生。

提醒学生转化为勾股定理的计算，采用多种方法。

最后给学生小结深化数学建模思想，激发数学兴趣。

教师活动：引导学生探讨“探究2”中的问题。

探究2：如图所示，一个3m长的梯子AB，斜靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？
学生活动：独立思考后，猜想结论，交流猜想。

师生共同分析求解：（1）在中，已知AB=3，AO=2.5，利用勾股定理计算OB 。

AOB ∆（2）在中，已知CD=3，CO=2，利用勾股定理计算OD ，则BD=OD －OB ，通过COD ∆计算可知BD ≠AC 。

教师活动：进一步引导学生探究AC 和BD 的关系，给AC 不同的值，计算BD 。

三、课堂总结、点评。

利用勾股定理解决实际问题，关键是将实际问题转化为数学问题，在转化的过程中要注意勾股定理的使用条件。

我们要在不同条件、不同环境中反复运用定理，优化训练，才能达到熟练使用，灵活运用的程度。

【第四课时】
【教学目标】
1．知识与技能：
（1）会画长度是无理数的线段，并能在数轴上画出表示无理数的点。

（2）会用勾股定理解决较综合的问题。

2．过程与方法：
经历运用勾股定理在数轴上画表示无理数的点的过程，体会数轴上的点与实数的一一对应关系。

3．情感、态度与价值观：
体会数学与人类生活息息相关，从而更加热爱生活。

【教学重点】
在数轴上画出表示无理数的点。

【教学难点】
利用勾股定理解决较综合的实际问题。

【教学过程】
一、引入新课。

教师活动：我们知道有理数能用数轴上的点来表示，那无理数是否也能用数轴上的点来
学生活动：思考，引起学习兴趣。

二、进行新课。

1．用数轴上的点表示无理数。

教师活动：引导学生自学课本在数轴上画无理数的点的内容。

探究3：我们知道数轴上的点表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示
学生活动：自学，并动手画图，小组内交流。

教师活动：你感觉利用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点有什么技巧？
学生活动：各抒己见，找到规律和方法。

2．利用勾股定理解决较综合的实际问题。

教师活动：出示例1（补充）。

例1已知：在中，∠C ＝90°，CD ⊥BC 于D ，∠A ＝60°，CD Rt ABC AB 的长。

学生活动：自己画出如下图所示的图形，并正确标图。

教师活动：引导学生分析：欲求AB ，可由AB ＝BD ＋AD ，分别在两个三角形中利用勾
股定理和特殊角，求出BD ＝3和AD ＝1。

或欲求AB ，可由，分别在两个AB 三角形中利用勾股定理和特殊角，求出AC ＝2和BC ＝6。

教师活动：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求我们对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。

目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。

三、课堂总结、点评。

勾股定理的应用有：
（1）在直角三角形中求边的长度（已知两边求第三边）；
（2）证明带有平方的问题；
（3）解决实际问题。

勾股定理是几何中的重要定理，也是中考必考的知识点之一，因此我们要熟练掌握它。