湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题

2017-2018学年湖南省长沙市天心区长郡中学高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共15小题，共45.0分）
1. 设集合}3{1A =，
，集合1245{}B =，，，，则集合A B =（ ） A. 3，1，2，4， B. C. 2，3，4， D. 3，4， 2.
已知tan α=，
2
π
απ<<，则sinα的值为（ ） A.12
B. C.12
-
D. 3. 已知4a =，3b =，且a 与b 不共线，若向量a kb +与a kb -互相垂直，则k 的值为（ ）
A.43
±
B.34
±
C.
D. 4. 如果奇函数()f x 在区间[2，8]上是减函数且最小值为6，则()f x 在区间[-8，-2]上是（ ）
A. 增函数且最小值为
B. 增函数且最大值为
C. 减函数且最小值为
D. 减函数且最大值为
5. 函数237x f x x =+-（
）的零点所在的区间是（ ） A.
B. C. D.
6.
ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若222a c b ab -+=，则C =（ ） A.30︒ B.60︒ C.120︒ D. 60︒或120︒
7. 在ABC △中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若
cos cos A b
B a
=，则ABC △的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 钝角三角形
C. 直角三角形
D. 等腰三角形或直角三角形
8. 已知集合26112x x A x --⎧⎫⎪⎪
⎛⎫=⎨⎬ ⎪
⎝⎭⎪⎪⎩⎭
＜,(){}
41B x log x a =+<，若A B =∅，则实数a 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9. 设α是第二象限角，P （x ，4）为其终边上的一点，且cos 1
5
x α=，则tan α=（ ）
A.43
B.34
C.34
-
D. 43
-
10. 化简()()()()()11sin 2cos cos cos 229cos sin 3sin sin 2πππαπαααππαπαπαα⎛⎫⎛⎫
-++- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
⎛⎫
----+ ⎪
⎝⎭
的结果是（ ）
A. 1
B.sin α
C.tan α-
D. tan α
11. 先把函数()πsin 6f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再把新得到的图象
向右平移
3
π个单位，得到()y g x =的图象．当π3π
[,]44x ∈时，函数()g x 的值域为（ ）
A.⎡
⎤⎢⎥⎣
⎦
B.1,12⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
C.⎡
⎢⎣
⎦
D. []1,0-
12. 设()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，已知]3[2x ∈，
时，()f x x =，则x ∈[-2，0]时，f （x ）的解析式为f （x ）=（ ）
A. B.
C. D.
13. 若函数 ，ω＞0，x ∈R ，又f （x 1）=2，f （x 2）=0，且12x x -的最小值为
32
π
，则ω的值为（ ）
A.1
3
B.23
C.4
3
D. 2
14. 如图，正△ABC 的中心位于点G （0，1），A （0，2），动点P 从A 点出发沿△ABC
的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度AGP x ∠=（0≤x ≤2π），向量OP 在
()=1,0a 方向的射影为y （O 为坐标原点），则y 关于x 的函数()y f x =的图象
是（ ） 15. 16.
A.
B.
C.
D.
17. 已知定义在R 上的奇函数f （x ），当x ＞0时，()()121021222
x x f x x f x --≤-⎧⎪
=⎨⎪⎩，＜，＞则关于x 的方程
()()2
610f x f x --=⎡⎤⎣⎦的实数根个数为（ ）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分） 18. 0lg 2lg5π++=______． 19. 已知tan 3α=，则
2sin cos cos 3sin αα
αα
-+=______．
20. 已知向量a ，b 满足2b =，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 上的投影是______．
21. 若函数()2
23f x x kx =--在区间[-2，4]上具有单调性，则实数k 的取值范围是______．
22. 在ABC △中，已知9AB AC ⋅=，sin cos sin B A C =，6ABC S =△，P 为线段AB 上的一点，且
CA CB CP x y CA
CB
=⋅
+⋅
，则
11
x y
+的最小值为______． 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
23. 已知集合()(){}|320x x A x +-=≤，{}14|B x x =≤≤． 24. （1）求A
B ；
25. （2）求()
R A B ð．
26. 设ABC △的内角A ，B
，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos b A
a B
=．
27. （
1）求角B 的大小；
28. （2）若b =sin 2sin C A =，求
a ，c 的值．
29. 已知函数()2
3cos cos 2
f x x x x -+
． 30. （1）求()f x 的单调递增区间；
31. （2）若角α，β的终边不共线，且()()f f αβ=，求()tan αβ+的值． 32.
