由洛伦兹变换推导相对论速度叠加公式
洛伦兹变换速度公式
洛伦兹变换速度公式
洛伦兹变换速度公式是v'x = (vx-vt)/(1-v^2/c^2)^(1/2)，v'y = vy，v'z = (vz-vt)/(1-v^2/c^2)^(1/2)。
其中，v是观察者的速度，c是光速，t是时间，x、y、z是观察者在静止坐标系中的坐标，x'、y'、z'是观察者在移动坐标系中的坐标。
这个公式可以用来计算在相对运动中两个坐标系之间的坐标变换。
例如，如果你在高速火车上向北方移动，那么从地面上的观察者看来，你的位置将会发生偏移。
同样地，如果你在高速移动的飞机上向地面上的某一点投掷一个物体，那么从地面上的观察者看来，物体的轨迹将会发生弯曲。
这些都是洛伦兹变换所描述的现象。
洛伦兹变换公式不仅在狭义相对论中有着重要的应用，在广义相对论中也有着重要的应用。
在广义相对论中，时空被认为是一种弯曲的几何结构，而洛伦兹变换则可以用来描述在不同的弯曲时空之间的坐标变换。
此外，洛伦兹变换也是现代物理学中许多重要概念的基础，如量子力学的波函数、粒子自旋、量子纠缠等，都与洛伦兹变换有关。
因此，洛伦兹变换是现代物理学中非常重要的一个概念。
洛伦兹速度变换
其逆变换式为：
uz
'
uz 1
1
v ux c2
2
u x
ux 'v
1
v ux c2
'
u
y
uy 1
1
v ux c2
'
2
u
z
uz ' 1 2
1
v ux c2
'
5
从相对论速度变换公式，可以得出下列结论：
⑴当速度u,v远小于光速c时，相对论速度变换公式就转化为伽利略 速度变换公式u'=u-v。说明在一般低速情况下，伽利略速度变换是 适用的，只有当u,v接近光速时，才需要相对论速度变换。
⑵相对论速度变换遵循光速不变原理。
令u' c, 解得u
u'v 1 u'v / c
cv 1 cv / c2
c
可见，对K,K'坐标系而言，光速都是c。
6
• 例：
在地面上测得两个飞船A,B分别以+0.9c和-0.9c的速度沿相 反方向飞行，如图所示，求A相对于B的速度大小。
设K系在B上，则B相对于K静止，而地面对K的速度是v=0.9c,以地面为K'，则A 相对于K的速度为u'=0.9c,带入速度变换公式：
x' x vt y' y z' z t' t
推倒得速度变换公式 vpk vpk' vkk'
3
二、相对论速度变换
• 类似于伽利略变换导出速度变换公式，洛伦兹变换也可导出相对论速度变换
公式： 在K坐标系中速度表达式：
ux
dx dt ,uy
dy dt ,uz
洛伦兹变换的推导[1]
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x 2 2 1 v / c y y z z 2 t vx / c t 1 v2 / c2
x vt
x 2 2 1 v / c y y z z 2 t vx / c t 1 v2 / c2
7
6
x vt
在v << c的情况下，洛伦兹变换过渡到伽利略变换。
从洛伦兹变换中可以看到，x 和t 都必须是实数， 所以速率v必须满足
v 1 2 0 c
或者
2
vc
我们得到了一个十分重要的结论，这就是一切物 体的运动速度都不能超过真空中的光速 c，或者说 真空中的光速c 是物体运动的极限速度。
洛伦兹变换的推导
1
三、狭义相对论的基本原理 1. 狭义相对论的基本原理 （1）相对性原理：基本物理定律在所有惯性系中 都保持相同形式的数学表达式，一切惯性系都是等 价的； （2）光速不变原理：在一切惯性系中，光在真空 中的传播的速率都等于c，与光源的运动状态无关。 这两条原理非常简明，但意义深远。它们是狭义相 对论的基础，其正确性要由它们所导出的结果和实验 事实来判定。
P
r
x
x
y = y
z = z
3
（2）时间变换 将 x = k( x v t ) 代入 x = k(x + vt ) ，得
x k ( x vt ) kvt
2
解出
1 k 2 t kt ( )x kv
当两个坐标系的原点重合时，t = t = 0。这时，如 果在原点处有一点光源发出一光脉冲，S系和S 系都 将观察到光脉冲以速率c向各个方向传播。
2
2. 洛伦兹变换
(完整版)洛伦兹变换的详细推导
第三节 洛伦兹变换式教学内容：1. 洛伦兹变换式的推导；2. 狭义相对论的时空观：同时性的相对性、长度的收缩和时间的延缓； 重点难点：狭义相对论时空观的主要结论。
