【华东师大版】九年级数学上期末试卷(带答案)

一、选择题
1．小明制作了5张卡片，上面分别写了一个条件：①AB BC =；②AB BC ⊥；③AD BC =；④AC BD ⊥，⑤AC BD =．从中随机抽取一张卡片，能判定ABCD 是菱形的概率为（ ） A ．
15
B ．
25
C ．
35
D ．
45
2．用如图所示的两个转盘进行“配紫色”(红色与蓝色能配成紫色)游戏，配得紫色的概率是( )
A ．
12
B ．
13
C ．
14
D ．
16
3．某班四个小组进行辩论比赛，赛前三位同学预测比赛结果如下： 甲说：“第二组得第一，第四组得第三”； 乙说：“第一组得第四，第三组得第二”； 丙说：“第三组得第三，第四组得第一”； 赛后得知，三人各猜对一半，则冠军是（ ） A ．第一组
B ．第二组
C ．第三组
D ．第四组
4．下列事件中，属于必然事件的是（ ） A ．深圳明天会下大暴雨
B ．打开电视机，正好在播足球比赛
C ．在13个人中，一定有两个人在同月出生
D ．小明这次数学期末考试得分是80分
5．已知正方形的边长a ，其内切圆的半径为r ，外接圆的半径为R ，则::R r a =（ ） A ．2:1:2
B ．2:1:1
C ．2:1:1
D ．2:2:4
6．如图，AB 圆O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为M ，下列结论不成立的是（ ）
A ．CM DM =
B ．CB BD =
C ．AC
D ADC ∠=∠ D ．OM MB =
7．下列说法正确的有（ ）
①垂直平分弦的直线经过圆心；②平分弦的直径一定垂直于弦；③相等的圆周角所对的
弧相等；④等弧所对的弦相等；⑤等弦所对的弧相等
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．如图，△ABC内接于☉O，若☉O的半径为6，∠A=60°，则BC的长为（）
A．2πB．4πC．6πD．8π
9．如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD四条边AB、BC、CD、DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的是（）
A．不是平行四边形B．不是中心对称图形
C．一定是中心对称图形D．当AC＝BD时，它为矩形
10．如图，在△ABC中，AB＝2.2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，若点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为（）
A．1.5 B．1.4 C．1.3 D．1.2
11．如图是函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象，有下列结论：
（1）b2﹣4c＞0；（2）b+c+1＝0；（3）方程x2+（b﹣1）x+c＝0的解为x1＝1，x2＝3；（4）当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确结论的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．已知三角形的两边长分别为4和6，第三边是方程217700x x -+=的根，则此三角形的周长是（ ） A ．10
B ．17
C ．20
D ．17或20
二、填空题
13．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为2:3，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为__________.
14．如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任选取一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是_____．
15．桌上放有完全相同的三张卡片，卡片上分别标有数字2，1，4，随机摸出一张卡片（不放回），其数字为p ，随机摸出另一张卡片，其数字记为q ，则满足关于x 的方程x 2+px+q ＝0有实数根的概率是_____． 16．如图，PA ，PB 分别与
O 相切于A 、B 两点，点C 为劣弧AB 上任意一点，过点
C 的切线分别交AP ，BP 于
D ，
E 两点．若8AP =，则PDE △的周长为______．
17．如图，,PA PB 切⊙O 于,A B ，点C 在AB 上，DE 切⊙O 于C ，10cm,PO =⊙O 的半径为6cm ，则PDE △的周长是_________cm ．
18．矩形是中心对称图形，对矩形ABCD 而言，点A 的对称点是点____.
