南昌市民族中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

南昌市民族中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若2＋a i
1＋i ＝3＋b i ，则a －b 为（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
2． 已知函数f （x ）=是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．﹣3≤a ＜0 B ．﹣3≤a ≤﹣2 C ．a ≤﹣2 D ．a ＜0
3． 函数f （x ）=
的定义域为（ ）
A ．[1，2）
B ．（1，+∞）
C ．[1，2）∪（2，+∞）
D ．[1，+∞）
4． 已知,A B 是球O 的球面上两点，60AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大
值为O 的体积为（ ）
A ．81π
B ．128π
C ．144π
D ．288π
【命题意图】本题考查棱锥、球的体积、球的性质，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力．
5． 极坐标系中，点P ，Q 分别是曲线C 1：ρ=1与曲线C 2：ρ=2上任意两点，则|PQ|的最小值为（ ）
A ．1
B ．
C ．
D ．2
6． 已知命题p ：2≤2，命题q ：∃x 0∈R ，使得x 02+2x 0+2=0，则下列命题是真命题的是（ ） A ．￢p B ．￢p ∨q C ．p ∧q D ．p ∨q
7． 等比数列{a n }满足a 1=3，a 1+a 3+a 5=21，则a 2a 6=（ ）
A ．6
B ．9
C ．36
D ．72
8． 一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是边AB 上的动点，记四面体FMC E -的体
积为1V ，多面体BCE ADF -的体积为2V ，则
=2
1
V V （ ）1111] A ．4
1 B ．31 C ．21
D ．不是定值，随点M 的变化而变化
9．以过椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点的弦为直径的圆与其右准线的位置关系是（）
A．相交B．相切C．相离D．不能确定
10．下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况，其中有一个数字模糊不清，在图中以m表示．若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分，那么m的可能取值集合为（）
A． B． C． D．
11．不等式﹣x2﹣2x+3≤0的解集为（）
A．{x|x≥3或x≤﹣1} B．{x|﹣1≤x≤3} C．{x|﹣3≤x≤1} D．{x|x≤﹣3或x≥1}
12．如图所示，阴影部分表示的集合是（）
A．（∁U B）∩A B．（∁U A）∩B C．∁U（A∩B）D．∁U（A∪B）
二、填空题
13．已知点M（x，y）满足，当a＞0，b＞0时，若ax+by的最大值为12，则+的最小值
是．
14．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色的涂料，且三个房间的颜色各不相同．三个房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如下表：
那么在所有不同的粉刷方案中，最低的涂料总费用是_______元．
15．过抛物线C：y2=4x的焦点F作直线l交抛物线C于A，B，若|AF|=3|BF|，则l的斜率是．
16．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （﹣2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程
是 ．
17．函数()y f x =的定义域是[]0,2，则函数()1y f x =+的定义域是__________.111]
18．设函数f （x ）=若f[f （a ）]
，则a 的取值范围是 ．
三、解答题
19．已知函数f （x ）=x 2﹣（2a+1）x+alnx ，a ∈R （1）当a=1，求f （x ）的单调区间；（4分）
（2）a ＞1时，求f （x ）在区间[1，e]上的最小值；（5分） （3）g （x ）=（1﹣a ）x ，若使得f （x 0）≥g （x 0）成立，求a 的范围.
20．2
3
()sin 2f x x x =+
. （1）求函数()f x 的单调递减区间；
（2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()12
A f =，ABC ∆的面积为33.
