2021年九年级下第一次月考数学试卷含答案解析

九年级（下）第一次月考数学试卷
一．选择题（每题3分，共36分）
1．（3分）反比例函数y=的图象位于平面直角坐标系的（）
A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、二象限D．第三、四象限2．（3分）如图，将两个形状和大小都相同的杯子叠放在一起，则该实物图的主视图为（）
A． B．C．D．
3．（3分）若点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在反比例函数y=（k＞0）的图象上，且x1=﹣x2，则（）
A．y1＜y2B．y1=y2C．y1＞y2D．y1=﹣y2
4．（3分）sin30°=（）
A．B．C．D．
5．（3分）在正方形网格中，△ABC在网格中的位置如图，则cosB的值为（）
A．B．C．D．2
6．（3分）如图所示，AB是⊙O的直径，D、E是半圆上任意两点，连接AD、DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件中错误的是（）
A．∠ACD=∠DAB B．AD=DE C．AD•AB=CD•BD D．AD2=BD•CD
7．（3分）如图，一次函数y1=k1x+b的图象和反比例函数y2=的图象交于A（1，2），B（﹣2，﹣1）两点，若y1＜y2，则x的取值范围是（）
A．x＜1 B．x＜﹣2 C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1
8．（3分）已知两点A（5，6）、B（7，2），先将线段AB向左平移一个单位，再以原点O为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的得到线段CD，则点A 的对应点C的坐标为（）
A．（2，3） B．（3，1） C．（2，1） D．（3，3）
9．（3分）有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P在正东方向上，则A，B之间的距离是（）海里．
A．10B．10﹣10 C．10 D．10﹣10
10．（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平
分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM=2，则线段ON的长为（）
A． B．C．1 D．
11．（3分）如图，点A的坐标是（2，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限．若反比例函数y=的图象经过点B，则k的值是（）
A． 1 B．2 C．D．
12．（3分）如图，在Rt△AOB中，两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y 轴的正半轴上，将△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A′O′B．若反比例函数
=4，tan∠BAO=2，则k的值为（）的图象恰好经过斜边A′B的中点C，S
△ABO
A．3 B．4 C．6 D．8
二、填空题（每小题4分，共20分）
13．（4分）反比例函数y=﹣，当y≤3时，x的取值范围是．
14．（4分）如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan ∠POH的值为．
15．（4分）如图，▱ABCD中，E是边BC上一点，AE交BD于F，若BE=2，EC=3，则的值为．
16．（4分）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，如图所示，则搭成该几何体的小正方体最多是个．
17．（4分）如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点（不与B，C 重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且cosα=．下列结论：
①△ADE∽△ACD；
②当BD=6时，△ABD与△DCE全等；
③△DCE为直角三角形时，BD为8或；
④0＜CE≤6.4．
其中正确的结论是．（把你认为正确结论的序号都填上）
三．解答题（共7小题，满分64分）
18．（6分）计算：﹣（sin30°）﹣2+（2022﹣tan45°）0．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（2，3）、B（﹣3，n）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若P是y轴上一点，且满足△PAB的面积是5，直接写出OP的长．
20．（8分）如图1是一种包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型．
（1）请说出这个几何体模型的最确切的名称是．
（2）如图2是根据a，h的取值画出的几何体的主视图和俯视图（图中的粗实线表示的正方形（中间一条虚线）和粗实线表示的三角形），请在网格中画出该几何体的左视图．
（3）在（2）的条件下，已知h=20cm，求该几何体的表面积．
21．（10分）如图，等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，使AE=CF，连接AF，BE相交于点P．
（1）求证：AF=BE，并求∠APB的度数；
（2）若AE=2，试求AP•AF的值．
22．（10分）为有效开发海洋资源，保护海洋权益，我国对南海诸岛进行了全面调查．如图，一测量船在A岛测得B岛在北偏西30°方向，C岛在北偏东15°方向，航行100海里到达B岛，在B岛测得C岛在北偏东45°，求B，C两岛及A，C两岛的距离．（结果保留到整数，≈1.41，≈2.45）
