高考数学压轴专题专题备战高考《矩阵与变换》真题汇编

【高中数学】《矩阵与变换》知识点
一、15
1．已知等比数列{}n a 的首项11a =，公比为()0q q ≠.
（1）求二价行列式
1
3
24
a a a a 的值； （2）试就q 的不同取值情况，求解二元一次方程组132
43
2a x a y a x a y +=⎧⎨
+=⎩.
【答案】（1）0；（2）当23q =时，方程组无数解，且439x t y t
⎧
=-⎪
⎨⎪=⎩，t R ∈；当23q ≠且
0q ≠时，方程组无解.
【解析】 【分析】
（1）由行列式定义计算，再根据等比数列的性质得结论； （2）由二元一次方程组解的情况分析求解． 【详解】
（1）∵{}n a 是等比数列，∴1423a a a a =， ∴
1
3
24
a a a a 14230a a a a =-=． （2）由（1）知方程组无解或有无数解． 当
241323a a q a a ===时，方程组有无数解，此时方程组中两个方程均为439
x y +=， 解为439x t y t
⎧=-⎪⎨⎪=⎩，
当2
3q ≠
且0q ≠时，方程组无解． 【点睛】
本题考查行列式的概念，考查等比数列的性质，考查二元一次方程组的解的情况．掌握二元一次方程组的解的情况的判断是解题基础．
2．已知a ，b ，c ，d 四个城市，它们之间的道路联结网如图所示，试用矩阵表示这四个城市组成的道路网络.
【答案】02102
0301
3020
02
2a b c d
a b c d
⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】
根据图像计算每两个城市之间的道路数，得到答案. 【详解】
根据图像计算每两个城市之间的道路数，如：,a b 之间有2条路；,b c 之间有3条路；
同理得到矩阵： 02102
0301
3020
02
2a b c d
a b c d
⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 【点睛】
本题考查了矩阵表示道路网络，意在考查学生的应用能力.
3．解方程组()320
21mx y x m y m +-=⎧⎨+-=⎩
，并求使得x y >的实数m 的取值范围.
【答案】()1,3 【解析】 【分析】
计算出行列式D 、x D 、y D ，对D 分0D ≠和0D =两种情况分类讨论，求出方程组的解，再由x y >列出关于m 的不等式，解出即可. 【详解】 由题意可得()()236232
1
m D m m m m m =
=--=+--，23
21
x D m m m =
=---，
()()224222
y m D m m m m
=
=-=-+.
①当0D ≠时，即当2
60m m --≠时，即当2m ≠-且3m ≠时，1323x y D x D m D m y D m ⎧==⎪⎪-⎨-⎪==⎪-⎩
.
x y >
Q ，则()()()2
2221
33m m m ->--，即()2
21
30
m m ⎧-<⎪⎨
-≠⎪⎩，解得13m <<； ②当2m =-时，方程组为2320
232x y x y -+-=⎧⎨
-=-⎩
，则有232x y -=，该方程组有无穷多解，
x y >不能总成立；
③当3m =时，方程组为33202230x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，即203
30
2x y x y ⎧
+-=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩
，该方程组无解.
综上所述，实数m 的取值范围是()1,3. 【点睛】
本题考查二元一次方程组的求解，同时也考查了分式不等式的求解，在解题时要注意对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.
4．解关于x ，y 的方程组2122ax y a ax ay a +=+⎧⎨-=-⎩
.
【答案】见解析 【解析】 【分析】
根据对应关系，分别求出D ，x D ，y D ，再分类讨论即可 【详解】 由题可得：()1
22a D a a a a
=
=-+-，()2211=212x a D a a
a
+=
-+--，
221522y a a D a a
a
+=
=--.