基本要求：1. 了解洛伦兹坐标变换和速度变换的推导；2. 了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间延缓概念；3. 理解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及两者的差异。
三、洛伦兹坐标变换的推导()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧--='='='--='22211c v c vx t t z z y y c v vt x x 或 ()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-'+'='='=-'+'=22211c v c x v t t z z y y c v t v x x据狭义相对论的两个基本假设来推导洛仑兹变换式。
1. 时空坐标间的变换关系作为一条公设，我们认为时间和空间都是均匀的，因此时空坐标间的变换必须是线性的。
对于任意事件P 在S 系和S '系中的时空坐标(x ，y ，z ，t )、(x '，y '，z '，t ')，因S ' 相对于S 以平行于 x 轴的速度v 作匀速运动，显然有y '=y , z '=z 。
在S 系中观察S 系的原点，x =0；在S '系中观察该点，x '=-v t '，即x '+v t '=0。
因此x =x '+v t '。
在任意的一个空间点上，可以设：x =k （x '+v t '），k 是—比例常数。
同样地可得到：x '=k '（x -v t ）= k '（x +(-v )t ）根据相对性原理，惯性系S 系和S '系等价，上面两个等式的形式就应该相同（除正、负号），所以k =k '。
大学物理：第11章-相对论1-洛伦兹时空变换和速度合成
(2) 爱因斯坦相对性原理，S 和 S‘ 系相对速度相反，
数学形式相同，x (x ut)
(3) 光速不变原理， t = t’ = 0 ，O(O’)发光 t (t')达 x (x')
满足 x = ct, x' = ct'
(4) 可得 ct' = (ct – ut) = (c – u)t
光速不变，大小仍为 c
tg | vx | | vy | u / c 1 u2 / c2 u / c 104, 20.6
洛仑兹变换：
运动的火车中
地面上看运动的火车中
u : S ' 相对于 S，火车的速度
力与参照系无关 力学规律与参照系无关
在牛顿力学中，时间是绝对的。 在牛顿力学中，长度是绝对的。 在牛顿力学中，速度是相对的。
二、爱因斯坦相对性原理和光速不变原理： 1. 时代背景： 迈克斯韦方程组预言电磁波，导出真空电磁波速 c 1/ 00 2.99108 m/s ，光（电磁波）速不变
若 S 系的真空光速为 c，S' 系相对于 S 系以速度 u 运动，则 S‘ 系中观测到的真空光速为 c + u 或 c – u 。
但是，从麦克斯韦方程中得到的光速与参考系无关
牛顿的绝对时空观遇到了问题：
那么，我们该怎么办？ 既要满足牛顿伽利略，又要满足麦克斯韦 权宜之计：绝对参考系！
我们都相对于此特殊参考系运动而不自知 在介质的海洋中随波逐流，误以为光速不变
此特殊介质就是以太！ 寻找以太的实验：迈克尔逊-莫雷实验
设地球在绝对参考系中（以太中）的速率为u，地球 上沿不同方向传播的光相对于地球上的观察者速度 应该有所差别，精密光学实验可以测量这种差别。
洛伦兹变换的三个公式
洛伦兹变换是狭义相对论中描述时间和空间之间的关系的数学工具，可以用来描述相对论速度变换以及时间和空间的相对性。
洛伦兹变换有三个主要的公式，分别是：
时间间隔的洛伦兹变换公式：Δt' = γ(Δt - vΔx/c^2) 其中，Δt' 是观测者在运动的参考系中测得的时间间隔，Δt 是静止参考系中的时间间隔，v 是两个参考系之间的相对速度，Δx 是两个参考系之间的相对位置，c 是光速，γ是洛伦兹因子，其值为γ= 1/√(1 - v^2/c^2)。
空间坐标的洛伦兹变换公式： x' = γ(x - vt) 其中，x' 是观测者在运动的参考系中测得的空间坐标，x 是静止参考系中的空间坐标，v 是两个参考系之间的相对速度，t 是时间。