23．（10分）如图，以O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点，延长AB 至点D，连接DC，过点A作⊙O的切线交DC的延长线于点E，且∠DCB=∠DAC．（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD=6，tan∠DCB=，求AE的长．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．
（1）求线段CD的长；
（2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是
否存在某一时刻t ，使得S △CPQ ：S △ABC =9：100？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．
（3）当t 为何值时，△CPQ 为等腰三角形？
2021-2021学年山东省德州市夏津九年级（下）第一次月
考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（每题3分，共36分）
1．（3分）反比例函数y=的图象位于平面直角坐标系的（ ）
A ．第一、三象限
B ．第二、四象限
C ．第一、二象限
D ．第三、四象限
【解答】解：∵k=2＞0，
∴反比例函数y=的图象在第一，三象限内，
故选：A ．
2．（3分）如图，将两个形状和大小都相同的杯子叠放在一起，则该实物图的主视图为（ ）
A． B．C．D．
【解答】解：该实物图的主视图为．
故选B．
3．（3分）若点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在反比例函数y=（k＞0）的图象上，且x1=﹣x2，则（）
A．y1＜y2B．y1=y2C．y1＞y2D．y1=﹣y2
【解答】解：∵点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在反比例函数y=（k＞0）的图象上，
∴y1=，y2=，
∵x1=﹣x2，
∴y1==﹣
∴y1=﹣y2．
故选：D．
4．（3分）sin30°=（）
A．B．C．D．
【解答】解：sin30°=．
故选：B．
5．（3分）在正方形网格中，△ABC在网格中的位置如图，则cosB的值为（）
A．B．C．D．2
【解答】解：在直角△ABD中，BD=2，AD=4，则AB===2，则cosB===．
故选A．
6．（3分）如图所示，AB是⊙O的直径，D、E是半圆上任意两点，连接AD、DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件中错误的是（）
A．∠ACD=∠DAB B．AD=DE C．AD•AB=CD•BD D．AD2=BD•CD
【解答】解：A、∵∠ACD=∠DAB，而∠ADC=∠BDA，∴△DAC∽△DBA，所以A 选项的添加条件正确；
B、∵AD=DE，∴∠DAE=∠E，而∠E=∠B，∴∠DAC=∠B，∴△DAC∽△DBA，所以B选项的添加条件正确；
C、∵∠ADC=∠BDA，∴当DA：DC=DB：DA，即AD2=DC•BD时，△DAC∽△DBA，所以C选项的添加条件不正确；
D、∵∠ADC=∠BDA，∴当DA：DC=DB：DA，即AD2=DC•BD时，△DAC∽△DBA，所以D选项的添加条件正确．
故选C．
7．（3分）如图，一次函数y1=k1x+b的图象和反比例函数y2=的图象交于A（1，2），B（﹣2，﹣1）两点，若y1＜y2，则x的取值范围是（）
A．x＜1 B．x＜﹣2 C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1
【解答】解：一次函数图象位于反比例函数图象的下方，
由图象可得x＜﹣2，或0＜x＜1，
故选：D．
8．（3分）已知两点A（5，6）、B（7，2），先将线段AB向左平移一个单位，再以原点O为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的得到线段CD，则点A 的对应点C的坐标为（）
A．（2，3） B．（3，1） C．（2，1） D．（3，3）
【解答】解：∵线段AB向左平移一个单位，
∴A点平移后的对应点的坐标为（4，6），
∴点C的坐标为（4×，6×），即（2，3）．
故选：A．
9．（3分）有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P在正东方向上，则A，B之间的距离是（）海里．
A．10B．10﹣10 C．10 D．10﹣10
【解答】解：由题意得：∠CAP=30°，∠CBP=45°，BC=10海里，
在Rt△BCP中，
∵∠CBP=45°，
∴CP=BC=10海里，
在Rt△APC中，
AC===10海里，
∴AB=AC﹣BC=（10﹣10）海里，
故选：D．
10．（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM=2，则线段ON的长为（）
A．B．C．1 D．
【解答】解：作MH⊥AC于H，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠MAH=45°，
∴△AMH为等腰直角三角形，
∴AH=MH=AM=×2=，
∵CM平分∠ACB，
∴BM=MH=，
∴AB=2+，
∴AC=AB=（2+）=2+2，
∴OC=AC=+1，CH=AC﹣AH=2+2﹣=2+，
∵BD⊥AC，
∴ON∥MH，
∴△CON∽△CHM，
∴=，即=，
∴ON=1．
故选：C．
11．（3分）如图，点A的坐标是（2，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限．若反比例函数y=的图象经过点B，则k的值是（）
A．1 B．2 C．D．
【解答】解：过点B作BC垂直OA于C，
∵点A的坐标是（2，0），
∴AO=2，
∵△ABO是等边三角形，