所以，（1）当0a ≠且2a ≠-时，()
()221
252a x a a a y a ⎧+⎪=⎪+⎨⎪=⎪+⎩
； 当0a =或2-时，0x D ≠，方程组无解 【点睛】
本题考查二元一次方程的解与行列式的对应关系，属于中档题
5．（1）计算行列式
34912，5111022
，28728--的值；
（2）你能否从（1）中的结论得出一个一般的结论？试证明你的结论； （3）你发现的（2）的结论，在三阶行列式中是否成立？
【答案】（1）三个行列式的值都为0；（2）
0a b
ka kb
=或()0a ka k b kb =∈R ；证明见解析；（3）成立 【解析】 【分析】
（1）分别进行化简计算即可求得；
（2）观察可知对应行或列应成比例关系，化简求值即可证明； （3）可假设成立，再结合运算关系进行求证即可 【详解】 （1）
34
36360912
=-=，
511
11011001022
=-=，
28565607
28
-=-=-；
（2）由（1）可知
0a b
ka kb
=或
()0a ka k b kb =∈R ，证明如下： 0a b
kab kab ka kb =-=，
0a ka kab kab b kb
=-=，即
0a b
ka kb
=或
()0a ka k b kb
=∈R 成立；
（3）假设三阶行列式中成立，即0a
b c
ka
kb
kc na nb nc
=或0a ka na b kb nb c kc
nc
=
证明如下：
0a b c
ka
kb
kc knabc knabc knabc knabc knabc knabc na nb nc =++---=
0a ka na
b kb nb knab
c knabc knabc knabc knabc knabc c kc
nc
=++---= 得证，故三阶行列式也成立 【点睛】
本题考查行列式的简单计算，结论的类比推理，属于基础题
6．讨论关于x ，y ，z 的方程组2112x y z x y az x ay a z ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
解的情况.
【答案】当1a ≠时，有唯一解2,11,0.a x a y a z -⎧=⎪-⎪
=-⎨⎪=⎪⎩
；当1a =时，无解.
【解析】 【分析】
先根据方程组中x ，y ，z 的系数及常数项计算出D ，x D ，y D ，z D ，再对a 的值进行分类讨论，并求出相应的解． 【详解】
方程组可转化为：2
111111121x a a a y z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，
221111
1(1)1a a D a a ==--，211
11
(1)(2)12x D a a a a a ==---， 21111
1112y D a a a ==-+，11
1101112
z D a ==，
（1）当系数行列式||0D ≠时，方程组有唯一解，即1a ≠时，有唯一解2,11,0.a x a y a z -⎧
=⎪-⎪
=-⎨⎪=⎪⎩
（2）当1a =时，原方程组等价于112x y z x y z x y z ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
所以无解.
【点睛】
本题考查三元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解的存在性、唯一性、三元一次方程的解法等基础知识，考查运算求解能力．
7．利用行列式讨论关于,x y 的方程组1
323
ax y ax ay a +=-⎧⎨
-=+⎩解的情况.
【答案】①当03a a ≠≠-且时，方程组有唯一解12
x a y ⎧=⎪
⎨⎪=-⎩；②当0a =时，方程组无
解；③当3a =-时，方程组有无穷多解，可表示为()31
x t
t R y t =⎧∈⎨=-⎩.
【解析】 【分析】
由题,可得()()()3,3,23x y D a a D a D a a =-+=-+=+,分别讨论方程组有唯一解,无解,无穷多解的情况即可 【详解】
()21
333a D a a a a a a
=
=--=-+-, ()()11
233323x D a a a a a a
-==-+=--=-++-, ()()212332623323
y a
D a a a a a a a a a -=
=++=+=++,
①当03a a ≠≠-且时,方程有唯一解,()()()()3132323x y a D x D a a a D a a y D a a ⎧-+===⎪-+⎪⎨+⎪===-⎪-+⎩
,即12x a y ⎧=
⎪⎨⎪=-⎩；
②当0a =时,0D =，30x D =-≠,方程组无解；
③当3a =-时,0x y D D D ===,方程组有无穷多解,设()x t t R =∈,则原方程组的解 可表示为()31x t
t R y t =⎧∈⎨=-⎩
.
【点睛】
本题考查利用行列式解方程组,考查运算能力,考查分类讨论思想
8．用行列式方法解关于x y 、的方程组：()(
)1
R 214ax y a x a y a
-=⎧∈⎨--=⎩，并对解的情况进行讨论.
