函数的值域与最值限时作业

函数的值域与最值限时作业
一、选择题
1. 若集合⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈-⎪⎭⎫
⎝⎛==R x y y S x
,121|,{}2|log (1),1T y y x x ==+>-，则T S 等于
A ．{0}
B ．{|0}y y ≥
C ．S
D ．T 2. 下列函数中值域是（0，+∞）的函数是
A.125x
y -= B.11()
2
x
y -=
C.y =
D. y =
3. 函数y =
1
2
-x 的定义域是(-∞，1) [2,5]，则其值域是 A.(-∞,0) [21,2] B.(-∞,2) C.(-∞,2
1
) [2,+∞] D.(0,+∞)
4. 函数]4)3(lg[2
+++=x k x y 的值域为R ，则实数k 的取值范围是
A ．17≤≤-k
B ．7-≤k 或1≥k
C ．71≤≤-k
D ．7-<k 或1>k 5.已知a b a ,0,0>>、b 的等差中项是βαβα++=+=则且,1
,1,21b
b a a 的最小值是 A ．3 B ．4
C ．5
D ．6
二、填空题：
1. 定义在R 上的函数)(x f 满足关系式:2)21()21
(=-++x f x f ,则+)81(f )8
2(f
)8
7
(f ++ 的值等于________
2. 已知函数()f x 对一切实数a b ，,均满足()()()f a b f a f b +=⋅，且(1)2f =．则
(2)(3)(4)
(2007)
(1)(2)(3)
(2006)
f f f f f f f f ++++
=
3. 设1
)(2++=
x b
ax x f （a >0）的值域为[-1，4]，则a ,b 的值为_________ 三、解答题
1. 求下列函数的值域 （1）5
44
2
--=
x x y ； （2）x x y 21-+-=；
（3）x
x y 1
2-=
2．设函数4
1)(2
-
+=x x x f ， （1）若定义域为[0，3]，求)(x f 的值域； （2）若定义域为]1,[+a a 时，)(x f 的值域为]16
1
,21[-，求a 的值. 3. 已知函数：)(1)(a x R a x
a a
x x f ≠∈--+=
且
（1）证明：()2(2)0f x f a x ++-=对定义域内的所有x 都成立. （2）当()f x 的定义域为1
[,1]2
a a +
+ 时，求证：()f x 的值域为[3,2]--； *（3）设函数2
()|()()|g x x x a f x =+-, 求()g x 的最小值 .
函数的值域与最值参考答案
一、选择题
5. 提示：由111144a b a b ab ab
+=⇒=+≥⇒≤
⇒≥， 1
11
()1145a b a b ab
αβ+=+++=+
≥+= 二、填空题：
1.7；
2.4012； 提示：
()
()()
f a b f a f b +=用赋值法或令()2x f x = ； 3. a =4, b=3；
三、解答题
1． [解析]先确定函数的定义域，正确选择方法，并作出相应的数式变换. （1）函数的定义域为5,1≠-≠x x 且，
令09,9)2(542
2
≠-≥∴--=--=u u x x x u 且， 即0>u 或9
440409-≤>⇒
<≤-u u u 或， ∴函数的值域为),0(]9
4,(+∞--∞ ；
（注）这里运用了不等式性质：b a ab b a 1
10
<⇒⎩⎨
⎧>>；
[解法二]原函数等价于0)45(4,4)54(2
2
=+--=--y yx yx x x y 即，
当0=y 时，得－4=0，矛盾，0≠∴y ，
)5,1(≠-≠∈x x R x 且 ，
0)49(0)45(4162≥+⇒≥++=∆∴y y y y y ，
解得函数的值域为),0(]9
4
,(+∞--∞ .
（2）函数的定义域为]21
,(-∞.作换元，令)0(21212≥-=⇒=-t t x t x ， ),0[)(,1)1(2
1
2122+∞∴-+=+-=∴在t f t t t y 上为增函数，
21)0(-=≥∴f y ，∴函数的值域为),2
1
[+∞-；
[解法二]令x x f x x f 21)(,)(21-=-=，∴原函数)()(21x f x f y +=， ∵)()(21x f x f 与在定义域内都是减函数，
∴原函数)(x f y =在定义域]21
,(-∞是减函数，2
1)21(-=≥∴f y ， 而当-∞→x 时，+∞→y ，∴函数的值域为),2
1
[+∞-. （3）函数的定义域为2
1≥
x ， )210(1)11(21122
2
2≤<+--=+-=-=
∴x x x x
x x y ， 由二次函数性质知函数的值域为[0，1]；
[解法二]令12-=x t ， )0(2
1
2≥+=∴t t x ， 10,12212)(2≤≤∴=≤+=
=∴y t
t
t t t f y ， 即函数的值域为[0，1] 2．解：21)2
1()(2
-
+=x x f ，∴对称轴为2
1-=x ，
（1）2103->≥≥x ，∴)(x f 的值域为)]3(),0([f f ，即]447,41[-； （2）∴-=,21)]([min
x f 对称轴]1,[2
1
+∈-=a a x ，
212321
121-≤≤-⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
-≥+-≤∴a a a ，
∵区间]1,[+a a 的中点为2
1
0+=a x ， ①当2
1
1,2121-≤≤--≥+
a a 即时， 16
1
41)1()1(,161)1()]([2max =-+++∴=+=a a a f x f ，
4
9
(4302748162-=-=⇒=++∴a a a a 不合）
； ②当123,2121-<≤--<+a a 即时，161
)()]([max ==a f x f ，
41
(45051616,1614122=-=⇒=-+∴=-+∴a a a a a a 不合）
； 综上，4
5
43-=-=a a 或.
3.（1）证明：x
a a a
x a x a a x x a f x f +--+-+
+--+=-++21221)2(2)( 01221121=--+--+-+=-+-++--+=x
a x a x a a x a x x a x a a x
∴结论成立 （2）证明：x
a x a x a x f -+
-=-+--=
1
11)()( 当112,211211121-≤-≤--≤-≤---≤-≤--+≤≤+x
a x a a x a a x a 时
21
13-≤-+-≤-x
a 即]2,3[)(--值域为x f
（3）解：)(|1|)(2
a x a x x x g ≠-++=
①当a x a x x x g a x a x -++=-++=≠-≥4
3
)2
1(1)(,12
2
时且 如果211-
≥-a 即2
1
≥a 时，则函数在),(),1[+∞-a a a 和上单调递增 2min )1()1()(-=-=a a g x g ，
如果a g x g a a -=-=<-<-4
3
)21()(,21211min 时即当
而当21-
=a 时，)(x g 在2
1
==a x 处无定义，故)(x g 最小值不存在 ②当4
5)21(1)(122
-+-=+--=-≤a x a x x x g a x 时
如果4
5
)21()(23211min -==>>-a g x g a a 时即
如果2min )1()1()()1,()(23211-=-=--∞≤≤-a a g x g a x g a a 上为减函数在时即 当0)2
1
()43()1(210)23()45()1(232222>-=---<>-=--->a a a a a a a a 时当时
综合得： 当21<
a 时 g （x ）最小值是a -43
当2
321≤≤a 时 g （x ）最小值是2)1(-a 当23>a 时 g （x ）最小值为45-a
当2
1
-=a 时 g （x ）最小值不存。