∴OC=1，BC=，
∴点B的坐标是（1，），
把（1，）代入y=，
得k=．
故选：C．
12．（3分）如图，在Rt△AOB中，两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y 轴的正半轴上，将△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A′O′B．若反比例函数
=4，tan∠BAO=2，则k的值为（）的图象恰好经过斜边A′B的中点C，S
△ABO
A．3 B．4 C．6 D．8
【解答】解：设点C坐标为（x，y），作CD⊥BO′交边BO′于点D，
∵tan∠BAO=2，
∴=2，
=•AO•BO=4，
∵S
△ABO
∴AO=2，BO=4，
∵△ABO≌△A'O'B，
∴AO=A′O′=2，BO=BO′=4，
∵点C为斜边A′B的中点，CD⊥BO′，
∴CD=A′O′=1，BD=BO′=2，
∴y=BO﹣CD=4﹣1=3，x=BD=2，
∴k=x•y=3•2=6．
故选C．
二、填空题（每小题4分，共20分）
13．（4分）反比例函数y=﹣，当y≤3时，x的取值范围是x≤﹣1或x＞0．【解答】解：∵k=﹣3＜0，
∴在每个象限内y随x的增大而增大，
又当x=﹣1，y=3，
∴当x≤﹣1或x＞0时，y≤3．
故答案为：x≤﹣1或x＞0．
14．（4分）如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan ∠POH的值为．
【解答】解：∵P（12，a）在反比例函数图象上，
∴a==5，
∵PH⊥x轴于H，
∴PH=5，OH=12，
∴tan∠POH=，
故答案为：．
15．（4分）如图，▱ABCD中，E是边BC上一点，AE交BD于F，若BE=2，EC=3，则的值为．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵BE=2，EC=3，
∴BC=AD=BE+CE=2+3=5，
∵AD∥BC，
∴△BEF∽△DAF，
∴BE：AD=BF：DF=2：5，
即=，
故答案为：．
16．（4分）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，如图所示，则搭成该几何体的小正方体最多是7个．
【解答】解：根据题意得：
，
则搭成该几何体的小正方体最多是1+1+1+2+2=7（个）．
故答案为：7．
17．（4分）如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点（不与B，C
重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且cosα=．下列结论：
①△ADE∽△ACD；
②当BD=6时，△ABD与△DCE全等；
③△DCE为直角三角形时，BD为8或；
④0＜CE≤6.4．
其中正确的结论是①②③④．（把你认为正确结论的序号都填上）
【解答】解：①∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠ADE=∠B
∴∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△ACD；
故①正确，
②作AG⊥BC于G，
∵AB=AC=10，∠ADE=∠B=α，co sα=，
∴BG=ABcosB，
∴BC=2BG=2ABcosB=2×10×=16，
∵BD=6，
∴DC=10，
∴AB=DC，
在△ABD与△DCE中，
∴△ABD≌△DCE（ASA）．
故②正确，
③当∠AED=90°时，由①可知：△ADE∽△ACD，∴∠ADC=∠AED，
∵∠AED=90°，
∴∠ADC=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∴∠ADE=∠B=α且cosα=，AB=10，
BD=8．
当∠CDE=90°时，易△CDE∽△BAD，
∵∠CDE=90°，
∴∠BAD=90°，
∵∠B=α且cosα=．AB=10，
∴cosB==，
∴BD=．
故③正确．
④易证得△CDE∽△BAD，由②可知BC=16，
设BD=y，CE=x，
∴=，
∴=，
整理得：y2﹣16y+64=64﹣10x，
即（y﹣8）2=64﹣10x，
∴0＜x≤6.4．
故④正确．
故答案为：①②③④
三．解答题（共7小题，满分64分）
18．（6分）计算：﹣（sin30°）﹣2+（2022﹣tan45°）0．
【解答】解：原式=﹣4+1=﹣2．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（2，3）、B（﹣3，n）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若P是y轴上一点，且满足△PAB的面积是5，直接写出OP的长．
【解答】解：（1）∵反比例函数y=的图象经过点A（2，3），
∴m=6．
∴反比例函数的解析式是y=，
∵B点（﹣3，n）在反比例函数y=的图象上，
∴n=﹣2，
∴B（﹣3，﹣2），
∵一次函数y=kx+b的图象经过A（2，3）、B（﹣3，﹣2）两点，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式是y=x+1；
（2）对于一次函数y=x+1，令x=0求出y=1，即C（0，1），OC=1，
=PC×2+PC×3=5，
根据题意得：S
△ABP
解得：PC=2，
则OP=OC+CP=1+2=3或OP=CP﹣OC=2﹣1=1．
20．（8分）如图1是一种包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型．
（1）请说出这个几何体模型的最确切的名称是直三棱柱．
（2）如图2是根据a，h的取值画出的几何体的主视图和俯视图（图中的粗实线表示的正方形（中间一条虚线）和粗实线表示的三角形），请在网格中画出该几何体的左视图．