【答案】1a =时无解；12a =-时无穷解；12a ≠-且1a ≠时有唯一解11211x a
a y a ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩
【解析】 【分析】
本题先求出相关行列式D 、x D 、y D 的值，再讨论分式的分母是否为0，用公式法写出方程组的解，得到本题结论． 【详解】
Q 关于x 、y 的方程组：1
()2ax y a a R x ay a +=+⎧∈⎨+=⎩，()()1R 214ax y a x a y a -=⎧∈⎨--=⎩
∴21
|
|1(1)(1)1a D a a a a
==-=+-，21
|
|(12)121(1)(21)112a D a a a a a a a
-==-+=-++=--+-
211|
|(1)2x a D a a a a a a +==-=-，1||124124121
x D a a a a a
==-+=+-- 21|
|21(21)(1)12y a a D a a a a a +==--=+-，21
||41(21)(21)14y a D a a a a
==-=+-.
（1）当12a ≠-且1a ≠时，有唯一解11211x a
a y a ⎧
=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩
，
（2）当1a =时，无解； （3）当1
2
a =-，时无穷解． 【点睛】
本题考查了用行列式法求方程组的解，本题难度不大，属于基础题．
9．证明：（1）
1112
2212
a b a a a b b b =； （2）
12
121
1
222
2
a ka
b kb a b a b a b ++=. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）根据行列式的运算，分别化简得
1
112122
2a b a b b a a b =-，12
122112
a a a
b a b b b =-，即可求解；
（2）根据行列式的运算，分别化简得
1212
122122a ka b kb a b a b a b ++=-，1
1
12212
2
a b a b a b a b =-，即可求解.
【详解】
（1）根据行列式的运算，可得
1
1121222a b a b b a a b =-，12
122112
a a a
b a b b b =-， 所以
1
112
2
212
a b a a a b b b =. （2）根据行列式的运算，可得
1212
12212222
()()a ka b kb a ka b b kb a a b ++=+-+
122221221221()()a b ka b a b ka b a b a b =+-+=-，
又由
1
112212
2
a b a b a b a b =-，所以121211
2222a ka b kb a b a b a b ++=.
【点睛】
本题主要考查了行列式的运算及其应用，其中解答中熟记行列式的运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
10．设,,a b c 分别是ABC ∆的三边，行列式b a c
c b a a c b .
（1）求字母b 的代数余子式的展开式；
（2）若（1）的值为0，判断直线sin 0B x ay b ⋅+-=与sin 0C x by c ⋅+-=的位置关系. 【答案】（1）233b ac -；（2）重合. 【解析】 【分析】
（1）根据字母b 的代数余子式的展开式()
()
()
2
4
6
111b a b c b a c b
a b
c b
-+-+-即可求解；
（2）根据（1）的值为0，得出边长的关系，即可判断直线位置关系. 【详解】
（1）,,a b c 分别是ABC ∆的三边，行列式b a c
c b a a c b ，
所以字母b 的代数余子式的展开式为：
()
()
()
2
4
6
111b a b c b a c b
a b
c b
-+-+-
222b ac b ac b ac =-+-+- 233b ac =-
（2）若（1）的值为0，即2330b ac -=，2b ac =，
b c a b
=，
由正弦定理：sin sin c C b B
= 所以
sin sin c C b c b B a b
-===- 所以直线sin 0B x ay b ⋅+-=与sin 0C x by c ⋅+-=的位置关系是重合. 【点睛】
此题考查求代数余子式的展开式，得出三角形边长关系，结合正弦定理判断两直线的位置关系，跨章节综合性比较强.
11．已知矩阵4321M -⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
，向量75α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r . （1）求矩阵M 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量； （2）求3M α.
【答案】（1）特征值为11λ=，22λ=，分别对应的特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦和32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，（2）
34933M α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
r .
