椭圆型方程的有限差分法

第4章 椭圆型方程的有限差分法
§2 一维差分格式
1、用积分插值法导出逼近微分方程的差分格式。

d du du Lu=-(p
)+r +qu=f,a<x<b,dx dx dx u(a)=α,u(b)=β.
⎧
⎪⎨
⎪⎩ 解：考虑在[a,b]内任一小区间(1)
(2)
[,]x x
，将上式在此区间上积分得
(2)
(2)(2)(2)(1)(1)(1)(1)-(())x x x x x x x x d du du
p x dx r dx qudx f dx dx dx dx
++=⎰⎰⎰⎰ 或 (2)(2)(2)(1)(1)(1)(1)(2)
()()x x x x x x du W x W x r dx qudx f dx dx
-++=⎰⎰⎰
（1.1） 其中，()()du
W x p x dx
=
（1.2）
特别地，取(1)(2)
[,]x x
为对偶单元1/21/2[,]i i x x -+，则
1/21/21/21/2
1/21/2
1/21/2()()i i i i i i x x x i i x x x du
W x W x r
dx qudx f dx dx
+++----+-++=⎰
⎰⎰。

将（1.2）改写成()
()du W x dx p x =，再沿1/21/2[,]i i x x -+积分，得11()()
i i x i i x W x u u dx p x ---=⎰，利用中矩形公式，得
1
1
11/21,[]()
i
i x i i i i
i x i i
u u dx W a a h h p x -----≈=⎰
（1.3）
又
1/2
1/21/2
1/2
112
,()2i i i i x x i i i i i x x i i h h qudx d u d q x dx h h ++--+++≈
=+⎰
⎰ （1.4）
1/2
1/21/2
1/2
1112,()2i i i i x x i i i i x x i i u u du r
dx b b r x dx dx h h ++--+-+-≈=+⎰
⎰ （1.5）
1/21/2
12
()i i x i x i i f x dx h h ϕ+-+=
+⎰
（1.6）
将（1.3）~（1.5）代入（1.1），即得微分方程的差分格式
1111111111
()()222i i i i i i i i i i i i i i i i i i u u u u u u a a h h d u b h h h h ϕ+-+-++++⎡⎤-----+++=+⎢⎥⎣
⎦。

如果系数p,q,r 以及右端f 光滑，则可用中矩形公式计算得
1/21/2(),(),(),().
i i i i i
i i i i i a p p x di q q x bi r r x f f x ϕ--==⎧⎪==⎪⎨
==⎪⎪==⎩
▌
2、导出10111000101()()022
u u h h
a d u h ααϕ--+-+-+=对01()()()p a u a u a αα'-=+的逼近阶。

解：101
1011()()x x dx a p p a h p x -⎡⎤
===⎢⎥⎣⎦
⎰， 1200012()x x d qdx q q a h ===⎰，1
20
0012()x x fdx f f a h ϕ===⎰ 记01()()()()Lu a p a u a u a αα'=---，
10110
0001012
31110
110001012111100010()()()22
()()()()2()()()22()[()()]()()()222
h u u h h
L u a p q u f h h u a h u a u a O h u h h p a q u f h h h h p a u a u a O h q u f αααααα-=-+-+-+'''+++-=-+-+-+'''=-+
++-+-+
2111000000()()()()()()222
h h h h
R u L u x Lu x p a u a q u f O h ''=-=-+++
则逼近阶为2
()O h 。

▌
§3 矩形网的差分格式
1、 用积分插值法构造逼近方程 ()[
()()]k u k k f x x y y
∂∂∂∂
-∇∇=-+=∂∂∂∂ （*）
的第一边值问题的五点差分格式，这里min (,)0k k x y k =≥>
解：考虑xy 平面上一有界区域G ，其边界Γ为分段光滑曲线，且满足第一边值条件：
(,)|(,),(,)u x y x y x y G αΓ=∈∂
取定沿x 轴和y 轴方向上的步长12h h 和，并作对偶剖分。

记1/211()2
i x i h -=- ，
1/221
()2
j y j h -=-,作两族与坐标轴平行的直线1/21/2,,0,1,...i i x x i j --==±和y=y ，其交点
属于G 内部者为对偶剖分的内点，直线与边界Γ的交点为对偶剖分的界点。