19．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 是一次函数y x =图像上两点，它们的横坐标
分别为1，4，点E 是抛物线2
48y x x =-+图像上的一点，则ABE △的面积最小值是______．
20．某商贸公司2017年盈利100万元，2019年盈利144万元，且2017年到2019年每年盈利的增长率相同，则该公司2018年盈利_____万元．
三、解答题
21．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的组统计数据：
摸球的次数m 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数n 66 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率
n m
0.66
0.64
0.57
0.604
0.601
0.599
0.602
（1）若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为____________；（精确到0.1） （2）估算盒子里约有白球__________个；
（3）若向盒子里再放入x 个除颜色以外其它完全相同的球，这x 个球中白球只有1个．然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在50%，请你推测x 可能是多少？
22．“五一”假期，黔西南州某公司组织部分员工分别到甲、乙、丙、丁四地考察，公司按定额购买了前往各地的车票，如图所示是用来制作完整的车票种类和相应数量的条形统计图，根据统计图回答下列问题：
（1）若去丁地的车票占全部车票的10%，请求出去丁地的车票数量，并补全统计图（如图所示）．
（2）若公司采用随机抽取的方式发车票，小胡先从所有的车票中随机抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同、均匀），那么员工小胡抽到去甲地的车票的概率是多少？ （3）若有一张车票，小王和小李都想去，决定采取摸球的方式确定，具体规则：“每人从不透明袋子中摸出分别标有1、2、3、4的四个球中摸出一球（球除数字不同外完全相同），并放回让另一人摸，若小王摸得的数字比小李的小，车票给小王，否则给小李．”试用列表法或画树状图的方法分析这个规则对双方是否公平？ 23．如图，四边形ABCD 内接于
O ，AB AC =，BD AC ⊥，垂足为E ．
（1）若40BAC ∠=︒，求ADC ∠的度数； （2）求证：2BAC DAC ∠=∠．
24．在Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，D 为AB 上一点，连结CD ，将CD 绕C 点逆时针旋转90°至CE ，连结DE ，过C 作CF DE ⊥交AB 于F ，连结BE ．
（1）求证：AD BE =．
（2）试探索线段AD ，BF ，DF 之间满足的等量关系，并证明你的结论． （3）若15ACD =︒∠，31CD =，求BF ．
（注：在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半）
25．如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，6cm AC =，8cm BC =，点P 由A 出发向点C 移
动，点Q 由C 出发向点B 移动，两点同时出发，速度均为1cm/s ，运动时间为t 秒．
（1）几秒时PCQ △的面积为4？
（2）是否存在t 的值，使PCQ △的面积为5？若存在，求这个t 值，若不存在，说明理由． （3）几秒时PCQ △的面积最大，最大面积是多少？ 26．用适当的方法解一元二次方程： （1）()2
29x -=； （2）2230x x +-=．
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
根据菱形的判定方法求解即可． 【详解】
解：：①AB BC =；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判定ABCD 是菱形；
②AB BC ⊥；根据有一个内角是直角的平行四边形是矩形，可判定ABCD 是矩形； ③AD BC =；是ABCD 本身具有的性质，无法判定ABCD 是菱形；
④AC BD ⊥，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判定ABCD 是菱形； ⑤AC BD =．根据对角线相等的平行四边形是矩形，可判定ABCD 是矩形 ∴共有5种等可能结果，其中符合题意的有2种 ∴能判定ABCD 是菱形的概率为25
