高中数学 第四章 圆与方程 4.2 直线、圆的位置关系学

4.2 直线、圆的位置关系
4．2.1 直线与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系有哪几种？
2．过圆外一点和圆上一点的切线的方程应分别怎样求？
3．直线被圆所截得的弦长公式是什么？弦长公式是怎样推导出来的？
[新知初探]
1．直线与圆有三种位置关系
位置关系交点个数
相交有两个公共点
相切只有一个公共点
相离没有公共点
2.直线Ax＋By＋C＝0
位置关系相交相切相离
判断方法
几何法：设圆心到直线的距离d＝
|Aa＋Bb＋C|
A2＋B2
d＜r d＝r d＞r
代数法：由
⎩⎪
⎨
⎪⎧Ax＋By＋C＝0，
x－a2＋y－b2＝r2
消元得到
一元二次方程的判别式Δ
Δ＞0Δ＝0Δ＜0 [点睛] 判断直线与圆的位置关系，一般常用几何法，因为代数法计算繁琐，书写量大，
易出错，几何法则较简洁，但是在判断直线与其他二次曲线的位置关系时，常用代数法．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( )
(2)直线x＋2y－1＝0与圆2x2＋2y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是相交．( )
预习课本P126～128，思考并完成以下问题
答案：(1)√ (2)√
2．设直线l 过点P (－2,0)，且与圆x 2
＋y 2
＝1相切，则l 的斜率是( ) A ．±1
B ．±12
C ．±
33
D ．± 3
解析：选C 设l ：y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0. 又l 与圆相切，∴
|2k |1＋k
2
＝1.∴k ＝±3
3
. 3．直线y ＝2x ＋3被圆x 2
＋y 2
－6x －8y ＝0所截得的弦长等于________．
解析：圆的方程可化为(x －3)2
＋(y －4)2
＝25.故圆心为(3,4)，半径r ＝5.又直线方程为2x －y ＋3＝0，所以圆心到直线的距离为d ＝|2×3－4＋3|
4＋1
＝5，所以弦长为2r 2－d 2
＝
2×25－5＝220＝4 5.
答案：4 5
直线与圆位置关系的判断
[典例] (1)已知直线l ：x －2y ＋5＝0与圆C ：(x －7)2
＋(y －1)2
＝36，判断直线l 与圆
C 的位置关系．
[解] [法一 代数法]
由方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －72
＋
y －1
2
＝36，
x －2y ＋5＝0
消去y 后整理，得5x 2－50x ＋61＝0. ∵Δ＝(－50)2
－4×5×61＝1 280＞0， ∴该方程组有两组不同的实数解， 即直线l 与圆C 相交． [法二 几何法]
圆心(7,1)到直线l 的距离为d ＝|1×7－2×1＋5|
12＋－22
＝2 5.∵d ＜r ＝6，∴直线l 与圆C 相交．
判断直线与圆的位置关系常见的方法： (1)几何法：利用d 与r 的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断． 上述方法中最常用的是几何法．
[活学活用]
1．直线x －ky ＋1＝0与圆x 2
＋y 2
＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相离 C ．相交或相切
D ．相切
解析：选C 直线x －ky ＋1＝0恒过定点(－1,0)，而(－1,0)在圆上，故直线与圆相切或相交．
2．设m ＞0，则直线l ：2(x ＋y )＋1＋m ＝0与圆O ：x 2
＋y 2
＝m 的位置关系为( ) A ．相切 B ．相交 C ．相切或相离
D ．相交或相切
解析：选C 圆心到直线l 的距离为d ＝1＋m 2，圆的半径为r ＝m ，∵d －r ＝1＋m
2－m ＝
12(m －2m ＋1)＝12
(m －1)2
≥0，∴d ≥r ，故直线l 和圆O 相切或相离．
切线问题
[典例] (1)若圆C ：x 2
＋y 2
＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点(a ，
b )向圆所作的切线长的最小值是( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
(2)过点A (－1,4)作圆(x －2)2
＋(y －3)2
＝1的切线l ，求切线l 的方程为________． [解析] (1)因为过圆外一点的圆的切线长l 、半径长r 和这点到圆心的距离d 满足勾股定理，即l 2
＝d 2
－r 2
，所以切线长最短时该点到圆心的距离最小，转化成求该点与圆心的距离的最小值问题．由题意易知圆心C (－1,2)，半径长r ＝2，点(a ，b )在直线y ＝x －3上，所以点(a ，b )与圆心的距离的最小值即圆心到直线y ＝x －3的距离d ，易求d ＝|－1－2－3|
2
＝32，所以切线长的最小值为d 2
－r 2
＝
32
2
－2＝4.