时间坐标的洛伦兹变换公式： t' = γ(t - vx/c^2) 其中，t' 是观测者在运动的参考系中测得的时间坐标，t 是静止参考系中的时间坐标，v 是两个参考系之间的相对速度，c 是光速，γ是洛伦兹因子，其值为γ = 1/√(1 - v^2/c^2)。
这些公式描述了时间和空间之间的变换关系，在相对论中起到了重要的作用。
它们表达了相对论效应，如时间膨胀和长度收缩，以及相对速度的影响。
通过使用洛伦兹变换，我们可以更准确地描述和理解高速运动物体的运动和相互作用。
洛伦兹变换的详细推导
精心整理第三节洛伦兹变换式教学内容：1.洛伦兹变换式的推导；2.狭义相对论的时空观：同时性的相对性、长度的收缩和时间的延缓；重点难点：狭义相对论时空观的主要结论。
基本要求：1.了解洛伦兹坐标变换和速度变换的推导；2.了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间延缓概念；3.理解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及两者的差异。
三、洛伦兹坐标变换的推导()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧--='='='--='22211cvcvxttzzyycvvtxx据狭义相对论的两个1.时空坐标间的变换关系作为一条公设，我们认为时间的，因此时空对于任意的时空坐标(x，y，z，t)、(x'，S以平行于x轴的速度v作,z'=z。
在S系中在S'系中观察该点，x'=-v t'，x'+v t'。
在任意的：x=k（x'+v t'），k是—比例常数。
同样地可得到：x'=k'（x-v t）=k'（x+(-v)t）根据相对性原理，惯性系S系和S'系等价，上面两个等式的形式就应该相同（除正、负号），所以k=k'。
2.由光速不变原理可求出常数k????设光信号在S系和S'系的原点重合的瞬时从重合点沿x轴前进，那么在任一瞬时t（或t'），光信号到达点在S系和S'系中的坐标分别是：x=c t,x'=c t'，则：由此得到()22211cvvcck-=-=。
这样，就得到()21c v vt x x --='，()21c v t v x x -'+'=。
由上面二式，消去x '得到()221c v c vx t t --='；若消去x 得到()221c v c x v t t -'+'=，综合以上结果，就得到洛仑兹变换，或洛仑兹反变换可见洛仑兹变换是两条基本原理的直接结果。
洛伦兹变换的详细推导
第三节洛伦兹变换式教学内容：1.洛伦兹变换式的推导；2.狭义相对论的时空观：同时性的相对性、长度的收缩和时间的延缓；重点难点：狭义相对论时空观的主要结论。
基本要求：1.了解洛伦兹坐标变换和速度变换的推导；2.了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间延缓概念；3.理解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及两者的差异。
三、洛伦兹坐标变换的推导1.时空坐标间的变换关系x=0；在S'系中观察该点，x'=-v t'，即x'+v t'=0。
因此x=x'+v t'。
在任意的一个空间点上，可以设：x=k（x'+v t'），k是—比例常数。
同样地可得到：x'=k'（x-v t）=k'（x+(-v)t）根据相对性原理，惯性系S系和S'系等价，上面两个等式的形式就应该相同（除正、负号），所以k=k'。
2.由光速不变原理可求出常数k设光信号在S系和S'系的原点重合的瞬时从重合点沿x轴前进，那么在任一瞬时t（或t'），光信号到达点在S系和S'系中的坐标分别是：x=c t,x'=c t'，则：由此得到()22211c v vc c k -=-=。
这样，就得到()21c v vt x x --='，()21c v t v x x -'+'=。
由上面二式，消去x '因此得相对论的速度变换公式： 21c vu v u u x x x --='、()2211c vu c v u u x y y --='、()2211c vu c v u u x z z --='其逆变换为：21c u v v u u x x x '++'=、()2211c u v c v u u x y y '+-'=、()2211c u v c v u u x z z '+-'=。