故选：B ． 【点睛】
本题考查概率的计算及菱形的判定，掌握菱形的判定方法正确分析推理是解题关键．
2．D
解析：D 【分析】
先画出树状图，从而可得出两个转盘转动时的所有可能结果，再找出一个为红色，一个为蓝色的结果，然后利用概率公式即可得．
【详解】
由题意，画树状图如下：
由此可知，两个转盘转动时的所有可能结果共有6种，它们每一种出现的可能性都相等，其中，一个为红色，一个为蓝色的结果只有1种，
则配得紫色的概率是
1
6
P ，
故选：D．
【点睛】
本题考查了利用列举法求概率，依据题意，正确画出树状图是解题关键．
3．B
解析：B
【解析】
试题分析：因为三人都猜对了一半，假设甲说的前半句正确，来看看后面的说法有没有矛盾，有矛盾就是错误的没矛盾就是正确的．
假设甲说的“第二组得第一”是正确的，那么丙说的“第四组得第一”是错误的，
“第三组得第三”就是正确的，那么乙说的“第三组得第二”是错误的，
“第一组得第四”是正确的，这样三人都猜对了一半，且没矛盾．
故猜测是正确的．
故选B．
考点：推理与论证
点评：此类问题是初中数学的难点，解题关键往往假设一个正确或错误，来推看看有没有矛盾．
4．C
解析：C
【分析】
根据事件的分类判断，必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可解决．
【详解】
A、深圳明天会下大暴雨，是随机事件，故本选项错误；
B、打开电视机，正好在播足球比赛，是随机事件，故本选项错误；
C 、在13个人中，一定有两个人在同月出生，是必然事件，故本选项正确；
D 、小明这次数学期末考试得分是80分，是随机事件，故本选项错误． 故选：C ． 【点睛】
本题考查的是随机事件，事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P （必然事件）=1； ②不可能事件发生的概率为0，即P （不可能事件）=0； ③如果A 为不确定事件（随机事件），那么0＜P （A ）＜1．
5．A
解析：A 【分析】
经过圆心O 作正方形一边AB 的垂线OC ，垂足是C ．连接OA ，则在直角△OAC 中，∠AOC=45°．OC 是边心距r ，OA 即半径R ，进而即可求解 【详解】
如图：作出正方形的边心距，连接正方形的一个顶点和中心可得到一直角三角形 在中心的直角三角形的角为360°÷4÷2=45°， ∴内切圆的半径为2a ，外接圆的半径为22
a ， ∴::R r a =22
a ：2a ：a=2:1:2 故选A
【点睛】
本题主要考查正多边形的外接圆与内切圆的半径，掌握相关概念，作出图形，是解题的关键．
6．D
解析：D 【分析】
根据垂径定理得到CM=DM ，BC BD =，AC AD =，然后根据圆周角定理得∠ACD=∠ADC ，而对于OM 与MB 的大小关系不能判断． 【详解】
解：∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ， ∴CM=DM ，BC BD =，AC AD =， ∴∠ACD=∠ADC ．
而无法比较OM ，MB 的大小， 故选：D ． 【点睛】
本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理．
7．B
解析：B 【分析】
根据垂径定理及其推论即可判定①正确，②错误；根据弧、弦、圆周角之间的关系可知③⑤错误，④正确． 【详解】
解：①根据垂径定理的推论可知，垂直平分弦的直线经过圆心；故本选项正确； ②直径是最长的弦，任意两条直径互相平分，但不一定互相垂直，故被平分弦不能是直径；故本选项错误；
③在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故本选项错误； ④相等的弧所对的弦一定相等，故本选项正确；
⑤∵在一个圆中一条弦所对的弧有两条，∴等弦所对的弧不一定相等，故本选项错误． 故选：B ． 【点睛】
本题考查的是垂径定理及其推论、圆周角、弧、弦的关系，解题的关键是正确理解各知识点．
8．B
解析：B 【分析】
连接OB ，OC ，根据圆周角定理求出∠BOC 度数，再由弧长公式即可得出结论． 【详解】
解：连接OB ，OC ，
∵∠A=60°， ∴∠BOC=2∠A=120°，
∴BC =
20816
1π⨯=4π． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心，根据题意作出辅助线，利用圆周角定理及弧长公式求
解是解题的关键．9．C
解析：C
