江苏省连云港市重点中学2025届高考数学全真模拟密押卷含解析

江苏省连云港市重点中学2025届高考数学全真模拟密押卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知等差数列{}n a 中，468a a +=则34567a a a a a ++++=（ ） A ．10
B ．16
C ．20
D ．24
2．已知i 为虚数单位，复数()()12z i i =++，则其共轭复数z =（ ） A ．13i +
B ．13i -
C ．13i -+
D ．13i --
3．设复数z 满足2z iz i -=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
4．设i 为数单位，z 为z 的共轭复数，若1
3z i
=
+，则z z ⋅=（ ） A ．
110
B ．
110
i C ．
1100
D ．
1100
i 5．甲、乙、丙三人相约晚上在某地会面，已知这三人都不会违约且无两人同时到达，则甲第一个到、丙第三个到的概率是（ ） A ．
13
B ．
14
C ．
15
D ．
16
6．已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（ ） A ．,5()4k k π⎛⎫
-∈
⎪⎝⎭
Z B ．,5()48k k ππ⎛⎫
+-∈
⎪⎝⎭
Z C ．,4()5k k π⎛⎫
-∈ ⎪⎝⎭Z D ．,4()510k k ππ⎛⎫
+-∈
⎪⎝⎭
Z 7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．48122+
B ．60122+
C ．72122+
D ．84
8．中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A 、B 、C 、
D 、
E 为顶点的多边形为正五边形，且512PT AP -=
，则51
2
AT ES --=（ ）
A ．
51
2
QR + B ．
51
2
RQ + C ．
51
2
RD - D ．
51
2
RC - 9．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为
A ．
B ．
C ．
D ．
10．定义在R 上的函数()f x 满足(4)1f =，()f x '
为()f x 的导函数，已知()y f x '=的图象如图所示，若两个正数,a b
满足(2)1f a b +<，1
1
b a ++则
的取值范围是（ ）
A ．(11,53
)
B ．1(,)(5,)3-∞⋃+∞
C ．(1,53
)
D ．(,3)-∞
11．在260
202
x y x y x y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+≥⎩
条件下，目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为40，则51a b +的最小值是（ ）
A ．
74
B ．
94
C ．
52
D ．2
12．在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠所对的边，若函数()()
3
22213
f x x bx a c ac x =
+++- 1+有极值点，则B 的范围是（ ）
A ．0,
3π⎛⎫
⎪⎝⎭ B ．0,
3π⎛
⎤
⎥⎝
⎦
C ．,3ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
D ．,3π⎛⎫π
⎪⎝⎭
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，且90PAB ∠=︒.若四棱锥P-ABCD 的五个顶点在以4为半径的同一球面上，当PA 最长时，则PDA ∠=______________；四棱锥P-ABCD 的体积为______________. 14．已知抛物线2
:8C y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 相切于M 点，N 是l 上一点(不与M 重合)，若以线段MN 为直径的圆恰好经过F ，则点N 到抛物线顶点O 的距离ON 的最小值是__________.
15．某学习小组有4名男生和3名女生.若从中随机选出2名同学代表该小组参加知识竞赛，则选出的2名同学中恰好1名男生1名女生的概率为___________．
16．将2个相同的红球和2个相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四个盒子里，其中甲、乙盒子均最多可放入2个球，丙、丁盒子均最多可放入1个球，且不同颜色的球不能放入同一个盒子里，共有________种不同的放法. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急．为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品A 的研发费用x （百万元）和销量y （万盒）的统计数据如下：
（1）求y 与x 的相关系数r 精确到0.01，并判断y 与x 的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：0.75r ≥时，可用线性回归方程模型拟合）；
（2）该药企准备生产药品A 的三类不同的剂型1A ，2A ，3A ，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为
12，45，3
5
，第二次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为
45，12，2
3
．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后1A ，
2A ，3A 三类剂型合格的种类数为X ，求X 的数学期望．
附：（1）相关系数n
i i
x y nx y
r -=
∑
（2）
8
1
347i i
i x y
==∑，8
2
1
1308i i x ==∑，8
21
93i i y ==∑
18．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y ϕ
ϕ=+⎧⎨
=⎩
（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭
（1）求曲线C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程； （2）若射线02πθαα⎛⎫
=<<
⎪⎝
⎭
与曲线C 交于点A （不同于极点O ）
，与直线l 交于点B ，求||
||
OA OB 的最大值. 19．（12分）眼保健操是一种眼睛的保健体操，主要是通过按摩眼部穴位，调整眼及头部的血液循环，调节肌肉，改善眼的疲劳，达到预防近视等眼部疾病的目的.某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果，在应届高三的全体800名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查，并得到如图的频率分布直方图. （1）若直方图中后三组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以上的人数；
（2）为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系，对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了调查，得到下表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系？
（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取8人，进一步调查他们良好的护眼习惯，在这8人中任取2人，记坚持做眼保健操的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望.