33. 已知向量()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=，25
a b =-． 34. （1）求()cos αβ-的值；
35. （2）若π02α<<，π02β-<<，且5
sin 12
β=-，求sinα． 36.
37. 已知二次函数()2
f x x x =+，若不等式()()2f x f x x -+≤的解集为C ．
38. （1）求集合C ；
39. （2）若函数()()
11x x
g x f a a =--（a ＞0且a ≠1）在集合C 上存在零点，求实数a 的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
解：∵集合}3{1A =，
，集合1245{}B =，，，， ∴集合1245{}3A B =，
，，，． 故选C ．
集合A 的所有元素和集合B 的所有元素合并到一起，构成集合A B ，由此利用集合}3{1A =，，集合1245{}B =，
，，，能求出集合A B ． 本题考查集合的并集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 2.【答案】B
【解析】
解：
∵tan α=，
∴22sin cos sin cos 1αα
αα⎧=⎪⎨⎪+=⎩
，解得sin 1cos 2αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
或sin 1cos 2αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． ∵π2
απ<<，
∴sin α=． 故选：B ．
由已知结合同角三角函数基本关系式求解．
本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 3.【答案】A
【解析】
解：∵4a =，3b =，且a 与b 不共线， 向量a kb +与a kb -互相垂直，
∴()()
22
221690a kb a kb a k b k +-=-=-=，
解得43
k =±． 故选：A ．
由向量a kb +与a kb -互相垂直，得()()2
2
221690a kb a kb a k b k +-=-=-=，由此能求出k ．
本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 4.【答案】D
【解析】
解：根据题意，()f x 在区间[2，8]上是减函数，且最小值为6，即()86f =-，且()6f k ≥，又由()f x 为奇函数，
则()f x 在区间[-8，-2]上是减函数，且()86f =-，则有()6f k ≤-， 故选：D ．
由奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，分析可得答案．
本题考查函数的奇偶性、单调性的性质以及应用，注意运用奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，属于基础题． 5.【答案】C
【解析】
解：函数()237x f x x =+-，因为2x y =是增函数，37y x =-是增函数， 所以函数()237x f x x =+-是增函数．
()1
11002
f -=
-<． ()0170f =-<． ()12370f =+-<. ()24670f =+->．．
函数()237x
f x x =+-的零点所在的区间是：（1，2）．
故选：C ．
判断求解端点的函数值，利用零点判定定理求解即可． 本题考查零点判定定理的应用，是基础题． 6.【答案】C
【解析】
解：在ABC △中，由222a c b ab -+=，
可得2221
cos 222
a b c ab C ab ab +--=
==-， ∵0180C ︒<<︒，
∴120C =︒． 故选：C ．
直接由已知结合余弦定理求解．
本题考查余弦定理的应用，是基础的计算题． 7.【答案】D
【解析】
解：在ABC △中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若cos cos A b
B a
=， 可得
cos sin cos sin A A
B B
=， 可得sin 2sin 2A B =．
可得22A B =或22A B π+=， 即：A B =或2
A B π
+=；
故选：D ．
利用正弦定理转化求解三角形的角的关系，判断三角形的形状即可． 本题考查正弦定理的应用，三角形的形状的判断，考查计算能力． 8.【答案】B
【解析】
解：由261
1122x x --<⎛⎫
⎛⎫= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
，可得260x x -->，解得3x >，或2x <-，故()()23A =-∞-+∞，，
． 由()44log 1log 4x a +<=，可得04x a <+<，解得4a x a -<<-，∴B=（-a ，4-a ）． 若A
B =∅，则有2
43a a -≥-⎧⎨-≤⎩
，解得12a ≤≤，
故选：B ．
解指数不等式求得A ，解对数不等式求得B ，再根据A B =∅，求得实数a 的取值范围． 本题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，两个集合的交集的定义和运算，属于中档题． 9.【答案】D
【解析】
解：由题意可得0x <
，r OP ==
cos x r α==
再由1cos 5
α=，可得3x =-，∴44tan 3
x
α==-， 故选：D ．
根据任意角α的余弦的定义和已知条件可得x 的值，再由tan α的定义求得结果． 本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题． 10.【答案】C
【解析】
解：
()()()()()11sin 2cos cos cos 229cos sin 3sin sin 2πππαπαααππαπαπαα⎛⎫⎛⎫