【分析】
先连接AC，BD，根据EF=HG=1
2
AC，EH=FG=
1
2
BD，可得四边形EFGH是平行四边形，当
AC⊥BD时，∠EFG=90°，此时四边形EFGH是矩形；当AC=BD时，EF=FG=GH=HE，此时四边形EFGH是菱形，据此进行判断即可．
【详解】
连接AC，BD，如图：
∵点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF=HG=1
2AC，EH=FG=
1
2
BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，故选项A错误；
∴四边形EFGH一定是中心对称图形，故选项B错误；
当AC⊥BD时，∠EFG=90°，此时四边形EFGH是矩形，
当AC=BD时，EF=FG=GH=HE，此时四边形EFGH是菱形，故选项D错误；
∴四边形EFGH可能是轴对称图形，
∴四边形EFGH是平行四边形，四边形EFGH一定是中心对称图形．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了中点四边形的运用，解题时注意：平行四边形是中心对称图形．解决问题的关键是掌握三角形中位线定理．
10．B
解析：B
【分析】
运用旋转变换的性质得到AD＝AB，进而得到△ABD为等边三角形，求出BD即可解决问题．
【详解】
解：如图，由题意得：AD＝AB，且∠B＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD＝AB＝2，
∴CD＝3.6﹣2.2＝1.4．
故选：B．
【点睛】
该题主要考查了旋转变换的性质、等边三角形的判定等几何知识点及其应用问题；牢固掌握旋转变换的性质是解题的关键．
11．B
解析：B 【分析】
根据函数图象与x 轴交点个数判断（1）；利用待定系数法求出函数解析式，代入计算判断（2）；由二次函数与一次函数的交点求出方程的解，判断（3）即可；利用函数图象比较函数值判断（4）． 【详解】
由图象知，二次函数过（3，3）（0，3），（1，1），
∴93313a b c a b c c ++=⎧⎪
++=⎨⎪=⎩， 解得：133a b c =⎧⎪
=-⎨⎪=⎩
，
∴b+c+1＝﹣3+3+1＝1，故②错误； ∵a ＝1，
∴抛物线为y ＝x 2-3x+3， ∵函数y ＝x 2+bx+c 与x 轴无交点， ∴b 2﹣4c ＜0，故①错误；
由图象知，抛物线y ＝x 2+bx+c 与直线y ＝x 的交点坐标为（1，1）和（3，3）， ∴方程x 2+（b ﹣1）x+c ＝0的解为x 1＝1，x 2＝3，故③正确； ∵当1＜x ＜3时，二次函数值小于一次函数值， ∴x 2+bx+c ＜x ，
∴x 2+（b ﹣1）x+c ＜0．故④正确； 故选：B ． 【点睛】
此题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，图象法比较函数值的大小，是一道较为基础的二次函数题．
12．B
解析：B 【分析】
根据第三边是方程x 2﹣17x +70＝0的根，首先求出方程的根，再利用三角形三边关系求出即可． 【详解】
解：∵217700x x -+=，
∴(10)(7)0x x --=， ∴110x =，27x =，
∵4610+=，无法构成三角形， ∴此三角形的周长是：46717++=． 故选B ． 【点睛】
此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三边关系，正确利用因式分解法解一元二次方程可以大大降低计算量．
二、填空题
13．【解析】分析：设勾为2k 则股为3k 弦为k 由此求出大正方形面积和阴影区域面积由此能求出针尖落在阴影区域的概率详解：设勾为2k 则股为3k 弦为k ∴大正方形面积S=k×k=13k2中间小正方形的面积S′=（ 解析：
1213
【解析】
分析：设勾为2k ，则股为3k ，弦为13k ，由此求出大正方形面积和阴影区域面积，由此能求出针尖落在阴影区域的概率． 详解：设勾为2k ，则股为3k ，弦为13k ， ∴大正方形面积S=13k×13k=13k 2， 中间小正方形的面积S′=（3−2）k•（3−2）k=k 2， 故阴影部分的面积为：13 k 2-k 2=12 k 2
∴针尖落在阴影区域的概率为:22
1212
1313
k k =． 故答案为
12
13
． 点睛：此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
14．【解析】如图有5种不同取法；故概率为 解析：
513
【解析】
如图，有5种不同取法；故概率为
5 13
.