(2)∵(－1－2)2
＋(4－3)2
＝10＞1， ∴点A 在圆外．
当直线l 的斜率不存在时，l 的方程是x ＝－1，不满足题意．
设直线l 的斜率为k ，则切线l 的方程为y －4＝k (x ＋1)， 即kx －y ＋4＋k ＝0.
圆心(2,3)到切线l 的距离为|2k －3＋4＋k |
k 2＋1＝1，
解得k ＝0或k ＝－3
4
，
因此，所求直线l 的方程y ＝4或3x ＋4y －13＝0. [答案] (1)C (2)y ＝4或3x ＋4y －13＝0
(1)过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的求法
先求切点与圆心连线的斜率k ，再由垂直关系得切线的斜率为－1
k
，由点斜式可得切线方
程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y ＝y 0或x ＝x 0.
(2)过圆外一点(x 0，y 0)的切线方程的求法
设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k ，也就得切线方程．当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x ＝x 0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．
(3)求切线长最小值的两种方法
①(代数法)直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；
②(几何法)把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题． [活学活用]
1．圆x 2
＋y 2
＝4在点P (3，－1)处的切线方程为( ) A.3x ＋y －2＝0 B.3x ＋y －4＝0 C.3x －y －4＝0
D.3x －y ＋2＝0
解析：选C ∵(3)2
＋(－1)2
＝4，∴点P 在圆上． ∵切点与圆心连线的斜率为－
3
3
，∴切线的斜率为3， ∴切线方程为y ＋1＝3(x －3)，即3x －y －4＝0.
2．点P 是直线2x ＋y ＋10＝0上的动点，PA ，PB 与圆x 2
＋y 2
＝4分别相切于A ，B 两点，则四边形PAOB 面积的最小值为________．
解析：如图所示，因为S 四边形PAOB ＝2S △POA .又OA ⊥AP ，
所以S 四边形PAOB ＝2×1
2|OA |·|PA |
＝2|OP |2
－|OA |2
＝2|OP |2
－4.
为使四边形PAOB 面积最小，当且仅当|OP |达到最小，即为点O 到直线2x ＋y ＋10＝0的距离：|OP |min ＝
1022
＋1
2
＝2 5.
故所求最小值为225
2
－4＝8.
答案：8
弦长问题
[典例] 如果一条直线经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32且被圆x 2＋y 2
＝25所截得的弦长为8，求这条
直线的方程．
[解] 圆x 2
＋y 2
＝25的半径长r 为5，直线被圆所截得的弦长l ＝8，于是弦心距d ＝
r 2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫l 2
2＝52－42＝3.
因为圆心O (0,0)到直线x ＝－3的距离恰为3，所以直线x ＝－3是符合题意的一条直线．设直线y ＋32＝k (x ＋3)也符合题意，即圆心到直线kx －y ＋⎝
⎛⎭⎪⎫3k －32＝0的距离等于3，于是
⎪
⎪⎪⎪⎪⎪
3k －32k 2＋1
＝3，解得k ＝－3
4.
故直线的方程为3x ＋4y ＋15＝0.
综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为x ＝－3和3x ＋4y ＋15＝0.
求弦长的两种方法
涉及直线被圆截得的弦长问题时，解法有以下两种：
(1)由于半径长r 、弦心距d 、弦长l 的一半构成直角三角形，所以利用勾股定理d 2
＋⎝ ⎛⎭
⎪
⎫l 22
＝r 2
求解，这是常用解法．
(2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x (或y )的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间距离公式求解．此解法很烦琐，一般不用．
[活学活用]
1．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2
＋(y ＋1)2
＝4截得的弦长为________．
解析：因为圆心(2，－1)到直线x ＋2y －3＝0的距离d ＝|2－2－3|5＝3
5，所以直线x ＋
2y －3＝0被圆截得的弦长为2
4－95＝2555
. 答案：255
5
2．过点(3,1)作圆(x －2)2
＋(y －2)2
＝4的弦，其中最短弦的长为________． 解析：设点A (3,1)，易知圆心C (2,2)，半径r ＝2. 当弦过点A (3,1)且与CA 垂直时为最短弦， |CA |＝
2－3
2
＋
2－1
2
＝ 2.
∴半弦长＝r 2
－|CA |2
＝4－2＝ 2. ∴最短弦的长为2 2. 答案：2 2
层级一 学业水平达标
1．直线3x ＋4y ＋12＝0与圆C ：(x －1)2
＋(y －1)2
＝9的位置关系是( ) A ．相交并且直线过圆心 B ．相交但直线不过圆心 C ．相切
D ．相离
解析：选D 圆心C (1,1)到直线的距离d ＝|3×1＋4×1＋12|32＋42
＝19
5，圆C 的半径r ＝3，则d ＞r ，所以直线与圆相离．
2．圆x 2
＋y 2
－4x ＋4y ＋6＝0截直线x －y －5＝0所得的弦长等于( ) A. 6 B.