-++- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎛⎫----+ ⎪
⎝⎭
=()()()()()sin cos sin sin cos sin sin sin αααααααα-----tan α=-． 故选：C ．
利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．
本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 11.【答案】B
【解析】
解：把函数()πsin 6f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
）的图象上各点的横坐标变为原来的12
（纵坐标不变），
得到()πsin 26f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
的图象，再把新得到的图象向右平移3
π个单位，
得到()ππ5sin 2sin 2366g g x x x π⎡⎤
⎛⎫⎛
⎫
==--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦的图象．
π3π,44x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，5π2π2,663x π⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦
，
所以：51sin 2,162x π⎛
⎫⎡⎤
-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．
故选：B ．
首先通过三角函数关系式的平移变换和伸缩变换求出函数的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．
本题考查的知识要点：函数的图象的伸缩变换和平移变换的应用，正弦型函数的性质的应用． 12.【答案】C
【解析】
解：∵()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，[]2,3x ∈时，()f x x =，
∴[]21x ∈--，
时， []20,1x +∈，[]42,3x +∈，
此时()()44f x f x x =+=+，
[]1,0x ∈-时，
[]0,1x -∈，[]22,3x -∈，
此时()()()22f x f x f x x =-=-=-， 综上可得：[]2,0x ∈-时，()31f x x =-+ 故选：C ．
根据已知中函数的奇偶性和周期性，结合[]2,3x ∈时，()f x x =，可得答案． 本题考查函数解析式的求法，函数的周期性，函数的奇偶性，难度中档． 13.【答案】A
【解析】
解：()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛
⎫==- ⎪⎝
⎭
，
∵函数()f x 的最大值为2，
∵()12f x =，()20f x =，且12x x -的最小值为32
π， ∴函数()f x 的周期3462
T π
π=⨯=， 由周期公式可得26T π
πω==，解得1
3
ω=， 故选：A ．
利用辅助角公式化积，结合已知得到函数的最小正周期，再由周期公式求得ω． 本题考查三角函数的最值，考查了三角函数的图象和性质，是基础题． 14.【答案】C
【解析】
解：设BC 边与Y 轴交点为M ，已知可得0.5GM =，故 1.5AM =，正三角形的
连接BG
，可得2tan 12
BGM ∠==3BGM π∠=，所以23BGA π∠=-，由图可得当23x π
=时，射
影为y 取到最小值，其大小
为（BC
A ，
B 两个选项； 又当点P 从点B 向点M 运动时，x 变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图象趋于平缓，由此可以排除D ，
C 是适合的； 故选：C ．
由题意，可通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点B 时x 的值及y 的值，再研究点P 从点B 向点C 运动时的图象变化规律，由此即可得出正确选项．
由于本题的函数关系式不易获得，可采取特值法，找几个特殊点以排除法得出正确选项，这是条件不足或正面解答较难时常见的方法． 15.【答案】B
【解析】
解：设()t f x =，则关于x 的方程()()2
610f x f x --=⎡⎤⎣⎦，等价2
610t t --=，
解得12t =或13
t =-，
当0x =时，()00f =，此时不满足方程． 若24x <≤，则22x -≤0<，即
()()()
3
1122122
x f x f x -=
-=-， 若46x <≤，则224x <-≤，即
()()(
)
5
1122124
x f x f x -=
-=-，
作出当0x >时，()121,0212,22
x x f x x -⎧-<≤⎪
⎨->⎪⎩的图象如图：
当1
2t =时，()12
f x =对应3个交点． ∵函数()f x 是奇函数， ∴当0x <时，由()13
f x =-，
可得当0x >时，()13
f x =，此时函数图象对应4个交点， 综上共有7个交点，即方程有7个根． 故选：B ．
先设()t f x =，求出方程()()2
610f x f x --=⎡⎤⎣⎦的解，利用函数的奇偶性作出函数在0x >时的图象，利用数形结合即可得到结论．
本题主要考查函数方程根的个数的判断，利用换元法，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大． 16.【答案】2
【解析】
解：0lg 2lg5π++
lg101=+
2=．
故答案为：2．
利用对数、指数的性质及运算法则直接求解．