15．【分析】画树状图列出所有等可能结果从中依据根的判别式找到使方程x2+px+q=0有实数根的结果数利用概率公式计算可得【详解】画树状图如下：由树状图知共有6种等可能结果其中使关于x的方程x2+px+q
解析：1 2
【分析】
画树状图列出所有等可能结果，从中依据根的判别式找到使方程x2+px+q=0有实数根的结果数，利用概率公式计算可得．
【详解】
画树状图如下：
由树状图知共有6种等可能结果，其中使关于x的方程x2+px+q=0有实数根的结果有3种结果，
∴关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率为3=
61
2
，
故答案为1 2 .
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16．16【分析】根据切线的性质和切线长定理得到DA=DCBE=ECAP=BP然后根据三角形周长公式等量代换线段和差解答即可【详解】解：∵DADCEBECAPPB分别是的切线∴DA=DCEB=ECPA=P
解析：16
【分析】
根据切线的性质和切线长定理得到DA=DC、BE=EC、AP=BP，然后根据三角形周长公式、等量代换、线段和差解答即可．
【详解】
解：∵DA、DC、EB、EC、AP、PB分别是O的切线，8
AP
∴DA=DC，EB=EC，PA=PB=8，
∵DE=EC+CD
∴DE=BE+DA，
∴PDE
△的周长为PD+PE+DE=PD+DA+PE+BE=PA+PB=16．
故答案为：16．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质、切线长定理等知识点，掌握切线长定理是解答本题的关键．17．16【分析】连接OAOB由切线长定理可得：PA=PBDA=DCEC=EB；由勾股定理可得PA的长△PDE的周长=PD+DC+CE+PE=PD+DA+PE+EB=PA+PB即可求得
△PDE的周长【详解
解析：16
【分析】
连接OA、OB，由切线长定理可得：PA=PB，DA=DC，EC=EB；由勾股定理可得PA的长，△PDE的周长=PD+DC+CE+PE=PD+DA+PE+EB=PA+PB，即可求得△PDE的周长．
【详解】
解：连接OA、OB，如图所示：
∵PA、PB为圆的两条切线，
∴由切线长定理可得：PA=PB，
同理可知：DA=DC，EC=EB；
∵OA⊥PA，OA=6cm，PO=10cm，
∴由勾股定理得：PA=8cm，
∴PA=PB=8cm；
∵△PDE的周长=PD+DC+CE+PE，DA=DC，EC=EB；
∴△PDE的周长=PD+DA+PE+EB=PA+PB=16cm，
故答案为：16．
【点睛】
本题考查的是切线长定理，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长．18．C【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°如果旋转后的图形能够与原来的图形重合那么这个图形就叫做中心对称图形这个点叫做对称中心可得答案【详解】解：矩形是中心对称图形对称中心是对角线的交点点A的对称
解析：C
【分析】
根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心可得答案．
【详解】
解：矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，点A 的对称点是点C ， 故答案为C ．
【点睛】
本题考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的性质．
19．【分析】设点E （mm2﹣4m+8）过E 作EM 垂直于x 轴交AB 于点M 作BF ⊥EMAG ⊥EM 垂足分别为FG 由题意可得M （mm ）从而可用含m 的式子表示出EM 的长根据二次函数的性质及三角形的面积公式可得答案 解析：
218
【分析】
设点E （m ，m 2﹣4m +8），过E 作EM 垂直于x 轴交AB 于点M ，作BF ⊥EM ，AG ⊥EM ，垂足分别为F ，G ，由题意可得M （m ，m ），从而可用含m 的式子表示出EM 的长，根据二次函数的性质及三角形的面积公式可得答案． 【详解】
解：设点E （m ，m 2﹣4m +8），过E 作EM 垂直于x 轴交AB 于点M ，作BF ⊥EM ，AG ⊥EM ，垂足分别为F ，G ，