附：()
()()()()2
2n ad bc K a b c d a c b d -=
++++ 2K k ≥ 0.10
0.05 0.025 0.010 0.005
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
20．（12分）在数列{}n a 和等比数列{}n b 中，10a =，32a =，()1
*
2n a n b n N +=∈.
（1）求数列{}n b 及{}n a 的通项公式； （2）若1
2
n n n c a b =
，求数列{}n c 的前n 项和n S . 21．（12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 与侧面11CBB C 都是菱形，
11160ACC CC B ∠=∠=︒，2AC =．
（Ⅰ）求证：11AB CC ⊥；
（Ⅱ）若16AB =1CAB 与平面11A AB 所成的锐二面角的余弦值．
22．（10分）已知椭圆22:12x C y +=，点()00,P x y 为半圆()22
30x y y =≥+上一动点，若过P 作椭圆C 的两切线分
别交x 轴于M 、N 两点. （1）求证：PM PN ⊥；
（2）当011,2
x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣
⎦
时，求MN 的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C 【解析】
根据等差数列性质得到46582a a a +==，再计算得到答案. 【详解】
已知等差数列{}n a 中，4655824a a a a +==⇒=
345675520a a a a a a ++++==
故答案选C 【点睛】
本题考查了等差数列的性质，是数列的常考题型. 2、B 【解析】
先根据复数的乘法计算出z ，然后再根据共轭复数的概念直接写出z 即可. 【详解】
由()()1213z i i i =++=+，所以其共轭复数13z i =-. 故选：B. 【点睛】
本题考查复数的乘法运算以及共轭复数的概念，难度较易. 3、A 【解析】
由复数的除法运算可整理得到z ，由此得到对应的点的坐标，从而确定所处象限. 【详解】
由2z iz i -=+得：()()()()2121313
111222i i i i z i i i i ++++=
===+--+， z ∴对应的点的坐标为13,22⎛⎫
⎪⎝⎭
，位于第一象限.
故选：A . 【点睛】
本题考查复数对应的点所在象限的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题. 4、A 【解析】
由复数的除法求出z ，然后计算z z ⋅． 【详解】
13313(3)(3)1010
i z i i i i -=
==-++-， ∴223131311()()()()10101010101010
z z i i ⋅=-+=+=． 故选：A. 【点睛】
本题考查复数的乘除法运算，考查共轭复数的概念，掌握复数的运算法则是解题关键． 5、D 【解析】
先判断是一个古典概型，列举出甲、乙、丙三人相约到达的基本事件种数，再得到甲第一个到、丙第三个到的基本事件的种数，利用古典概型的概率公式求解. 【详解】
甲、乙、丙三人相约到达的基本事件有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6种， 其中甲第一个到、丙第三个到有甲乙丙，共1种， 所以甲第一个到、丙第三个到的概率是1
6
p =. 故选：D 【点睛】
本题主要考查古典概型的概率求法，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 6、B 【解析】
由值域为[5,3]-确定,a b 的值，得()5cos4g x x =--，利用对称中心列方程求解即可 【详解】
因为()[,2]f x b a b ∈+，又依题意知()f x 的值域为[5,3]-，所以23a b += 得4a =，5b =-，
所以()5cos4g x x =--，令4()2
x k k π
π=+
∈Z ，得()48
k x k ππ
=
+∈Z ，则()g x 的图象的对称中心为,5()48k k ππ⎛⎫
+-∈
⎪⎝⎭
Z . 故选：B 【点睛】
本题考查三角函数 的图像及性质，考查函数的对称中心，重点考查值域的求解，易错点是对称中心纵坐标错写为0 7、B 【解析】
画出几何体的直观图，计算表面积得到答案. 【详解】
该几何体的直观图如图所示： 故()242262624662
2641222
S +⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+.
故选：B .