对于任一正则
内点(,)i j x y ，考虑对偶剖分的网点：1/21/2(,)i j A x y --，1/21/2(,)i j B x y +-，
1/21/2(,)i j C x y ++，1/21/2(,)i j D x y -+，用ABCDA 表示以A,B,C,D 为顶点的矩形，其内部区
域记为ij G ，于ij G 上对（*）积分。

1/21/21/21/21/21/2(,)(,)(,)(,)(,)i i y i i i i ABCDA y u k x y dxdy k x y u x y k x y u x y dy x x x x +-++--∂∂∂∂⎛⎫⎡⎤
=- ⎪⎢⎥∂∂∂∂⎝⎭⎣⎦
⎰⎰利用中矩形公式有
1/21/21/21/22(,)(,)(,)(,)(,)i j i j i j i j ABCDA u k x y dxdy k x y u x y k x y u x y h x x x x ++--∂∂∂∂⎛⎫⎡⎤≈- ⎪⎢⎥∂∂∂∂⎝⎭⎣⎦
⎰ 类似地有
1/21/21/21/21(,)(,)(,)(,)(,)i j i j i j i j ABCDA u k x y dxdy k x y u x y k x y u x y h y y y y ++--⎛⎫⎡⎤∂∂∂∂
≈- ⎪⎢⎥∂∂∂∂⎝⎭⎣⎦
⎰ 此外有
12(,)(,)ij
i j G f x y dxdy f x y h h ≈⎰⎰
将上面的积分近似式中出现的偏导数用差商代替，代入（*）式，并同时除以12h h ，就得到（*）式的差分方程：
1/2,1,1/2,,1,,1/2,1,1/2,,12212
11
[()()][()()]i j i j ij i j i j i j i j i j ij i j i j i j ij k u u k u u k u u k u u f h h ++--++---
-------=▌
2、 用差分法求解边值问题222
221,1
,1,5,100,1
u k u x y k u x y ⎧-∆+=-+<⎪=⎨=+=⎪⎩。

解：令cos ,sin x r y r θθ==，则整个xy 平面变成r θ平面上的半带形域
{01,02}r θπ≤≤≤≤，从而(,)u x y 满足的上述边值问题转化为极坐标形式下(,)u r θ满
足的边值问题就可转化为
22
,221
11(,)1,(,)(0,1)(0,2)|0r r u u u r k u r r G r r r r u θθθπθ=⎧⎡⎤∂∂∂⎛⎫-∆=-++=-∈=⨯⎪ ⎪⎢⎥∂∂∂⎝⎭⎨⎣⎦
⎪=⎩
首先关于区域G 分别取等步长1/,2/r h N h M θπ==进行网格划分，令
1,
0,1,2,,1,
0,1,
,1
i r j r ih i N jh j M θθ=+=-==-
这样就在半带形区域上形成了网格节点(,)j j r θ，再对变量r 的取值范围(0,1)作对偶剖分
12
1
1(),
0,1,2,,12
r i r
i h i N +
=++=-。

作中心差分得：
112
2
1111222211221,1,1
1(,)(,)2
2
1,(,)(,)(,),()111()j j i i i j j j i i r j ij r j ij
i i r
r
r r
i j ij i i i i r r r r i i
u u u u u u r r
r r
r h r h r u r r u r u u r r r r r r h r r r r θθθθθ-
+
+-
-+-
+
+++----∂∂⎡⎤⎡⎤
≈≈⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦⎣⎦⎧⎫-++∂∂∂∂⎪⎪⎡⎤⎡⎤⎡⎤≈-≈⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭
1,22,1,1
2222(,)211i
j
i j
r i j ij i j i
r u h u u u u r r h θθθ-+--+⎡⎤∂≈⎢⎥∂⎣⎦ 代入到原边值问题中，则得到差分方程：
1
1112222
1,1,,1,12222
0()2111,(1,2,,1;1,2,,1),(0,1,2,,)0,(0,1,2,,)
i j ij i j i i i i i j ij i j ij i r i i iM Nj r u r r u r u u u u k u r h r h i N j M u u i N u j M θ+-++--+--++⎡⎤-+-++=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
=-=-====。