21．设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 2sin a b A =． （1）求角B 的大小；
c=，求．
（2）若a=5
22．已知向量=（，1），=（cos，），记f（x）=．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位得到y=g（x）的图象，讨论函数y=g（x）﹣k在
的零点个数．
23．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且csinA=acosC．
（I）求C的值；
（Ⅱ）若c=2a，b=2，求△ABC的面积．
24．为配合国庆黄金周，促进旅游经济的发展，某火车站在调查中发现：开始售票前，已有a人在排队等候购票．开始售票后，排队的人数平均每分钟增加b人．假设每个窗口的售票速度为c人/min，且当开放2个窗口
时，25min后恰好不会出现排队现象（即排队的人刚好购完）；若同时开放3个窗口，则15min后恰好不会出现排队现象．若要求售票10min后不会出现排队现象，则至少需要同时开几个窗口？
南昌市民族中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】
【解析】选A.由2＋a i
1＋i
＝3＋b i 得，
2＋a i ＝（1＋i ）（3＋b i ）＝3－b ＋（3＋b ）i ， ∵a ，b ∈R ，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧2＝3－b a ＝3＋b ，即a ＝4，b ＝1，∴a －b ＝3（或者由a ＝3＋b 直接得出a －b ＝3），选A. 2． 【答案】B
【解析】解：∵函数
是R 上的增函数
设g （x ）=﹣x 2
﹣ax ﹣5（x ≤1），h （x ）=（x ＞1）
由分段函数的性质可知，函数g （x ）=﹣x 2
﹣ax ﹣5在（﹣∞，1]单调递增，函数h （x ）=在（1，+∞）单调
递增，且g （1）≤h （1）
∴
∴
解可得，﹣3≤a ≤﹣2 故选B
3． 【答案】C
【解析】解：要使函数f （x ）有意义，则，
即
，
解得x ≥1且x ≠2，
即函数f （x ）的定义域为[1，2）∪（2，+∞）．
故选：C ．
【点评】本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．
4． 【答案】D
【解析】当OC ⊥平面AOB 平面时，三棱锥O ABC -的体积最大，且此时OC 为球的半径．设球的半径为R ，
则由题意，得2
11
sin 6032
R R ⨯⨯︒⋅=6R =，所以球的体积为3
42883
R π=π，故选D ． 5． 【答案】A
【解析】解：极坐标系中，点P ，Q 分别是曲线C 1：ρ=1与曲线C 2：ρ=2上任意两点， 可知两条曲线是同心圆，如图，|PQ|的最小值为：1． 故选：A ．
【点评】本题考查极坐标方程的应用，两点距离的求法，基本知识的考查．
6． 【答案】D
【解析】解：命题p ：2≤2是真命题，
方程x 2
+2x+2=0无实根，
故命题q ：∃x 0∈R ，使得x 02
+2x 0+2=0是假命题，
故命题￢p ，￢p ∨q ，p ∧q 是假命题， 命题p ∨q 是真命题， 故选：D
7． 【答案】D
【解析】解：设等比数列{a n }的公比为q ，
∵a 1=3，a 1+a 3+a 5=21，∴3（1+q 2+q 4）=21，解得q 2
=2． 则a 2a 6=9×q 6
=72．
故选：D ．
8．【答案】B
【解析】
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．
9．【答案】C
【解析】解：设过右焦点F的弦为AB，右准线为l，A、B在l上的射影分别为C、D
连接AC、BD，设AB的中点为M，作MN⊥l于N
根据圆锥曲线的统一定义，可得
==e，可得
∴|AF|+|BF|＜|AC|+|BD|，即|AB|＜|AC|+|BD|，
∵以AB为直径的圆半径为r=|AB|，|MN|=（|AC|+|BD|）
∴圆M到l的距离|MN|＞r，可得直线l与以AB为直径的圆相离
故选：C
【点评】本题给出椭圆的右焦点F，求以经过F的弦AB为直径的圆与右准线的位置关系，着重考查了椭圆的简单几何性质、圆锥曲线的统一定义和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
10．【答案】C
【解析】【知识点】样本的数据特征茎叶图
【试题解析】由题知：
所以m可以取：0，1，2．
故答案为：C
11．【答案】D
【解析】解：不等式﹣x2﹣2x+3≤0，
变形为：x2+2x﹣3≥0，
因式分解得：（x﹣1）（x+3）≥0，
可化为：或，
解得：x≤﹣3或x≥1，
则原不等式的解集为{x|x≤﹣3或x≥1}．
故选D．
12．【答案】A
【解析】解：由图象可知，阴影部分的元素由属于集合A，但不属于集合B的元素构成，∴对应的集合表示为A∩∁U B．
故选：A．
二、填空题
13．【答案】4．
【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：
，
由，解得：A（3，4），
显然直线z=ax+by过A（3，4）时z取到最大值12，
此时：3a+4b=12，即+=1，
∴+=（+）（+）=2++≥2+2=4，
当且仅当3a=4b时“=”成立，
故答案为：4．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了利用基本不等式求最值，解答此题的关键是对“1”的灵活运用，是基础题．
14．【答案】1464
【解析】【知识点】函数模型及其应用
【试题解析】显然，面积大的房间用费用低的涂料，所以房间A用涂料1，房间B用涂料3，
房间C用涂料2，即最低的涂料总费用是元。

故答案为：1464
15．【答案】．
【解析】解：∵抛物线C方程为y2=4x，可得它的焦点为F（1，0），
∴设直线l方程为y=k（x﹣1），
由，消去x得．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
可得y1+y2=，y1y2=﹣4①．
∵|AF|=3|BF|，
∴y1+3y2=0，可得y1=﹣3y2，代入①得﹣2y2=，且﹣3y22=﹣4，
消去y
得k2=3，解之得k=±．
2
故答案为：．
【点评】本题考查了抛物线的简单性质，着重考查了舍而不求的解题思想方法，是中档题．
16．【答案】．
【解析】解：已知∴∴为所求；
故答案为：
【点评】本题主要考查椭圆的标准方程．属基础题．
-
17．【答案】[]1,1
【解析】
考点：函数的定义域.