6
2
C ．1
D ．5
解析：选A 圆的方程可化为(x －2)2
＋(y ＋2)2
＝2，则圆的半径r ＝2，圆心到直线的距离d ＝|2＋2－5|2
＝22，所以直线被圆截得的弦长为2r 2－d 2
＝2
2－1
2
＝ 6. 3．以点(2，－1)为圆心，且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程为( ) A ．(x －2)2
＋(y ＋1)2
＝3 B ．(x ＋2)2＋(y －1)2
＝3 C ．(x ＋2)2
＋(y －1)2
＝9
D ．(x －2)2
＋(y ＋1)2
＝9
解析：选D 圆心到直线3x －4y ＋5＝0的距离d ＝|6＋4＋5|
5＝3，即圆的半径为3，所以
所求圆的方程为(x －2)2
＋(y ＋1)2
＝9.
4．若直线x －y ＝2被圆(x －a )2
＋y 2
＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( ) A ．0或4 B ．0或3 C ．－2或6
D ．－1或 3
解析：选A 由圆的方程，可知圆心坐标为(a,0)，半径r ＝2.又直线被圆截得的弦长为22，所以圆心到直线的距离d ＝
22
－⎝
⎛⎭⎪⎫2222
＝ 2.又d ＝
|a －2|2
，所以|a －2|＝2，解得a ＝4或a ＝0.故选A.
5．若a 2
＋b 2
＝2c 2
(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2
＋y 2
＝1所截得的弦长为( ) A.1
2 B ．1
C.22
D. 2 解析：选D 圆心到直线的距离d ＝
|c |
a 2＋b
2
＝1
2
，设弦长为l ，圆的半径为r ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22
＋
d 2＝r 2，即l ＝2r 2－d 2＝ 2.
6．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2
＋(y －a )2
＝4相交于A ，B 两点，且△
ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.
解析：根据“半径、弦长AB 的一半、圆心到直线的距离”满足勾股定理可建立关于a 的方程，解方程求a .
圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离为|a ＋a －2|
a 2＋1
.因为△ABC 为等边三角形，所以|AB |
＝|BC |＝2，所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫|a ＋a －2|a 2
＋12＋12＝22
， 解得a ＝4±15. 答案：4±15
7．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为____________________．
解析：令y ＝0得x ＝－1，所以直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1,0)．因为直线x ＋
y ＋3＝0与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，
即r ＝|－1＋0＋3|2＝2，
所以圆C 的方程为(x ＋1)2
＋y 2
＝2. 答案：(x ＋1)2
＋y 2
＝2
8．点M ，N 在圆x 2
＋y 2
＋kx ＋2y ＋4＝0上，且点M ，N 关于直线x －y ＋1＝0对称，则该圆的半径是________．
解析：由题知，直线x －y ＋1＝0过圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫
－k
2，－1，
即－k
2＋1＋1＝0，∴k ＝4.
∴r ＝
16＋4－16
2
＝1. 答案：1
9．一圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且直线y ＝x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程．
解：因为圆与y 轴相切，且圆心在直线x －3y ＝0上， 故设圆的方程为(x －3b )2
＋(y －b )2
＝9b 2
. 又因为直线y ＝x 截圆得弦长为27， 则有⎝
⎛⎭⎪⎫|3b －b |22＋(7)2＝9b 2
， 解得b ＝±1，故所求圆的方程为
(x －3)2
＋(y －1)2
＝9或(x ＋3)2
＋(y ＋1)2
＝9.
10．设圆上的点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，求圆的方程．
解：设所求圆的方程为(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
，则圆心为(a ，b )，半径长为r .
∵点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点A ′仍在这个圆上，∴圆心(a ，b )在直线x ＋2y ＝0上．
∴a ＋2b ＝0，①
且(2－a )2
＋(3－b )2
＝r 2
.②
又∵直线x －y ＋1＝0与圆相交的弦长为22， ∴r 2
－d 2
＝r 2－⎝
⎛⎭
⎪⎫|a －b ＋1|22＝(2)2
.③ 解由方程①②③组成的方程组，
得{ a ＝6，b ＝－3，r 2
＝52或{ a ＝14，
b ＝－7，r 2＝244.
∴所求圆的方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(x ＋7)2
＝244.
层级二 应试能力达标
1．直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2
＋(y －1)2
＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切
C ．相离
D ．无法确定，与m 的取值有关
解析：选A 圆心到直线的距离d ＝|－1－m ＋1|m 2＋1＝|m |
m 2＋1＜1＝r ，故选A.