（3）在（2）的条件下，已知h=20cm，求该几何体的表面积．
【解答】解：（1）这个几何体模型的最确切的名称是：直三棱柱；
故答案为：直三棱柱；
（2）如图所示：
（3）由题意可得：a===10，
S表面积=×（10）2×2+2×10×20+202=600+400（cm2）．
21．（10分）如图，等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，使AE=CF，连接AF，BE相交于点P．
（1）求证：AF=BE，并求∠APB的度数；
（2）若AE=2，试求AP•AF的值．
【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，
在△ABE和△CAF中，，
∴△ABE≌△CAF，
∴AF=BE，∠ABE=∠CAF．
又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP，
∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°，
∴∠APB=180°﹣∠APE=120°
（2）∵∠C=∠APE=60°，∠PAE=∠CAF，
∴△APE∽△ACF，
∴=，即=，
∴AP•AF=12．
22．（10分）为有效开发海洋资源，保护海洋权益，我国对南海诸岛进行了全面调查．如图，一测量船在A岛测得B岛在北偏西30°方向，C岛在北偏东15°方向，航行100海里到达B岛，在B岛测得C岛在北偏东45°，求B，C两岛及A，C两岛的距离．（结果保留到整数，≈1.41，≈2.45）
【解答】解：过B点作BD⊥AC于点D，
由题意知∠BAC=45°，∠FBA=30°，∠EBC=45°，AB=100海里，∠BAC=45°，
∴△BAD为等腰直角三角形，
∴BD=AD=50，∠ABD=45°，
∴∠CBD=180°﹣30°﹣45°﹣45°=60°，
∴∠C=30°，
∴在Rt△BCD中，BC=100≈141（海里），CD=50，
∴AC=AD+CD=50+50≈193（海里），
答：B，C两岛的距离约为141海里，A，C两岛的距离约为193海里．
23．（10分）如图，以O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点，延长AB 至点D，连接DC，过点A作⊙O的切线交DC的延长线于点E，且∠DCB=∠DAC．（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD=6，tan∠DCB=，求AE的长．
【解答】（1）证明：连结OC，OE，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，即∠BCO+∠1=90°，
又∵∠DCB=∠CAD，
∵∠CAD=∠1，
∴∠1=∠DCB，
∴∠DCB+∠BCO=90°，即∠DCO=90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵EA为⊙O的切线，
∴EC=EA，OE⊥DA，
∴∠BAD+∠DAE=90°，∠OEA+∠DAE=90°，
∴∠BAC=∠OEA ，
∴∠CDB=∠OEA ．
∵tan ∠DCB=，
∴tan ∠OEA==，
∵Rt △DCO ∽Rt △DAE ， ∴===，
∴CD=×6=4，
在Rt △DAE 中，设AE=x ，
∴（x +4）2=x 2+62，
解得x=．
即AE 的长为．
24．（12分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD ⊥AB 于点D ．点P 从点D 出发，沿线段DC 向点C 运动，点Q 从点C 出发，沿线段CA 向点A 运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P 运动到C 时，两点都停止．设运动时间为t 秒．
（1）求线段CD 的长；
（2）设△CPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t ，使得S △CPQ ：S △ABC =9：100？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．
（3）当t 为何值时，△CPQ 为等腰三角形？
【解答】解：（1）如图1，
∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10．
∵CD ⊥AB ，
∴S △ABC =BC•AC=AB•CD ．
∴CD===4.8．
∴线段CD 的长为4.8．
（2）①过点P 作PH ⊥AC ，垂足为H ，如图2所示． 由题可知DP=t ，CQ=t ．
则CP=4.8﹣t ．
∵∠ACB=∠CDB=90°，
∴∠HCP=90°﹣∠DCB=∠B ．
∵PH ⊥AC ，
∴∠CHP=90°．
∴∠CHP=∠ACB ．
∴△CHP ∽△BCA ． ∴
． ∴
． ∴PH=﹣t ．
∴S △CPQ =CQ•PH=t （﹣t ）=﹣t 2+t ． ②存在某一时刻t ，使得S △CPQ ：S △ABC =9：100． ∵S △ABC =×6×8=24，
且S △CPQ ：S △ABC =9：100， ∴（﹣t 2+t ）：24=9：100．
整理得：5t 2﹣24t +27=0．
即（5t ﹣9）（t ﹣3）=0．
解得：t=或t=3．
∵0＜t ＜4.8，
∴当t=秒或t=3秒时，S △CPQ ：S △ABC =9：100． （3）①若CQ=CP ，如图1，
则t=4.8﹣t ．
解得：t=2.4．
②若PQ=PC ，如图2所示．
∵PQ=PC ，PH ⊥QC ，
∴QH=CH=QC=．
∵△CHP ∽△BCA ． ∴
． ∴
． 解得：t=．
③若QC=QP ，
过点Q 作QE ⊥CP ，垂足为E ，如图3所示． 同理可得：t=．
综上所述：当t 为2.4秒或秒或秒时，△CPQ 为等腰三角形．。