【解析】 【分析】
（1）根据特征值的定义列出特征多项式，令()0f λ=解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量；（2）7132512α⎛⎫⎡⎤⎡⎤==+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦
r g ，即可求3M αr
．
【详解】
（1）矩阵M 的特征多项式为()(1)(2)f λλλ=--， 令()0f λ=，可求得特征值为11λ=，22λ=，
设11λ=对应的一个特征向量为x y α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，
则由1M λαα=，得330x y -+=，可令1x =，则1y =-，
所以矩阵M 的一个特征值11λ=对应的一个特征向量为11⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，
同理可得矩阵M 的一个特征值22λ=对应的一个特征向量为32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦．
（2）7132512α⎛⎫⎡⎤
⎡⎤==+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦
r g
所以33
1349221233M α⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⨯⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
r ．
【点睛】
本题主要考查了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
12．用行列式解关于x 、y 的方程组：1
()2ax y a a R x ay a
+=+⎧∈⎨
+=⎩，并对解的情况进行讨论. 【答案】见解析 【解析】 【分析】
先求出相关的行列式,,x y D D D 的值，再讨论分式的分母是否为0，用公式法写出方程组的解，即可得到结论. 【详解】
由题意，关于x 、y 的方程组：1
()2ax y a a R x ay a +=+⎧∈⎨+=⎩，
所以22111
1,(1),12x a a D a D a a a a a a
a
+=
=-=
=-=-
2121(21)(1)1
2y a a D a a a a a
+=
=--=+-，
（1）当1a ≠±时，0D ≠，方程组有唯一解，1
211a x a a y a ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩
；
（2）当1a =-时，0,0x D D =≠，方程组无解； （3）当1a =时，0x y D D D ===，方程组有无穷多解，,()2x t
t R y t =⎧∈⎨=-⎩
.
【点睛】
本题主要考查了用行列式法求方程组的解，难度不大，属于基础题.
13．已知矩阵13m P m m ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，x Q y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，2M m -⎛⎫= ⎪⎝⎭，13N m ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，若PQ =M +N .
(1) 写出PQ =M +N 所表示的关于x 、y 的二元一次方程组； (2) 用行列式解上述二元一次方程组.
【答案】(1) 1
323
mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩；(2) 见解析
【解析】 【分析】
(1)利用矩阵的乘法和加法的运算法则直接计算并化简即可得出答案；
(2)先由二元一次方程组中的系数和常数项计算出D ，D x ，D y ，然后再讨论m 的取值范围，①当m ≠0,且m ≠-3时，②当m =0时，③当m =-3时，分别求出方程组的解即可得出答案. 【详解】
解：(1) 由题意可得PQ=13m
m m ⎛⎫ ⎪
-⎝⎭x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭=3mx y mx my +⎛⎫
⎪-⎝⎭
，M+N=213m m -⎛⎫⎛⎫+
⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=123m -⎛⎫ ⎪+⎝⎭，所以由PQ= M+N ，可得3mx y mx my +⎛⎫ ⎪-⎝⎭=123m -⎛⎫
⎪+⎝⎭
，即得1
323mx y mx my m +=-⎧⎨
-=+⎩
； (2) 由题意可得行列式1
(3)3m D m m m m
=
=-+-，1
(3)231x D m m m
=
=--++- ,1
2(3)323
y m
D m m m m -=
=++
①当m ≠0,且m ≠-3时，D ≠0，方程组有唯一解12
x m y ⎧
=
⎪⎨⎪=-⎩；
②当m =0时，D =0,但D x ≠0，方程组无解；
③当m =-3时，D =D x =D y =0，方程组有无穷多解31x t
y t =⎧⎨=-⎩
(t ∈R ).
【点睛】
本题考查了矩阵的乘法加法运算法则的应用，考查了用行列式求解二元一次方程组方法的应用，对参数的讨论是用行列式解二元一次方程组的关键，考查了运算能力，属于一般难度的题.