物理学中的洛伦兹变换
物理学中的洛伦兹变换洛伦兹变换是物理学中的重要概念之一，它描述了时间和空间的相对性及其在相对论中的应用。
本文将详细介绍洛伦兹变换的基本原理、公式推导以及实际应用。
一、洛伦兹变换的基本原理洛伦兹变换是由荷兰物理学家亨德里克·洛伦兹于1904年提出的，它是为了解决经典力学中关于光速不变原理与狭义相对论之间的矛盾而引入的。
洛伦兹变换的基本原理是：物理规律在任何惯性参考系中都应该是相同的。
二、洛伦兹变换公式的推导洛伦兹变换涉及到时间、空间和速度的变换关系，其公式可以通过对时间和空间坐标的变换进行推导得到。
我们以一维空间为例进行推导。
设在一个惯性系S中，事件P的坐标为(x, t)，在另一个以速度v相对于S运动的惯性系S'中，该事件的坐标为(x', t')。
根据洛伦兹变换的原理，我们可以得到如下的关系式：x' = γ(x - vt)t' = γ(t - vx/c^2)其中，γ是洛伦兹因子，定义为γ = 1 / √(1 - v^2/c^2)，v为相对速度，c为光速。
通过推导可以得到洛伦兹变换的逆变换公式：x = γ(x' + vt')t = γ(t' + vx'/c^2)洛伦兹变换的公式推导可以进一步推广到三维空间的情况，但这里为了简化描述，仅以一维空间为例。
三、洛伦兹变换的实际应用洛伦兹变换在相对论物理学中有着广泛的应用。
其中最重要的应用之一是描述时间和空间的相对性，特别是在高速物体运动和光的传播中。
在高速物体运动中，洛伦兹变换可以用来描述时间的膨胀效应和长度的收缩效应。
根据洛伦兹变换的公式，当物体接近光速时，时间伸缩和长度收缩都会发生，使得物理现象在高速运动时与低速运动时有所差异。
另外，洛伦兹变换也被广泛应用于描述光的传播。
根据洛伦兹变换的公式，光速是不变的，在不同惯性系中光的传播速度始终保持不变。
这一观点是狭义相对论的核心内容之一，同时也为后续爱因斯坦相对论的发展奠定了基础。
洛伦兹速度变换公式
洛伦兹速度变换公式洛伦兹速度变换公式是相对论中的一项重要公式，描述了在相对论框架下两个参考系之间速度的转换关系。
这个公式的提出，使得我们能够更好地理解和描述高速物体的运动，为相对论提供了坚实的数学基础。
在相对论中，由于光速是一个不变量，不同参考系下的时间和空间的测量结果会发生变化。
而洛伦兹速度变换公式就是用来描述这种变换关系的数学表达式。
洛伦兹速度变换公式的表达形式如下：v' = (v - u) / (1 - uv/c^2)其中，v'是相对于参考系S'的物体的速度，v是相对于参考系S的物体的速度，u是两个参考系之间的相对速度，c是光速。
这个公式告诉我们，当一个物体以速度v在参考系S中运动，而参考系S'以速度u相对于S运动时，物体在参考系S'中的速度v'可以通过洛伦兹速度变换公式来计算。
需要注意的是，洛伦兹速度变换公式只适用于相对论范畴内的速度转换，即当物体的速度接近光速时才需要使用这个公式。
对于低速情况下的速度转换，可以使用经典的加法和减法来计算。
洛伦兹速度变换公式的提出，不仅为我们理解相对论提供了数学工具，也为实际应用提供了指导。
例如，在高速相对论实验中，我们需要考虑光速不变的特性，使用洛伦兹速度变换公式来计算实验结果。
除了洛伦兹速度变换公式，洛伦兹变换还包括时间变换公式和空间变换公式。
这些公式一起构成了洛伦兹变换的完整描述，帮助我们更好地理解相对论中的时空结构和运动规律。
总结起来，洛伦兹速度变换公式是相对论中的一项重要公式，用于描述不同参考系之间速度的转换关系。
它的提出为我们理解相对论提供了数学工具，也为实际应用提供了指导。
通过深入研究和理解洛伦兹速度变换公式，我们可以更好地理解高速物体的运动规律，推动科学的发展和进步。
5-3洛伦兹速度变换公式
相对论速度变换式
考虑一质点 P 在空间的运动，从 S 和 S′系来 看，速度分别是：
v v , v , v
x y z
v v , v , v
x y z
根据速度的定义：
dx dy dz ,v ,v v dt dt dt dx dy dz , v , v v dt dt dt
洛仑兹变换
已知
vA u v A u 由洛伦兹速度变换公式 1 2 vA c
A
u v c v c
B
v c c ( c ) v c vu ( c )c 1 1 c c
A A A 2 2
洛仑兹变换
解：（3） A与B同向而行
y
S A S’
y