18．【答案】或a=1．
【解析】解：当时，．
∵，由，解得：，所以；
当，f（a）=2（1﹣a），
∵0≤2（1﹣a）≤1，若，则，
分析可得a=1．
若，即，因为2[1﹣2（1﹣a）]=4a﹣2，
由，得：．
综上得：或a=1．
故答案为：或a=1．
【点评】本题考查了函数的值域，考查了分类讨论的数学思想，此题涉及二次讨论，解答时容易出错，此题为中档题．
三、解答题
19．【答案】解：（1）当a=1，f（x）=x2﹣3x+lnx，定义域（0，+∞），
∴…（2分）
，解得x=1或x=，x∈，（1，+∞），f′（x）＞0，f（x）是增函数，x∈（，1），
函数是减函数．…（4分）
（2）∴，∴，
当1＜a＜e时，
∴f（x）min=f（a）=a（lna﹣a﹣1）
当a≥e时，f（x）在[1，a）减函数，（a，+∞）函数是增函数，
∴
综上…（9分）
（3）由题意不等式f（x）≥g（x）在区间上有解
即x2﹣2x+a（lnx﹣x）≥0在上有解，
∵当时，lnx≤0＜x，
当x∈（1，e]时，lnx≤1＜x，∴lnx﹣x＜0，
∴在区间上有解．
令…（10分）
∵，∴x+2＞2≥2lnx∴时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，
x∈（1，e]，h（x）是增函数，
∴，
∴时，，∴
∴a 的取值范围为…（14分）
20．【答案】（1）5,3
6k k π
πππ⎡
⎤
++
⎢⎥⎣
⎦
（k ∈Z ）；（2）23. 【解析】
试题分析：（1）根据32222
6
2
k x k π
π
π
ππ+≤-
≤+
可求得函数()f x 的单调递减区间；（2）由12A f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
可得3
A π
=
，再由三角形面积公式可得12bc =，根据余弦定理及基本不等式可得的最小值. 1
试题解析:（1）1131()cos 2sin 2sin(2)22262
f x x x x π=
-+=-+， 令3222262k x k πππππ+≤-≤+，解得536
k x k ππ
ππ+≤≤+，k Z ∈，
∴()f x 的单调递减区间为5[,]36
k k ππ
ππ++（k Z ∈）.
考点：1、正弦函数的图象和性质；2、余弦定理、基本不等式等知识的综合运用． 21．【答案】（1）6
B π
=；（2）7b =
【解析】1111]
（2）根据余弦定理，得
2222cos2725457
=+-=+-=，
b a
c ac B
所以b=
考点：正弦定理与余弦定理．
22．【答案】
【解析】解：（1）∵向量=（，1），=（cos，），记f（x）=．
∴f（x）=cos+=sin+cos+=sin（+）+，
∴最小正周期T==4π，
2kπ﹣≤+≤2kπ+，
则4kπ﹣≤x≤4kπ+，k∈Z．
故函数f（x）的单调递增区间是[4kπ﹣，4kπ+]，k∈Z；
（2））∵将函数y=f（x）=sin（+）+的图象向右平移个单位得到函数解析式为
：y=g（x）=sin[（x﹣+）]+=sin（﹣）+，
∴则y=g（x）﹣k=sin（x﹣）+﹣k，
∵x∈[0，]，可得：﹣≤x﹣≤π，
∴﹣≤sin（x﹣）≤1，
∴0≤sin（x﹣）+≤，
∴若函数y=g（x）﹣k在[0，]上有零点，则函数y=g（x）的图象与直线y=k在[0，]上有交点，
∴实数k的取值范围是[0，]．
∴当k＜0或k＞时，函数y=g（x）﹣k在的零点个数是0；
当0≤k＜1时，函数y=g（x）﹣k在的零点个数是2；
当k=0或k=时，函数y=g（x）﹣k在的零点个数是1．
【点评】本题是中档题，考查向量的数量积的应用，三角函数的化简求值，函数的单调增区间的求法，函数零点的判断方法，考查计算能力．
23．【答案】
【解析】解：（I）∵a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且csinA=acosC，
∴sinCsinA=sinAcosC，∴sinCsinA﹣sinAcosC=0，
∴sinC=cosC，∴tanC==，
由三角形内角的范围可得C=；
（Ⅱ）∵c=2a，b=2，C=，
∴由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC，
∴4a2
=a2+12﹣4a•，解得a=﹣1+，或a=﹣1﹣（舍去）
∴△ABC的面积S=absinC==
24．【答案】
【解析】解：设至少需要同时开x个窗口，则根据题意有，．
由①②得，c=2b，a=75b，代入③得，75b+10b≤20bx，
∴x≥，
即至少同时开5个窗口才能满足要求．。