由题意得：M （m ，m ）， ∴EM ＝m 2﹣4m +8﹣m ＝m 2﹣5m +8 ＝2
57()2
4
m -+
， ∴S △ABE ＝S △AEM +S △EMB
＝
11
22EM AG EM BF ⋅+⋅ 1
()2
EM AG BF =
+ 12
=
(m 2
﹣5m +8)×（4-1） 32
=
(m 2
﹣5m +8) ＝23521()228m -+， 由
3
02
>，得S △ABE 有最小值． ∴当m ＝
5
2时，S △ABE 的最小值为218． 故答案为：21
8
． 【点睛】
本题考查了二次函数的最值、一次函数与二次函数图象上的点与坐标的关系及三角形的面积计算等知识点，熟练掌握相关性质及定理并数形结合是解题的关键．
20．120【分析】设平均年增长率为x 列式求出年平均增长率即可算出结果【详解】解：设平均年增长率为x 根据题意得：整理得：开方得：解得：（舍去）则平均年增长率为20∴该公司2018年盈利100(1+20)＝
解析：120 【分析】
设平均年增长率为x ，列式()2
1001144x +＝，求出年平均增长率，即可算出结果． 【详解】
解：设平均年增长率为x ， 根据题意得：()2
1001144x +＝， 整理得：()2
1 1.44x +＝， 开方得：1 1.2x +=±，
解得：10.2x =，2 2.2x =-（舍去）， 则平均年增长率为20%，
∴该公司2018年盈利100(1+20%)＝120（万元）． 故答案为：120． 【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是掌握增长率问题的求解方法．
三、解答题
21．（1）0.6；（2）24；（3）10
【分析】
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此可得;
（2）用总球数乘以摸到白球的概率即可得出答案；
（3）根据概率公式和摸到白球的个数，即可求出x的值．
【详解】
（1）若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为0.6，
故答案为：0.6；
（2）估算盒子里约有白球40×0.6＝24（个），
故答案为：24；
（3）根据题意知，24＋1＝0.5（40＋x），
解得x＝10，
答：推测x可能是10．
【点睛】
本题主要考查利用频率估计概率，解题的关键是掌握大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
22．（1）丁地车票数为10张，补全条形统计图见解析；（2）1
5
；（3）不公平．
【分析】
（1）根据丁地车票的百分比求出甲，乙，丙地车票所占的百分比之和，用甲，乙，丙车票之和除以百分比求出总票数，得出丁车票的数量，补全条形统计图即可．
（2）根据甲，乙，丙，丁车票总数，与甲地车票数为20张，即可求出所求的概率．（3）列表或画树状图得出所有等可能的情况数，求出两人获胜概率，比较即可得到公平与否．
【详解】
解：（1）根据题意得：（20+40+30）÷（1﹣10%）=100（张），
则丁地车票数为100﹣（20+40+30）=10（张）．补全图形，如图所示：
（2）∵总票数为100张，甲地票数为20张， ∴员工小胡抽到去甲地的车票的概率为2011005
=． （3）列表如下：
2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），
P(小王掷得的数字比小李小)= 63168
=，P(小王掷得的数字不比小李小)= 35188-=
∵P(小王掷得的数字比小李小)≠P(小王掷得的数字不比小李小) ∴这个规则不公平．
23．（1）110ADC ∠=︒；（2）证明见解析 【分析】
（1）根据等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质即可得到结论； （2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论． 【详解】
（1）解：
AB AC =，40BAC ∠=︒，
70ABC ACB ∴∠=∠=︒，
四边形ABCD 是O 的内接四边形，
180110ADC BAC ∴∠=︒-∠=︒，
（2）证明：
BD AC ⊥，
90AEB BEC ∴∠=∠=︒， 90ACB CBD ∴∠=︒-∠， AB AC =，
90ABC ACB CBD ∴∠=∠=︒-∠， 18022BAC ABC CBD ∴∠=︒-∠=∠， DAC CBD ∠=∠，