14．定义“矩阵”的一种运算()x a b ax by cx dy c y d ⎡⎤⎛⎫
⋅=++ ⎪⎢
⎥⎣⎦⎝⎭
，，该运算的意义为点(),x y 在矩阵a b c d ⎛⎫
⎪⎝⎭的变换下成点()ax by cx dy ++，
，设矩阵11A ⎛=-⎭
()1已知点P 在矩阵A 的变换后得到的点Q
的坐标为)
2，试求点P 的坐标；
()2是否存在这样的直线：它上面的任一点经矩阵A 变换后得到的点仍在该直线上？若存
在，试求出所有这样的直线；若不存在，则说明理由．
【答案】（1
）14⎫⎪⎭（2
）存在，直线方程为：y x =
或y = 【解析】
【分析】
()1设(),P x y ，由题意，得出关于x 、y 的方程，解之即得P 点的坐标； ()2对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在这样的直线，设直线方程为：()0y kx b k =+≠，该直线上的任一点(),M x y
，经变换后得到的点
()
N x y +-仍在该直线上，再结合求方程的解，即可求得k ，b 值，若出现矛
盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在． 【详解】
()1设(),P x y
由题意，有124x x y y ⎧=⎧⎪+=⎪⎪⎨⎨-=⎪⎪⎩
=⎪⎩
，
即P
点的坐标为14⎫⎪⎭． ()2假设存在这样的直线，因为平行坐标轴的直线显然不满足条件，
所以设直线方程为：()0y kx b k =+≠
因为该直线上的任一点(),M x y
，经变换后得到的点()
N x y +-仍在该直线上
()
-=++y k x b
即
)()
10k x y b --=，其中()0y kx b k =+≠
代入得
()
2220k x b +++=对任意的x ∈R
恒成立()
22020k b +=+=⎪⎩
解之得0
k b ⎧=
⎪⎨⎪=⎩
0k b ⎧
=⎪⎨=⎪⎩
故直线方程为3
y x =
或y =． 【点睛】
此题主要考查矩阵变换的问题，其中涉及到矩阵的求法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想，属于中档题．
15．用行列式讨论下列关于x 、y 、z 的方程组121ax y z x y az x y z --=⎧⎪
+-=⎨⎪--=⎩
的解的情况，并求出相应
的解.
【答案】（i ）当1a ≠±时有唯一解.∴方程组的解为：02131x a y a z a ⎧
⎪=⎪
-⎪
=⎨+⎪
⎪=-⎪+⎩
；
（ii ）当1a =-时，无解；
(iii) 当1a =时,有无穷多解.∴通解为：3212x t y z t ⎧
=+⎪⎪
⎪
=⎨⎪=⎪⎪⎩
.
【解析】 【分析】
首先由二元一次方程组得到矩阵：,,,x y z D D D D ，然后根据条件判断a 的不同取值方程组解的情况，并分类讨论. 【详解】
方程组可转化为： 1 111 1 21 1 11a x a y z --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
2 1 1
1 1 1(1)(1)1 1 1a D a a a a --=-=-=-+---,
21 1 1 1 1 1 12 1 0, 1 2 32, 1 1 2331 1 1
1 1 1
1 1 1
x y z a a D a D a a a D a ----=-==-=-+==-----Q
（i ）当1a ≠±时有唯一解.∴方程组的解为：02131x a y a z a ⎧
⎪=⎪
-⎪
=⎨+⎪
⎪=-⎪+⎩
；
（ii ）当1a =-时，无解；
(iii ) 当1a =时,有无穷多解.∴通解为：3212x t y z t ⎧=+⎪⎪
⎪
=⎨⎪=⎪⎪⎩
.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组和矩阵形式、以及行列式值的计算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.
16．在平面直角坐标系xOy 中，设点()1,2A -在矩阵1001M -⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
对应的变换作用下得
到点A '，将点()3,4B 绕点A '逆时针旋转90o 得到点B '，求点B '的坐标． 【答案】()1,4- 【解析】
试题分析：先根据矩阵运算确定()1,2A '，再利用向量旋转变换0110N -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
确定：A B ''u u u u r
.
因为
，所以1
{
4
x y =-= 试题解析：解：设(),B x y '，
依题意，由10110122--⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，得()1,2A ' 则
．
记旋转矩阵0110N -⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
， 则01211022x y --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2122x y --⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
，解得1{4x y =-=， 所以点B '的坐标为()1,4- 考点：矩阵运算，旋转矩阵
17．已知二阶矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值1λ=-所对应的一个特征向量为13-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵M ；
（2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C '的方程为2y x =，求曲线C 的方程.