v u x vx u 1 2 v x c 2 v y u vy 1 2 u c 1 2 v x c 2 v u z vz 1 2 u c 1 2 v x c
逆变换
洛仑兹变换
说 明
a. 在
v c 的情况，上式即变为伽利略速度变换式。
v v u v v v v
u v c v c
B
B
x （x ）
洛仑兹变换
已知
vA u v A 由洛伦兹速度变换公式 u 1 2 vA c v c cv cv v lim vu v v 1 1 1 c c c 1 lim c 1 c 上述结果是光速不变原理的必然结果
A
A A v c A 2 v c
dy dy dt dt dt dt dt u1 c2来自dyvx2
由上两式得
同样得
2 vy u v 1 2 y u c 1 2 vx c 2 vz u v 1 2 z u c 1 2 vx c
应用洛伦兹变换公式推导任意三个惯性参考系相对速度之间的关系
应用洛伦兹变换公式推导任意三个惯性参考系相对速度之间的关系由洛伦兹变换公式222211c v vt s s --=，2222211cv c vs t t --=，将等式左右两边分别相除，可得到洛伦兹速度变换公式即222122222111cv v v v v c vs t vt s t s --=⇒--=假设有一惯性参考系1k 相对于另一惯性参考系2k 的速度为v ,而当我们在惯性参考系1k 与2k 中观测某一匀速运动的物体时，根据洛伦兹速度变换公式则有22211c vv v v v --=, 其中1v 、2v 为观测到的其对应的速度，那么由洛伦兹速度变换公式222221vv c vc c v v --=212212)()(c v v v v v c -=-⇒212212)(v v c c v v v --=⇒ 。
当我们在某一任意惯性参考系3k 中可观测到物体以3v 匀速运动，并设3k 相对于1k 系的速度为31v 、3k 相对于2k 系的速度为32v ，而设1k 系相对于2k 系的速度为12v ,根据洛伦兹速度变换公式有222332231cv v v v v --=,而同样有221212211cv v v --=成立,再由速度求相对速度即31v =312231)(v v c c v v --,将1v 与3v 代入到方程中则有322223222122212222322223222122212231)()(])()([v v c c v v v v c c v v c c v v c c v v v v c c v v v --⋅--------=⇒3222322212122232223222*********v v c v v c c v v c v v v v c v v v -⋅-------=⇒23221222322221223222122322212231))(())(())(())((c v v v v c v v c v v c v v v v c v v c v v v ⋅----------= ⇒23212221223222222321222212232224321221222322223112221232222231c v v c v v c v v c v c v v v v v c v v c c v v v v v v c c v v v v c v v v c v v ⋅-++-+---++-+--=⇒23212222232122242123222122232231c v v c v c v v v c c v v v v v v c v ⋅--+--+= 232122222222122223222231)()()()(c v v v c c v c v v c v v c v ⋅------=⇒ 232121232311cv v v v v --=⇒以上是三个任意惯性参考系的相对速度之间的关系式,当光相对于一个参考系的速度为c ，不妨设上式中的32v 为c,那么将32v 为c 代入上式可以得到c c v c v c v cc v v c v =⋅--=⇒⋅--=12123121212311 且不论12v 为何值恒有31v 为c ，光速不变原理在此得到了很好的反馈。
洛伦兹变换详细推导
第三节 洛伦兹变换式教案内容：1. 洛伦兹变换式的推导；2. 狭义相对论的时空观：同时性的相对性、长度的收缩和时间的延缓； 重点难点：狭义相对论时空观的主要结论。