2．直线x ＋7y －5＝0截圆x 2
＋y 2
＝1所得的两段弧长之差的绝对值是( ) A.π
4
B.π2
C ．π
D.3π2
解析：选C 圆心到直线的距离d ＝|0＋0－5|1＋49＝2
2.又圆的半径r ＝1，∴直线x ＋7y －5
＝0被圆x 2
＋y 2
＝1截得的弦长为2，∴直线截圆所得的劣弧所对的圆心角为90°，∴劣弧是整个圆周的14，∴直线截圆所得的两段弧长之差的绝对值为整个圆周长的一半，即1
2×2πr ＝
π.
3．直线l 与圆x 2
＋y 2
＋2x －4y ＋a ＝0(a ＜3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为C (－2,3)，则直线l 的方程为( )
A ．x －y ＋5＝0
B ．x ＋y －1＝0
C ．x －y －5＝0
D ．x ＋y －3＝0
解析：选A 由圆的一般方程可得圆心为M (－1,2)．由圆的性质易知M (－1,2)与C (－2,3)的连线与弦AB 垂直，故有k AB ×k MC ＝－1⇒k AB ＝1，故直线AB 的方程为y －3＝x ＋2，整理得x －y ＋5＝0.
4．与圆C ：x 2
＋y 2
－4x ＋2＝0相切，且在x ，y 轴上的截距相等的直线共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条
D ．4条
解析：选C 圆C 的方程可化为(x －2)2
＋y 2
＝2.可分为两种情况讨论：
(1)直线在x ，y 轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y ＝kx ，则|2k |1＋k
2
＝2，解得k ＝±1；
(2)直线在x ，y 轴上的截距均不为0，则可设直线方程为x a ＋y a
＝1(a ≠0)，即x ＋y －a ＝0(a ≠0)，则|2－a |
2
＝2，解得a ＝4(a ＝0舍去)．因此满足条件的直线共有3条．
5．过直线x ＋y ＋4＝0与圆x 2＋y 2
＋4x －2y －4＝0的交点且与y ＝x 相切的圆的方程为________________．
解析：设所求圆的方程为x 2
＋y 2
＋4x －2y －4＋λ(x ＋y ＋4)＝0.联立方程组
{ y ＝x ，x 2＋y 2＋4x －2y －4＋λx ＋y ＋4
＝0，得x 2＋(1＋λ)x ＋2(λ－1)＝0.因为圆
与y ＝x 相切，所以Δ＝0，即(1＋λ)2
－8(λ－1)＝0，则λ＝3，故所求圆的方程为x 2
＋y 2
＋7x ＋y ＋8＝0.
答案：x 2
＋y 2
＋7x ＋y ＋8＝0
6．过原点O 作圆x 2＋y 2
－6x －8y ＋20＝0的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段PQ 的长为________．
解析：圆的方程化为标准方程为(x －3)2
＋(y －4)2
＝5，示意图如图所
示．则圆心为O ′(3,4)，r ＝ 5.
切线长|OP |＝|OO ′|2
－|O ′P |2
＝2 5. ∴|PQ |＝2·|OP |·|O ′P ||OO ′|＝2×25×5
5＝4.
答案：4
7．已知点A (1，a )，圆O ：x 2
＋y 2
＝4.
(1)若过点A 的圆O 的切线只有一条，求实数a 的值及切线方程；
(2)若过点A 且在两坐标轴上截距相等的直线被圆O 截得的弦长为23，求实数a 的值． 解：(1)由于过点A 的圆O 的切线只有一条，则点A 在圆上，故12
＋a 2
＝4，∴a ＝± 3. 当a ＝3时，A (1，3)，切线方程为x ＋3y －4＝0； 当a ＝－3时，A (1，－3)，切线方程为x －3y －4＝0. (2)设直线方程为x ＋y ＝b .
∵直线过点A ，∴1＋a ＝b ，即a ＝b －1.① 又圆心到直线的距离d ＝|b |
2，
∴⎝
⎛⎭⎪⎫|b |22＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫2322
＝4，② 由①②，得{ a ＝2－1，b ＝2或{ a ＝－2－1，b ＝－ 2.
8．已知直线l ：2mx －y －8m －3＝0和圆C ：x 2
＋y 2
－6x ＋12y ＋20＝0. (1)m ∈R 时，证明l 与C 总相交；
(2)m 取何值时，l 被C 截得的弦长最短？求此弦长． 解：(1)证明：直线的方程可化为y ＋3＝2m (x －4)，
由点斜式可知，直线过点P (4，－3)．
由于42
＋(－3)2
－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0， 所以点P 在圆内，故直线l 与圆C 总相交．
(2)圆的方程可化为(x －3)2
＋(y ＋6)2
＝25.如图，当圆心C (3，－6)
到直线l 的距离最大时，线段AB 的长度最短．
此时PC ⊥l ，又k PC ＝－3－－6
4－3＝3，
所以直线l 的斜率为－1
3，
则2m ＝－13，所以m ＝－1
6
.