2
BAC DAC
∠=∠
∴；
【点睛】
本题考查了圆内接四边形，等腰三角形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
24．（1）证明见解析；（2）222
AD BF DF
+=，证明见解析；（3）3
BF=．
【分析】
（1）将CD绕C点逆时针旋转90°至CE，可得△DCE是等腰直角三角形，再判定
△ACD≌△BCE（SAS），即可得出AD＝BE；
（2）连接FE，根据CF是DE的垂直平分线，可得DF＝EF，再根据Rt△BEF中，BE2＋BF2＝EF2，即可得出AD2＋BF2＝DF2；
（3）根据∠BDE＝15°＝∠DEF，可得∠BFE＝30°，设BE＝x，则3
BF x
=，2
EF x DF
==，利用在Rt BDE
△中，()()
22
22362
x x x
++=+，即可解得1
x=，故可求出BF．
【详解】
（1）将CD绕C点逆时针旋转90°至CE，可得DCE是等腰直角三角形，
90
DCE ACB
∴∠=∠=︒，DC EC
=，ACD BCE
∠∠
∴=，
在ACD
△和BCE中，
AC BC
ACD BCE
DC EC
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
()
SAS
ACD BCE
∴△≌△，
AD BE
∴=．
（2）222
AD BF DF
+=．
CF DE
⊥，DCE是等腰直角三角形，连接FE，如图所示，
CF
∴是DE的垂直平分线，DF EF
∴=，
又ACD BCE
≌，45
ABC
∠=︒，
45
CBF A ABC
∴∠=∠=︒=∠，
90
EBF
∴∠=︒，
∴在Rt BEF
△中，222
BE BF EF
+=，
222
AD BF DF
∴+=．
（3）31
CD=，DCE是等腰直角三角形，
62
DE
∴=
15
ACD
∠=︒，45
A CDE
∠=∠=︒，
15BDE DEF ∴∠=︒=∠， 30BFE ∴∠=︒，
设BE x =，则BF =
，2EF x DF ==，
∴在Rt BDE △中，()2
2
22x x ++=，解得1x =，
BF ∴=
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，运用勾股定理进行计算求解．
25．（1）2s 或4s ；（2）不存在，证明见解析；（3）3秒，92
【分析】
（1）根据题意，利用t 表示个线段长度，根据面积为4可列出方程求解．
（2）利用第一问中PCQ △的面积的表示方法，使其等于5，根据判别式判断方程是否有解．
（3）利用求得的PCQ △的面积的表示的二次函数解析式，求出二次函数的最大值，符合题意即为所求最大面积． 【详解】
解：（1）由题意得：AP CQ t ==，6PC AC AP t ∴=-=-，
11
(6)422
PCQ
S
PC CQ t t ∴=
⋅=-⋅=， 2680t t ∴-+=，(2)(4)0t t --=，12t =，24t =，
∴2s 或4s 后PCQ △的面积为4．
（2）1
(6)52
PCQ
S
t t =-=，26100t t -+=， 2(6)41040∆=--⨯=-<，方程无解，
故PCQ △的面积不能为5． （3）1(6)2PCQ
S
t t =-()216992t t =--+-219
(3)22
t =--+，， ∴当3t =时，max
9
2
PCQ S
=
． 【点睛】
本题考查的是一元二次方程以及二次函数的应用，三角形的面积公式的求法和一元二次方程的解的情况．
26．（1）15=x ，21x =-；（2）13x =-，21x = 【分析】
（1）利用直接开平方法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可．
【详解】
解：（1）∵()2
29x -=，
∴23x -=±，
∴23x -=或23x -=-，
∴15=x ，21x =-．
（2）∴ 1a =，2b =，3c =-，
则()22413160=-⨯⨯-=>△，
∴x = 即13x =-，21x =．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程．通过开平方运算解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．公式法解一元二次方程的一般步骤，把方程化为一般形式确定各系数的值利用
求解．。