【点睛】
本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 8、A 【解析】
利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题． 【详解】
解：5151
22
AT ES SD SR RD QR -+-=-==. 故选：A 【点睛】
本题以正五角星为载体，考查平面向量的概念及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题． 9、B 【解析】 考点：程序框图．
分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求S 的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案． 解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： S i 是否继续循环 循环前 1 1/ 第一圈3 2 是 第二圈7 3 是 第三圈15 4 是 第四圈31 5 否 故最后当i ＜5时退出， 故选B ． 10、C 【解析】
先从函数单调性判断2a b +的取值范围，再通过题中所给的,a b 是正数这一条件和常用不等式方法来确定1
1
b a ++的取值范围. 【详解】
由()y f x '
=的图象知函数()f x 在区间()0,∞+单调递增，而20a b +>，故由()(2)14f a b f +<=可知24a b +<.
故14217
25111b a a a a +-+<=-+<+++， 又有1171
2133322
b b b b a ++>=-+>
+--，综上得11b a ++的取值范围是(1,53). 故选：C
【点睛】
本题考查了函数单调性和不等式的基础知识，属于中档题. 11、B 【解析】
画出可行域和目标函数，根据平移得到最值点，再利用均值不等式得到答案. 【详解】
如图所示，画出可行域和目标函数，根据图像知：
当8,10x y ==时，810z a b =+有最大值为40，即81040z a b =+=，故4520a b +=.
()()
5115112541945252521002020204
b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当
254b a a b =，即104
,33
a b ==时等号成立. 故选：B .
【点睛】
本题考查了线性规划中根据最值求参数，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力. 12、D 【解析】
试题分析：由已知可得()()
2
2
2
'20f x x bx a c ac =+++-=有两个不等实根
(
)
2222
22
222
1440cos 22
a c
b b a
c ac a c b ac B B ac +-⇒∆=-+->⇒+-<⇒=<⇒∈,3π⎛⎫π ⎪⎝⎭.
考点：1、余弦定理；2、函数的极值.
【方法点晴】本题考查余弦定理，函数的极值，涉及函数与方程思想思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先利用转化化归思想将原命题转化为
()()
222'20f x x bx a c ac =+++-=有两个不等实根，从而可得
(
)
2222
22
222
1
440cos 22
a c
b b a
c ac a c b ac B B ac +-∆=-+->⇒+-<⇒=<⇒∈,3π⎛⎫π ⎪⎝⎭.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、90° 3
【解析】
易得AB ⊥平面PAD ，P 点在与BA 垂直的圆面1O 内运动，显然，PA 是圆1O 的直径时，PA 最长；将四棱锥P ABCD -补形为长方体111A B C P ABCD -，易得PB 为球的直径即可得到PD ，从而求得四棱锥的体积. 【详解】
如图，由90PAB ∠=及AB AD ⊥，得AB ⊥平面PAD ， 即P 点在与BA 垂直的圆面1O 内运动，
易知，当P 、1O 、A 三点共线时，PA 达到最长， 此时，PA 是圆1O 的直径，则90PDA ∠=； 又AB PD ⊥，所以PD ⊥平面ABCD ，
此时可将四棱锥P ABCD -补形为长方体111A B C P ABCD -， 其体对角线为28PB R ==，底面边长为2的正方形，
易求出，高PD =
故四棱锥体积1433
V =
⨯⨯=
.
故答案为： (1) 90° ； (2) 814
3
. 【点睛】
本题四棱锥外接球有关的问题，考查学生空间想象与逻辑推理能力，是一道有难度的压轴填空题. 14、2 【解析】
根据抛物线2
:8C y x =，不妨设(
2M
m m ，取 22=y x 2
l k m
=
，
()2
:22l y m x m m
-=
-，再根据以线段MN 为直径的圆恰好经过F ，则MF NF ⊥ ，得到
()2:222NF m l y x m
=
-，两式联立，求得点N 的轨迹，再求解最值.
【详解】
因为抛物线2
:8C y x =，不妨设(2M
m m ，取 2
2=y x
所以2
y x
'=
2
l k m
=
所以
()2
:22l y m x m m
-=
-，
因为以线段MN 为直径的圆恰好经过F ， 所以MF NF ⊥ ， 所以1
222NF MF
m k k m
=-
=
，
所以():222NF l y x m
=
-，
由
))2y x m y x ⎧-=
-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，解得2x =-，
所以点N 在直线 2x =-上，
所以当()2,0N -时， ON 最小，最小值为2. 故答案为：2 【点睛】
本题主要考查直线与抛物线的位置关系直线的交轨问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 15、
47
【解析】
从7人中选出2人则总数有27C ，符合条件数有11
43C C ⋅，后者除以前者即得结果 【详解】
从7人中随机选出2人的总数有2
721C =，则记选出的2名同学中恰好1名男生1名女生的概率为事件A ，
∴114327124
()217
C C P A C ⋅=
== 故答案为：47
【点睛】
组合数与概率的基本运用，熟悉组合数公式 16、20 【解析】
讨论装球盒子的个数，计算得到答案. 【详解】
当四个盒子有球时：246C =种；
当三个盒子有球时：111
2222212C C C +=种；
当两个盒子有球时：2
22A =种.