基本要求：1. 了解洛伦兹坐标变换和速度变换的推导；2. 了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间延缓概念；3. 理解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及两者的差异。
三、洛伦兹坐标变换的推导()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧--='='='--='22211c v c vx t t z z y y c v vt x x 或 ()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-'+'='='=-'+'=22211c v c x v t t z z y y c v t v x x据狭义相对论的两个基本假设来推导洛仑兹变换式。
1. 时空坐标间的变换关系作为一条公设，我们认为时间和空间都是均匀的，因此时空坐标间的变换必须是线性的。
对于任意事件P 在S 系和S '系中的时空坐标(x ，y ，z ，t )、(x '，y '，z '，t ')，因S ' 相对于S 以平行于 x 轴的速度v 作匀速运动，显然有y '=y , z '=z 。
在S 系中观察S 系的原点，x =0；在S '系中观察该点，x '=-v t '，即x '+v t '=0。
因此x =x '+v t '。
在任意的一个空间点上，可以设：x =k （x '+v t '），k 是—比例常数。
同样地可得到：x '=k '（x -v t ）= k '（x +(-v )t ）根据相对性原理，惯性系S 系和S '系等价，上面两个等式的形式就应该相同（除正、负号），所以k =k '。
4洛仑兹变换与相对论速度
√
系沿ox正方向运动时 正方向运动时大于 系沿ox负方向 （D）当K′系沿 正方向运动时大于45o，当K′系沿 负方向 运动时小于 运动时小于45o 。 解
K K' y y' u
x=
lx ∠ lx′
x'-ut 1 - (u/c)
2
y = y′
ly = ly′
ly tgθ = > 45 lx
ut
45o
x
x'
dengyonghe1@
例2 观察者甲和乙分别静止于两个惯性系 k和 k′(k′系相对于 系 和 ′ ′系相对于k系 作平行于x轴的匀速运动 中 作平行于 轴的匀速运动)中。甲测得在 x轴上两点发生的两 轴的匀速运动 轴上两点发生的两 个事件的空间间隔和时间间隔分别为500m和2×10－7s， 系相对于k系的运 而乙测得这两个事件是同时发生的。 而乙测得这两个事件是同时发生的。求k′系相对于 系的运 动速度。 动速度。 解 设k′系相对于 系的运动速度为v，则据洛仑兹变换公式可 ′系相对于k系的运动速度为 2 2 得： t − ux c t − ux c
dengyonghe1@
长度收缩
x =
' 1
x1 − ut 1 1 - (u c )
2
x
' 2
=
x 2 − ut
2 2
1 - (u c )
∆x = x − x =
' ' 2 ' 1
(x2 − x1) −u(t2 −t1) 1− (u / c)
2
∵ t 2 = t1
同时发生，为相对长度Δx 同时发生，为相对长度Δx
x′ = γ (x − βct) y′ = y S→S'正变换 → 正变换 z′ = z β t′ = γ (t − x) c
物体速度越快质量会越大吗
物体的速度越大质量会变得越大？设定坐标系),,,(t z y x K 和),,,('''''t z y x K ，其中'K 系沿着x 轴以速度u 相对于K 系运动，由洛伦兹变换有：222''1cu c ux t t -+=（1）速度叠加公式为：2'1cuv uv v --=（2）我们要研究物体的质量随物体的速度变化的关系，为了简化问题，考虑质量为m 的物体在K 系沿x 轴运动，速度为v ，且满足： u v ≡（3） 将（3）式代入（2）式得：0'=v（4）即物体在'K 系中是恒静止的，此时测得的物体的质量0m 即为物体的静质量。