本题考查对数式、指数式化简求值，考查对数、指数的性质及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 17.【答案】
【解析】
解：∵tan 3α=，
∴
2sin cos 2tan 12311
cos 3sin 13tan 1332
αααααα--⨯-===+++⨯．
故答案为：12
．
直接利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．
本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 18.【答案】1
【解析】
解：根据向量的投影定义，b 在a 上的投影等于cos b a <，1212
b >=⨯= 故答案为：1
根据投影的定义，应用公式cos a a <，a b
b b ⋅>=求解．
本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用． 19.【答案】(]
[),816,-∞-+∞
【解析】
解：若函数()223f x x kx =--在区间[]2,4-上具有单调性， 则24
k ≤-，或44
k ≥ 解得(]
[),816,k ∈-∞-+∞
故答案为：（-∞，-8]∪[16，+∞）
若函数()223f x x kx =--在区间[]2,4-]上具有单调性，则24k ≤-，或44
k ≥，解得答案； 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．
20.【答案】
712 【解析】
解：ABC △中设AB c =，BC a =，AC b = ∵sin cos sin B A C =⋅∴()sin sin cos A C C A += 即sin cos sin cos sin cos A C C A C A +=
∴sin cos 0A C =∵sin 0A ≠∴cos 0C =，90C =︒ ∵9AB AC ⋅=，6ABC S =△
∴cos 9bc A =，1sin 62
bc A =
∴4
tan 3
A =，根据直角三角形可得4sin 5
A =，3cos 5
A =，15bc = ∴5c =，3b =，4a =
以AC 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴建立直角坐标系可得()0,0C ，
()3,0A ，()0,4B . P 为线段AB 上的一点，则存在实数λ使得()()()13,4401CP CA CB λλλλλ=+-=-≤≤ 设
1CA e CA
=，
2CB e CB =则121e e ==，()11,0e =，()2
0,1e = 由CP x =，
()()(),00,,CA CB y
x y x y CA
CB
+=+=，
∴3x λ=，44y λ=-， 则4312x y +=．
（也可以直接利用P 为线段AB 上的一点，三点共线，可得：134
x
y
+
=，）
()111111347437+121212y x x u x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=+≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
故所求的最小值为712+．
故答案为：
712+． 设AB c =，BC a =，AC b =，由s sin cos sin B A C =⋅结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求90C =︒，再由9AB AC ⋅=，6ABC S =△，可求得5c =，3b =，4a =，考虑建立直角坐标系，由P 为线段AB 上的一点，则存在实数λ使得()()()13,4401CP CA CB λλλλλ=+-=-≤≤，设出单位向量
1CA e CA
=，
2CB e CB
=，()11,0e =，()2
0,1e =推出3x λ=，44y λ=-则4312x y +=，而利用11
x y
+，利用基本不等式求解最小值．
本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解把已知所给的向量关系，建立x ，y 与λ的关系，解决本
题的第二个关键点在于由3x λ=，44y λ=-发现4312x y +=为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值．
21.【答案】解：（1）∵集合()(){}|320x x A x +-=≤，{}14|B x x =≤≤，．
∴{}|12A
B x x =≤≤．
（2）{}|32U A x x x =<->或ð， ∴()
{}|32U A B x x x =<->或ð．
【解析】
（1）求出集合A ，B ，由此能求出A∩B ．
（2）求出{}|32U A x x x =<->或ð，由此能求出()
R A B ð． 本题考查交集、补集、并集的求法，考查交集、补集、并集定义等基础知识，是基础题．
22.【答案】解：（1）∵
sin cos b A
a B
．
又∵由正弦定理sin sin a b A B =，可得：s in in s b a
B A
=，
∴可得：
sin tan cos B
B B
= ∵B ∈（0，π），
∴3
B π
=
．
（2）由sin 2sin C A =及正弦定理sin sin a b
A B
=，得c =2a ，①．
又b =3
B π
=
，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2212a c ac =+-，②
由①②得2a =，4c =． 【解析】
（1）由正弦定理化简已知等式可得tan B 的值，结合范围B ∈（0，π），利用特殊角的三角函数值即可求得B 的值．
（2）由已知及正弦定理可得2c a =，利用余弦定理可求229a c ac =+-，联立即可解得a ，c 的值， 本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．