故共有20种，
故答案为：20. 【点睛】
本题考查了排列组合的综合应用，意在考查学生的理解能力和应用能力.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）0.98;可用线性回归模型拟合．（2）6
5
【解析】
（1）根据题目提供的数据求出,x y ，代入相关系数公式求出r ，根据r 的大小来确定结果；
（2）求出药品A 的每类剂型经过两次检测后合格的概率，发现它们相同，那么经过两次检测后1A ，2A ，3A 三类剂型合格的种类数为X ，X 服从二项分布235X B ⎛⎫
⎪⎝⎭
,，利用二项分布的期望公式求解即可. 【详解】
解：（1）由题意可知2361021131518
118
x +++++++=
=，
112 2.56 3.5 3.5 4.5
38
y +++++++=
=，
由公式0.98
r =
=≈，
0.980.75r ≈>，∴y 与x 的关系可用线性回归模型拟合；
（2）药品A 的每类剂型经过两次检测后合格的概率分别为
1142255A P =⨯=，2412525A P =⨯=，3322
535
A P =⨯=，
由题意，235X
B ⎛⎫
⎪⎝⎭
, ， ()26
355
E X ∴=⨯=.
【点睛】
本题考查相关系数r 的求解，考查二项分布的期望，是中档题.
18、（1）1C ：2cos ρθ=，直线l ：4x y +=；（2．
【解析】
（1）由消参法把参数方程化为普通方程，再由公式cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨=⎩
进行直角坐标方程与极坐标方程的互化；
（2）由极径的定义可直接把θα=代入曲线C 和直线l 的极坐标方程，求出极径12,ρρ，把比值OA OB
化为α的三角函
数，从而可得最大值、 【详解】
（1）消去参数ϕ可得曲线C 的普通方程是2
2
(1)1x y -+=，即2
2
20x y x +-=，代入cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨
=⎩得2
2cos ρρθ=，
即2cos ρθ=，∴曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=；
由sin()4
ρθπ+=，化为直角坐标方程为4x y +=．
（2）设12(,),(,)B ραρα，则12cos ρα=
，
2sin()
4
ρα=
+
12cos sin()OA OB π
ααρρ+==2
sin cos cos 111sin 2cos 22444ααααα+=+
+1)444πα=++，
当8πα=时，OA OB
取得最大值为14
+．
【点睛】
本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，掌握公式cos sin x y ρθ
ρθ
=⎧⎨=⎩可轻松自如进
行极坐标方程与直角坐标方程的互化．
19、（1）144（2）能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系（3）详见解析 【解析】
（1）由题意可计算后三组的频数的总数，由其成等差数列可得后三组频数，可得视力在5.0以上的频率，可得全年级视力在5.0以上的的人数；
（2）由题中数据计算2k 的值，对照临界值表可得答案；
（3）由题意可计算出这8人中不做眼保健操和坚持做眼保健操的分别有2人和6人，可得 X 可取0，1，2，分别计算出其概率，列出分布列，可得其数学期望. 【详解】
解：（1）由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人，因为后三组的频数成等差数列，共有()100372763-++=（人）
所以后三组频数依次为24，21，18， 所以视力在5.0以上的频率为0.18，
故全年级视力在5.0以上的的人数约为8000.18144⨯=人
（2）()2
210044183261507.8957.8795050762419
⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯k ，
因此能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系. （3）调查的100名学生中不近视的共有24人，从中抽取8人，抽样比为81
243
=，这8人中不做眼保健操和坚持做眼保健操的分别有2人和6人， X 可取0，1，2，
()()()0211206262622
22g 881
123150,1,22828728
⋅==========C C C C C C P X P X P X C C C ， X 的分布列
X 的数学期望()11215
012 1.5282828
=⨯+⨯+⨯=E X . 【点睛】
本题主要考查频率分布直方图，独立性检测及离散型随机变量的期望与方差等相关知识，考查学生分析数据与处理数据的能力，属于中档题.