【答案】（1）2130M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
（2）2
92y x x =-
【解析】 【分析】
（1）根据特征值和特征向量的定义式写出相应的矩阵等式，转化成线性方程组可得,a b 的值，即可得到矩阵M ；
（2）根据矩阵对应的变换写出对应的矩阵恒等式，通过坐标转化计算可得出曲线C 的方程． 【详解】
解：（1）依题意得111333a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 即31333a b -+=⎧
⎨
-+=-⎩，解得2
0a b =⎧⎨=⎩，
所以2130M ⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦
； （2）设曲线C 上一点(,)P x y 在矩阵M 的作用下得到曲线2y x =上一点(
)
,P x y '
''
，
则2130x x y y ''⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦，即23x x y
y x ''=+⎧⎨=⎩， 因为2
y x ''
=，所以2
92x x y =+， 所以曲线C 的方程为2
92y x x =-． 【点睛】
本题主要考查特征值和特征向量的定义计算的能力，以及矩阵对应的变换得出变换前的曲线方程，本题属中档题．
18．已知矩阵14a b ⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
A ，A 的两个特征值为12λ=，2λ=3. （1）求a ，b 的值；
（2）求属于2λ的一个特征向量α.
【答案】（1）1a =，2b =；（2）11α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
u r
.
【解析】 【分析】
（1）利用特征多项式，结合韦达定理，即可求a ，b 的值； （2）利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量． 【详解】
（1）令2()()(4)(4)4014
a b
f a b a a b λλλλλλλ--=
=--+=-+++=-，
于是124a λλ+=+，124a b λλ=+．解得1a =，2b =.
（2）设x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r
，则122331443x x y x x A y x y y y α+⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦r ， 故2343x y x x y y +=⎧⎨-+=⎩解得x y =．于是11α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦r ．
【点睛】
本题主要考查矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力及函数与方程思想，属于基础题．
19．已知二阶矩阵，矩阵属于特征值
的一个特征向量为
，
属于特征值的一个特征向量为
.求矩阵.
【答案】
【解析】 【分析】
运用矩阵定义列出方程组求解矩阵 【详解】
由特征值、特征向量定义可知，，
即，得
同理可得解得
，
，，
.因此矩阵
【点睛】
本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单
20．设函数()()271f x x ax a R =-++∈. (1)若1a =-，解不等式()0f x ≥； (2)若当
01x
x
>-时，关于x 的不等式()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围； (3)设()1
21
x g a
x x +-=
-，若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）[)8,6,3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝
⎦
U ；（2）5a ≥-；（3）4a ≥-.
【解析】
（1）利用零点分段讨论可求不等式的解.
（2）
01x
x
>-的解为()0,1，在该条件下()1f x ≥恒成立即为()720a x +->恒成立，参变分离后可求实数a 的取值范围.
（3）()()f x g x ≤有解即为12722a x x -≥---有解，利用绝对值不等式可求
()2722h x x x =---的最小值，从而可得a 的取值范围.
【详解】
（1）当1a =-时，()0f x ≥即为2710x x --+≥.
当72x ≥时，不等式可化为72
2710
x x x ⎧≥⎪
⎨⎪--+≥⎩，故6x ≥； 当7
2x <时，不等式可化为72
7210x x x ⎧
<⎪⎨⎪--+≥⎩
，故83x ≤. 综上，()0f x ≥的解为[)8,6,3
⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝
⎦
U .
（2）
01x
x
>-的解为()0,1， 当()0,1x ∈时，有()()72182f x x ax a x =-++=+-，
因为不等式()1f x ≥恒成立，故()821a x +->即()27a x ->-在()0,1上恒成立， 所以72a x ->-
在()0,1上恒成立，而7
7x
-<-在()0,1上总成立， 所以27a -≥-即5a ≥-. 故实数a 的取值范围为5a ≥-.
（3）()1
211
2
x g x x ax a x a +=
=-++--， ()()f x g x ≤等价于27121x ax x ax a -++≤-++，
即27211x x a ---≤-在R 上有解. 令()27212722h x x x x x =---=---，
由绝对值不等式有272227225x x x x ---≤--+=， 所以527225x x -≤---≤，当且仅当7
2
x ≥时，27225x x ---=-成立， 所以()min 5h x =-，故15a -≥-即4a ≥-. 故实数a 的取值范围为4a ≥-.
解绝对值不等式的基本方法有零点分段讨论法、图象法、平方法等，利用零点分段讨论法
-≤+≤+及
时注意分类点的合理选择.绝对值不等式指：a b a b a b
-≤-≤+，我们常利用它们求含绝对值符号的函数的最值.
a b a b a b。