23.【答案】解：（1）函数()23
cos cos 2
f x x x x -+．
1cos 23222
x x ++=
-， 216sin x π⎛
⎫-+ ⎪⎝
⎭=，
令2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤-
≤+
()k Z ∈，
解得：6
3
k x k π
π
ππ-
+≤≤+
()k Z ∈，
故函数的单调递增区间为：6
3k k π
πππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦， ()k Z ∈．
（2）由于()πsin 216f x x ⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭，
所以()sin 216f παα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=，()216sin f πββ⎛
⎫-+ ⎪⎝
⎭=，
角α，β的终边不共线，
所以223
π
αβπ+-=，
整理得23
παβ+=
，
所以()tan αβ+= 【解析】
（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单调区间．
（2）利用（1）的函数关系式，进一步建立α和β的关系式，最后求出函数的值． 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用． 24.【答案】解：（1）2cos 1a α==，同理1b =．
∵25
a b -=
， 2225
2a b a b +-⋅=，化为()422cos cos sin sin 5αβαβ-+=，
∴()3
cos 5
αβ-=．
（2）∵π02α<<
，π02β-<<，且5
sin 13
β=-，
∴0αβπ<-<，12cos 13
β．
∴()4sin 5
αβ=
-． ∴()sin sin ααββ=-+⎡⎤⎣⎦
()()sin cos cos sin αββαββ=-+-
4123533
51351365
⎛⎫⨯+⨯-= ⎪=
⎝⎭ 【解析】
（1）2cos 1a α=，同理1b =．利用数量积运算性质25
a b -=，可得
2225
2a b a b +-⋅=
，展开即可得出；
（2）由π02α<<，π02β-<<，且5
sin 13
β=-
，可得0αβπ<-<，cos β
()sin βα-()sin sin ααββ=-+⎡⎤⎣⎦展开即可得出．
本题考查了数量积运算及其性质、同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦余弦公式，考查了推理能力和技能数列，属于中档题． 25.【答案】解：（1）()()22f x f x x +-=
当0x ≥时，22201x x x ≤⇒≤≤， 当0x <时，22210x x x ≤-⇒-≤＜， ∴集合[]1,1C =-．
（2）()()()2
11101110x x x x f a a a a a +--=⇒---=，令x a u =
则方程为()()2
1110h u u a u =---=，()011h =-，x u a =，[]1,1x ∈-，对称轴1
2
x a =
- 当2a >时，1,u a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0h u =在1,a a ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上有解，对称轴112a a a -<
< 函数在区间1,a a ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦内先单调递减，再单调递增
此时()11002a h h h a -⎛⎫⎛⎫
<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
则()110h a a =-≥即可 解得：11a ≥
当12a <≤时，1,u a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0h u =在1,a a ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有解，对称轴112a a a -<< 函数在区间1,a a ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦内单调递增
则()()22111
1110
111110
h a a
a a h a a a a ⎧⎛⎫=-+-≤⎪ ⎪⇒≥⎝⎭⎨⎪=---≥⎩
，又12a <≤ 此时无解
当01a <<时，1,u a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0h u =在1,a a ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有解，对称轴1102a a a -<<< 函数在区间1,a a ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦内单调递增
则()21211
1110
103110
h a a
a a h a a ⎧⎛⎫=-+-≥⎪ ⎪⇒≤⎝⎭⎨⎪=-≤⎩
＜， ∴当1
03
a ≤＜或11a ≥时，方程在C 上有解，且有唯一解． 【解析】
（1）直接把函数()2
f x x x =+代入不等式，化简解答即可．
（2）先把函数()2f x x x =+代入方程()111x x f a a +--（0a >且1a ≠），方程()
1
11x x f a a +--（0a >且1a ≠）
在C 上有解，转化为x a 在某一范围上有解，利用根的存在性定理，解答即可．
本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．。