在Rt △APC 中，|PC |＝10，|AC |＝r ＝5. 所以|AB |＝2|AC |2
－|PC |2＝215.
故当m ＝－1
6
时，l 被C 截得的弦长最短，最短弦长为215.
4．2.2&4.2.3 圆与圆的位置关系、直线与圆的方程的应用
1．圆与圆的位置关系有哪几种？它们分别怎样去判断？
2．两圆相交，怎样求公共弦所在的直线方程？
3．两圆相交，圆心连线与两圆的公共弦有什么关系？
[新知初探]
1．圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含． 2．圆与圆位置关系的判定
(1)几何法：若两圆的半径分别为r 1，r 2，两圆连心线的长为d ，则两圆的位置关系的判
预习课本P129～132，思考并完成以下问题
断方法如下：
位置关系 外离
外切
相交
内切
内含
图示
d 与r 1，r 2的
关系 d ＞r 1＋r 2
d ＝r 1＋r 2
|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2
d ＝|r 1－r 2|
d ＜|r 1－r 2|
(2)代数法：设两圆的一般方程为
C 1：x 2＋y 2＋
D 1x ＋
E 1y ＋
F 1＝0(D 21＋E 2
1－4F 1>0)， C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0(D 22＋E 22－4F 2>0)，
联立方程得⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2
＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，x 2＋y 2
＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系
相交
内切或外切
外离或内含
[点睛] (1)圆和圆相离，两圆无公共点，它包括外离和内含； (2)圆和圆相交，两圆有两个公共点；
(3)圆和圆相切，两圆有且只有一个公共点，它包括内切和外切．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切( ) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交( )
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程( )
(4)过圆O ：x 2
＋y 2
＝r 2
外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点为A ，B ，则O ，P ，A ，B 四点共圆且直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2
( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．圆(x ＋2)2
＋y 2
＝4与圆(x －2)2
＋(y －1)2
＝9的位置关系为( ) A ．内切
B ．相交
C ．外切
D ．相离
解析：选B 两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为r ＝2，R ＝3，两圆的圆心距离为
－2－2
2
＋0－1
2
＝17，则R －r <17<R ＋r ，所以两圆相交，选B.
3．已知两圆x 2＋y 2
＝10和(x －1)2
＋(y －3)2
＝20相交于A ，B 两点，则直线AB 的方程是________．
解析：圆的方程(x －1)2
＋(y －3)2
＝20可化为x 2
＋y 2
－2x －6y ＝10.又x 2
＋y 2
＝10， 两式相减得2x ＋6y ＝0，即x ＋3y ＝0. 答案：x ＋3y ＝0
对应学生用书P61
圆与圆位置关系的判断 [典例] 已知两圆C 1：x 2
＋y 2
＋4x ＋4y －2＝0，C 2：x 2
＋y 2
－2x －8y －8＝0，判断圆C 1与圆
C 2的位置关系．
[解] [法一 几何法]
把圆C 1的方程化为标准方程，得(x ＋2)2
＋(y ＋2)2
＝10.圆C 1的圆心坐标为(－2，－2)，半径长r 1＝10.
把圆C 2的方程化为标准方程，得(x －1)2
＋(y －4)2
＝25.圆C 2的圆心坐标为(1,4)，半径长
r 2＝5.
圆C 1和圆C 2的圆心距d ＝
－2－1
2
＋－2－4
2
＝35，
又圆C 1与圆C 2的两半径长之和是r 1＋r 2＝5＋10，两半径长之差是r 2－r 1＝5－10. 而5－10<35<5＋10，即r 2－r 1<d <r 1＋r 2， 所以两圆的位置关系是相交． [法二 代数法]
将两圆的方程联立得到方程组
⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
＋y 2
＋4x ＋4y －2＝0，①x 2
＋y 2
－2x －8y －8＝0，②
由①－②得x ＋2y ＋1＝0，③ 由③得x ＝－2y －1，把此式代入①， 并整理得y 2
－1＝0，④
所以y 1＝1，y 2＝－1，代入x ＋2y ＋1＝0得x 1＝－3，x 2＝1.