20、（1）1n a n =-，2n
n b =（2）2(2)2n n S n =+-⨯
【解析】
(1)根据10a =与32a =可求得12b =,3
328b ==再根据等比数列的基本量求解即可. (2)由(1)可得1
(1)2n n c n -=-⨯,再利用错位相减求和即可.
【详解】 解：
（1）依题意12b =,3
328b ==,
设数列{}n b 的公比为q ,由1
2
0n a n b +=>,可知0q >,
由223128b b q q =⋅=⨯=,得2
4q =,又0q >,则2q ,
故111222n n n
n b b q --==⨯=,
又由122n a n +=,得1n a n =-.
（2）依题意1
(1)2n n c n -=-⨯.
01221021222(2)2(1)2n n n S n n --=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯,①
则12312021222(2)2(1)2n n
n S n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯,②
①-②得121
22222
(1)2(1)212
n
n n
n n S n n ---=+++--⨯=--⨯-…,
即2(2)2n n S n -=-+-⨯,故2(2)2n
n S n =+-⨯.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的基本量求解以及错位相减求和等.属于中档题.
21、（Ⅰ）见解析； 【解析】
试题分析：（1）取1CC 中点O ，连OA ，1OB ，由等边三角形三边合一可知1CC OA ⊥，1CC OB ⊥，即证．（2）以1OB ，
1OC ，OA 为正方向建立空间直角坐标系，由向量法可求得平面1CAB 与平面11A AB 所成的锐二面角的余弦值．
试题解析：（Ⅰ）证明：连1AC ，1CB ，则1ACC 和11B CC 皆为正三角形． 取1CC 中点O ，连OA ，1OB ，则1CC OA ⊥，1CC OB ⊥， 则1CC ⊥平面1OAB ，则11CC AB ⊥
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1OA OB ==1AB =1OA OB ⊥． 如图所示，分别以1OB ，1OC ，OA 为正方向建立空间直角坐标系，
则()0,1,0C -，)
1
3,0,0B ，(3A ，
设平面1CAB 的法向量为()111,,m x y z =， 因为(
13,0,3AB =
-，(0,1,3AC =--，
所以1111113030,
030,
x y z x y z +⨯=⨯-=⎪⎩ 取()
1,3,1m =- 面11AA B 的法向量取()1,0,1n =， 则210
cos ,·52
m n m n m n ⋅=
==⨯，
平面1CAB 与平面11A AB 10
． 22、（1）见解析；（2）23,26⎡⎣.
【解析】
（1）分两种情况讨论：①两切线PM 、PN 中有一条切线斜率不存在时，求出两切线的方程，验证结论成立；②两切线PM 、PN 的斜率都存在，可设切线的方程为()00y y k x x -=-，将该直线的方程与椭圆的方程联立，由0∆=可得出关于k 的二次方程，利用韦达定理得出两切线的斜率之积为1-，进而可得出结论； （2）求出点M 、N 的坐标，利用两点间的距离公式结合韦达定理得出()()2
20
2
2
432x x MN x --=
-[]20
21,2t x =-∈，可得出2
1312248
MN t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，利用二次函数的基本性质可求得MN 的取值范围. 【详解】
（1）由于点P 在半圆()22
30x y y =≥+上，则22
003x y +=.
①当两切线PM 、PN 中有一条切线斜率不存在时，可求得两切线方程为2x =，1y =或2x =1y =，此时
PM PN ⊥；
②当两切线PM 、PN 的斜率都存在时，设切线的方程为()00y y k x x -=-（PM 、PN 的斜率分别为1k 、2k ），
()
()()20022
000022
12422022
y kx kx y k x k y kx x y kx x y =-+⎧⇒++-+--=⎨+=⎩()()()22
22000016412220k y kx k y kx ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦
，
(
)
(
)
22
20
000
2210x k x y k y ∴--+-=，22
00
12220012122
y x k k x x --∴⋅===---，PM PN ∴⊥.
综上所述，PM PN ⊥； （2）根据题意得001,0y M x k ⎛⎫-
⎪⎝⎭、002,0y N x k ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭，
001201212
y y k
MN y y k k k k k -=-=⋅=
=
令[]20
21,2t x =-∈
，则
MN =
=
所以，当1
1t =时，max MN =11
2
t =
时，min MN
=因此，MN
的取值范围是⎡⎣.
【点睛】
本题考查椭圆两切线垂直的证明，同时也考查了弦长的取值范围的计算，考查计算能力，属于中等题.。