可以证明在上述的参考系中力的变换关系为：'x x F F =（5）又因为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====''0''')()(dt v m d dt dp F dt m v d dt dp F x x （6）由（5）（6）式可得：''0)(dt dt dv m mv d =（7）由于物体在'K 系中是静止的，故0'=dx ，此时有：22'1c u dt dt -=（8）对（2）式微分得：()dv c uv c u c uv dv c u u v dv c uv c uv u v d dv 222222222'11111⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--= （9）将（3）（8）（9）式代入（7）式得：3221)(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=c u dv m m v d （10）注意到u v ≡得：3221)(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=c u du m m u d （11）将（11）式两边积分得：2201c u u m m u -=（12）即：2201c u m m -=（13）其中0m 是静质量，m 是动质量，由（13）式可知，运动状态的物体质量比静止状态下的质量变大了。
洛伦兹变换求速度
洛伦兹变换求速度引言洛伦兹变换是由荷兰数学家洛伦兹提出的一种用于描述两个参考系之间的坐标变换关系的数学方法。
在相对论中，物体的运动速度并不是简单地相对于一个固定的参考系而言的，因此需要使用洛伦兹变换来描述不同参考系之间的速度关系。
洛伦兹变换公式设有两个参考系S和S’，以S为标准参考系，S’相对S以速度v沿x轴正方向运动。
物体在S系中以速度u运动，则在S’系中的速度v’与u之间的关系可以用以下公式表示：v’ = (u - v) / (1 - uv/c^2)其中，c为光速的大小，常数值为299,792,458 m/s。
求解过程假设一个物体在S系中以速度u = 0.6c（c为光速）右向运动，在S’系中以速度v’ = 0.4c 左向运动。
我们需要求出在S系中观察到的速度v。
根据洛伦兹变换公式，代入已知数据，得到：0.4c = (0.6c - v) / (1 - 0.6c * 0.4c)化简上式得：0.4c = (0.6c - v) / (1 - 0.24c^2)0.4(1 - 0.24c^2) = 0.6c - v0.4 - 0.096c^2 = 0.6c - vv = 0.6c - 0.4 + 0.096c^2v = 0.2c + 0.096c^2因此，在S系中观察到的速度v为0.2c + 0.096c^2。
结论通过洛伦兹变换公式，我们成功求解了在给定条件下S系中观察到的速度v。
洛伦兹变换在相对论理论中扮演着重要的角色，帮助我们理解不同参考系之间的速度关系，进一步深化了我们对物理学的认识。
参考•《相对论》, 特里斯特拉姆（Tristram, P.）•《洛伦兹变换及其在物理学中的应用》, 斯密斯（Smith, J.）。
知识点4：相对论速度变换
第8章 相对论
小结； 速度分量的定义：
S系
= vx
dd= xt , vy
dd= yt , vz
dz dt
S’系
= vx '
ddx= t '' , vy '
dd= yt '' , vz
dz ' dt '
洛伦兹速度变换公式
= v′x
d=x′ dt′
vx − 1− uvx
u / c2
,
= v′y
d=y′ dt′
vy 1− u2 1− uvx /
/ c2 c2
,
= v′z
d=z′ dt′
vz 1− u2 / c2 1− uvx / c2
第8章 相对论
u /c
2
=c
,此正是光速不变原理。
（4）当v< c时,必有 v′ < c .可见,不可能通过速度变换得到 大于c的速度,即c是物体运动的极限速度.
第8章 相对论
例题8-2 一火箭以0.8c的速度飞离地球,从火箭后部以0.9c的速度向
前部发射一束电子.求地球上观测电子走过的距离和时间.设箭长
90m,并求电子相对地球的速率.
即电子走过的距离为x=850/3(m)>90m,经历的时间为t=860/3c>100/c,
速度为
v = x = 850 / 3 = 0.988c t 860 / 3c
也可以按速度变换公式得到
v
=
1
v′ + + v′u
u /c
2
= 0.9c + 0.8c 1+ 0.9× 0.8
=