所以圆C 1与圆C 2有两个不同的公共点(－3,1)，(1，－1)，即两圆的位置关系是相交．
判断两圆的位置关系的两种方法
(1)几何法：将两圆的圆心距d 与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法．
(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系．
[活学活用]
到点A (－1,2)，B (3，－1)的距离分别为3和1的直线有________条．
解析：到点A (－1,2)的距离为3的直线是以A 为圆心，3为半径的圆的切线；同理，到B 的距离为1的直线是以B 为圆心，半径为1的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距|AB |＝
3＋1
2
＋－1－2
2
＝5.
半径之和为3＋1＝4，因为5>4，
所以圆A 和圆B 外离，因此它们的公切线有4条． 答案：4
与两圆相交有关的问题
[典例] 求经过两圆x 2
＋y 2
＋6x －4＝0和x 2
＋y 2
＋6y －28＝0的交点且圆心在直线x －y －4＝0上的圆的方程．
[解] 法一：解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
＋y 2
＋6x －4＝0，
x 2＋y 2
＋6y －28＝0，得两圆的交点A (－1,3)，B (－6，－2)．
设所求圆的圆心为(a ，b )，因为圆心在直线x －y －4＝0上，故b ＝a －4. 则有
a ＋1
2
＋a －4－3
2
＝ a ＋62
＋a －4＋2
2
，
解得a ＝12，故圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2，－72，
半径为
⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－72－32＝
89
2
. 故圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋722＝89
2
，
即x 2
＋y 2
－x ＋7y －32＝0.
法二： ∵圆x 2
＋y 2
＋6y －28＝0的圆心(0，－3)不在直线x －y －4＝0上，故可设所求圆的方程为x 2
＋y 2
＋6x －4＋λ(x 2
＋y 2
＋6y －28)＝0(λ≠－1)，
其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－31＋λ，－3λ1＋λ，代入x －y －4＝0，求得λ＝－7.
故所求圆的方程为x 2
＋y 2
－x ＋7y －32＝0.
1．圆系方程
一般地过圆C 1：x 2
＋y 2
＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2
＋y 2
＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0交点的圆的方程可设为：x 2
＋y 2
＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2
＋y 2
＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程．
2．两圆相交时，公共弦所在的直线方程
若圆C 1：x 2
＋y 2
＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2
＋y 2
＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0.
3．公共弦长的求法
(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
[活学活用]
求两圆x 2
＋y 2
－2x ＋10y －24＝0和x 2
＋y 2
＋2x ＋2y －8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．
解：联立两圆的方程得方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
＋y 2
－2x ＋10y －24＝0，
x 2＋y 2
＋2x ＋2y －8＝0，两式相减得x －2y ＋4＝0，
此为两圆公共弦所在直线的方程．
法一：设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧
x －2y ＋4＝0，
x 2＋y 2
＋2x ＋2y －8＝0，解得
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－4，
y ＝0
或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0，
y ＝2.
所以|AB |＝
－4－0
2
＋0－2
2
＝25，即公共弦长为2 5.
法二：由x 2
＋y 2
－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2
＋(y ＋5)2
＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r ＝52，圆心到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|1－2×－5＋4|
1＋－2
2
＝3 5. 设公共弦长为2l ，由勾股定理得r 2
＝d 2
＋l 2
，即50＝(35)2
＋l 2
，解得l ＝5，故公共弦长2l ＝2 5.
直线与圆的方程的应用
[典例] 为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离．
[解] 以O 为坐标原点，OB ，OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x 2
＋y 2
＝1，因为点B (8,0)，C (0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y
8
＝1，即x ＋y ＝8.
当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆相切所成切点处时，DE 为最短距离．此时DE 的最小值为|0＋0－8|
2
－1＝(42－1)km.
求直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤
(1)审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知； (2)建系：建立平面直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与曲线的方程；
(3)求解：利用直线与圆的方程的有关知识求解问题； (4)还原：将运算结果还原到实际问题中去． [活学活用]
一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km 处，受影响的范围是半径为30 km 的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
解：以台风中心为坐标原点，以东西方向为x 轴建立直角坐标系(如图所示)，其中取10 km 为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的
圆的方程为x 2
＋y 2
＝9，
港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l 的方程为x 7＋y
4
＝1，即4x ＋7y －28＝0，圆心(0,0)到l ：4x ＋7y －28＝0的距离
d ＝
2842
＋7
2
＝28
65，因为28
65
>3，所以直线与圆相离．故轮船不会受到台风的影响．
层级一学业水平达标
1．已知两圆分别为圆C1：x2＋y2＝81和圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0，这两圆的位置关系是( )
A．相离 B．相交
C．内切 D．外切
解析：选C 圆C1的圆心为C1(0,0)，半径长r1＝9；圆C2的方程化为标准形式为(x－3)2＋(y－4)2＝42，圆心为C2(3,4)，半径长r2＝4，所以|C1C2|＝3－02＋4－02＝5.因为r1－r2＝5，所以|C1C2|＝r1－r2，所以圆C1和圆C2内切．
2．两圆x2＋y2＝r2，(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则正实数r的值是( )
A.10
B.10 2
C. 5 D．5
解析：选B 由题意，知2r＝32＋12＝10，r＝10
2
.
3．圆O1：x2＋y2－6x＋16y－48＝0与圆O2：x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为( ) A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
解析：选C 圆O1为(x－3)2＋(y＋8)2＝121，
O1(3，－8)，r＝11，
圆O2为(x＋2)2＋(y－4)2＝64，O2(－2,4)，R＝8，
∴|O1O2|＝3＋22＋－8－42＝13，
∴r－R＜|O1O2|＜R＋r，
∴两圆相交．∴公切线有2条．
4．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是( )
A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
解析：选C AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，－3)代入，即可排除A、B、D.
5．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区内的时间为( ) A．0.5 h B．1 h
C．1.5 h D．2 h
解析：选B
如图，以A 地为原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则以B (40,0)为圆心，30为半径的圆内MN 之间(含端点)为危险区，可求得|MN |＝20，∴时间为1 h.
6．若圆x 2
＋y 2
－2ax ＋a 2
＝2和x 2
＋y 2
－2by ＋b 2
＝1外离，则a ，b 满足的条件是________． 解析：由题意可得两圆圆心坐标和半径长分别为(a,0)，2和(0，b )，1，因为两圆相离，所以a 2
＋b 2
>2＋1，
即a 2
＋b 2
>3＋2 2. 答案：a 2
＋b 2
>3＋2 2
7．若圆x 2
＋y 2
＝4与圆x 2
＋y 2
＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦的长为23，则a ＝________. 解析：两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x 2
＋y 2
＋2ay －6)－(x 2
＋y 2
)＝0－4⇒y ＝1
a
，又a >0，结合图象(图略)，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，
可知1a
＝ 22
－
3
2
＝1⇒a ＝1.
答案：1
8．经过直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2
＋y 2
＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为________________．
解析：由已知可设所求的圆的方程为x 2
＋y 2
－2＋λ(x ＋y ＋1)＝0，将(1,2)代入可得λ＝－34，故所求圆的方程为x 2＋y 2
－34x －34y －114
＝0.
答案：x 2＋y 2
－34x －34y －114
＝0
9．求与圆C ：x 2
＋y 2
－2x ＝0外切且与直线l ：x ＋3y ＝0相切于点M (3，－3)的圆的方程．
解：圆C 的方程可化为(x －1)2
＋y 2
＝1， 圆心C (1,0)，半径为1.
设所求圆的方程为(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
(r ＞0)，
由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧
a －1
2
＋b 2
＝r ＋1，
b ＋3a －3×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－33＝－1，
|a ＋3b |2＝r ，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝4，
b ＝0，
r ＝2.
所以所求圆的方程为(x －4)2
＋y 2
＝4.
10．已知两圆x 2
＋y 2
－2x －6y －1＝0和x 2
＋y 2
－10x －12y ＋m ＝0.
(1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？
(3)求m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
解：两圆的标准方程为：(x －1)2
＋(y －3)2
＝11，(x －5)2
＋(y －6)2
＝61－m ， 圆心分别为M (1,3)，N (5,6)，半径分别为11和61－m . (1)当两圆外切时，
5－1
2
＋6－3
2
＝11＋61－m ，
解得m ＝25＋1011.
(2)当两圆内切时，因定圆的半径11小于两圆圆心间距离5，故只有61－m －11＝5，解得m ＝25－1011.
(3)两圆的公共弦所在直线方程为
(x 2
＋y 2
－2x －6y －1)－(x 2
＋y 2
－10x －12y ＋45)＝0，即4x ＋3y －23＝0， ∴公共弦长为2
11
2
－⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤|4×1＋3×3－23|42＋32
2
＝27. 层级二 应试能力达标
1．若圆C 1：x 2＋y 2
＝1与圆C 2：x 2
＋y 2
－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( ) A ．21 B ．19 C ．9
D ．－11
解析：选C 依题意可得圆C 1：x 2
＋y 2
＝1与圆C 2：x 2
＋y 2
－6x －8y ＋m ＝0的圆心分别为
C 1(0,0)，C 2(3,4)，则|C 1C 2|＝ 33＋42＝5.又r 1＝1，r 2＝25－m ，由r 1＋r 2＝25－m ＋1＝5，
解得m ＝9.
2．若圆x 2
＋y 2
＝r 2
与圆x 2
＋y 2
＋2x －4y ＋4＝0有公共点，则r 满足的条件是( ) A ．r <5＋1 B ．r >5＋1 C ．|r －5|<1
D ．|r －5|≤1
解析：选D 由x 2
＋y 2
＋2x －4y ＋4＝0，得(x ＋1)2
＋(y －2)2
＝1，两圆圆心之间的距离为－1
2
＋22
＝ 5.∵两圆有公共点，∴|r －1|≤5≤r ＋1，∴5－1≤r ≤5＋1，即－1≤r
－5≤1，∴|r －5|≤1.
3．圆(x ＋2)2
＋y 2
＝5关于直线x －y ＋1＝0对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2
＋y 2＝5 B ．x 2＋(y －2)2
＝5 C ．(x －1)2
＋(y －1)2
＝5
D ．(x ＋1)2
＋(y ＋1)2
＝5
解析：选 D 由圆(x ＋2)2
＋y 2
＝5，可知其圆心为(－2,0)，半径为 5.设点(－2,0)关于
直线x －y ＋1＝0对称的点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧
y －0x ＋2＝－1，
x －22－y ＋0
2＋1＝0，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1，
y ＝－1，
∴所求圆的圆心为(－1，－1)．
又所求圆的半径为5，∴圆(x ＋2)2＋y 2
＝5关于直线x －y ＋1＝0对称的圆的方程为(x ＋1)2
＋(y ＋1)2
＝5.
4．点P 在圆C 1：x 2
＋y 2
－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2
＋y 2
＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是( )
A ．5
B ．1
C ．35－5
D ．35＋5
解析：选C 圆C 1：x 2
＋y 2
－8x －4y ＋11＝0，即(x －4)2
＋(y －2)2
＝9，圆心为C 1(4,2)；圆C 2：x 2
＋y 2
＋4x ＋2y ＋1＝0，即(x ＋2)2
＋(y ＋1)2
＝4，圆心为C 2(－2，－1)，两圆相离，|PQ |的最小值为|C 1C 2|－(r 1＋r 2)＝35－5.
5．若圆O ：x 2
＋y 2
＝5与圆O 1：(x －m )2
＋y 2
＝20(m ∈R)相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长为________．
解析：连接OO 1，记AB 与OO 1的交点为C ，如图所示，在Rt △OO 1A 中，|OA |＝5，|O 1A |＝25，
∴|OO 1|＝5，∴|AC |＝5×25
5
＝2， ∴|AB |＝4. 答案：4
6．过两圆x 2
＋y 2
－2y －4＝0与x 2
＋y 2
－4x ＋2y ＝0的交点，且圆心在直线l ：2x ＋4y －1＝0上的圆的方程是________．
解析：设圆的方程为x 2
＋y 2
－4x ＋2y ＋λ(x 2
＋y 2
－2y －4)＝0，则(1＋λ)x 2
－4x ＋(1＋
λ)y 2＋(2－2λ)y －4λ＝0，把圆心⎝
⎛⎭
⎪
⎫21＋λ，λ－11＋λ代入l ：2x ＋4y －1＝0的方程，可得λ＝
13
，所以所求圆的方程为x 2＋y 2
－3x ＋y －1＝0. 答案：x 2
＋y 2
－3x ＋y －1＝0
7．已知圆O 1的方程为x 2
＋(y ＋1)2
＝4，圆O 2的圆心为O 2(2,1)． (1)若圆O 1与圆O 2外切，求圆O 2的方程；
(2)若圆O 1与圆O 2交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程． 解：(1)设圆O 1、圆O 2的半径分别为r 1，r 2， ∵两圆外切，∴|O 1O 2|＝r 1＋r 2，
- 21 - ∴r 2＝|O 1O 2|－r 1
＝0－22＋－1－12－2＝2(2－1)， ∴圆O 2的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝12－8 2.
(2)由题意，设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 23，
圆O 1，O 2的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在直线的方程，为4x ＋4y ＋r 23－8＝0.
∴圆心O 1(0，－1)到直线AB 的距离为|0－4＋r 23－8|42＋4
2＝4－⎝ ⎛⎭
⎪⎫2222＝2，解得r 23＝4或20.
∴圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.
8．某公园有A 、B 两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 2 km 和2 2 km ，且A ，B 景点间相距2 km ，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设在何处？
解：所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识知，该点应是过A ，B 两点的圆与小路所在的直线相切时的切点．以小路所在直线为x 轴，B 点在y 轴正半轴上建立平面直角坐标系．
由题意，得A (2，2)，B (0,22)，
设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2，由A ，B 两点在圆上，得{ a ＝0，b ＝2 或{ a ＝42，b ＝52，由实际意义知a ＝0，b ＝2，
∴圆的方程为x 2＋(y －2)2＝2，切点为(0,0)，
∴观景点应设在B 景点在小路的投影处．。