高中数学苏教版必修2课件：第一章 第3节 第2课时 空间几何体的体积

1．求柱、锥、台的体积要注意底面积与高的确定，必要 时注意分割．
2．柱体、锥体、台体之间体积公式的关系
3．要求球的表面积，只需求出球的半径． 4．球的体积与球的半径的立方成正比，即球的体积是关 于球的半径的增函数．
[例 1] (1)底面为正三角形的直棱柱的侧面的一条对角线长 为 2.且与该侧面内的底边所成的角为 45°，求此三棱柱的体积．
[例 2] 圆台上底的面积为 16π cm2，下底半径为 6 cm，母 线长为 10 cm，那么，圆台的侧面积和体积各是多少？
[思路点拨] 解答本题作轴截面可以得到等腰梯形，为了得 到高，可将梯形分割为直角三角形和矩形，利用它们方便地解 决问题．
[精解详析] 如图，由题意可知，圆台的上底圆 半径为 4 cm，
1．求柱、锥、台体的体积时，由条件画出直观图，然后 根据几何体的特点恰当进行割补，可能使复杂问题变得直观 易求．
2．求球与多面体的组合问题，通过多面体的一条侧棱和 球心，或“切点”“接点”作出截面图．
3．球的截面是一个圆面、圆心与球心的连线与截面圆垂 直，且满足d＝ R2－r2(d为球心到截面圆的距离)．
在 Rt△OO1A 中，R2＝x2＋202， 在 Rt△OO2B 中，R2＝(x＋9)2＋72， 所以，x2＋202＝(x＋9)2＋72，解得 x＝15. 即 R2＝x2＋202＝252.故 S 球＝4πR2＝2 500π. 所以，球的表面积为 2 500π cm2. (2)当截面位于球心 O 的两侧时，如图所示为球 的 轴 截 面 ． 由 球 的 截 面 性 质 知 ， O1A ∥ O2B ， 且 O1，O2 分别为两截面圆的圆心，则 OO1⊥AO1， OO2⊥O2B.设球的半径为 R.
3．正四棱台两底面边长为 20 cm 和 10 cm，侧面积为 780 cm2， 求其体积． 解：如图所示，正四棱台 ABCD-A1B1C1D1 中，A1B1＝10 cm，AB＝20 cm.取 A1B1 的 中点 E1，AB 的中点 E，连结 E1E，则 E1E 是侧面 ABB1A1 的高．设 O1，O 分别是上， 下底面的中心，则四边形 EOO1E1 是直角梯形．
∵正三棱柱的面对角线 AB1＝2. ∠B1AB＝45°.
∴AB＝2×sin 45°＝ 2＝BB1.
∴V 三棱柱＝S△ABC·BB1＝ 43×(2Fra bibliotek2×2＝
6 2.
(2)在△PAD 中，PA＝AD＝1，PD＝ 2，
∴PA2＋AD2＝PD2.
∴PA⊥AD，又 PA⊥CD，且 AD∩CD＝D， ∴PA⊥平面 ABCD，从而 PA 是底面 ABCD 上的高， ∴V 四棱锥＝13S 正方形 ABCD·PA＝13×12×1＝13. [一点通] 求柱体、锥体的体积，关键是求其高，对 柱体而言，高常与侧棱、斜高及其在底面的射影组成直角 三角形，对棱锥而言，求高时，往往要用到线面垂直的判 定方法，因为棱锥的高实际上是顶点向底面作垂线，垂线 段的长度．
1．一圆锥母线长为 1，侧面展开图圆心角为 240°，则该圆锥的 体积为________． 解析：设圆锥侧面展开图的弧长为 l， 则 l＝240°1×80π°×1＝43π. 设圆锥的底面半径为 r，则43π＝2πr，r＝23. V＝π3·(23)2· 12－49＝43π3 · 59＝4815 π.
观察下列几何体：
问题 1：你能否求出上述几何体的体积吗？ 提示：能． 问题 2：要求上述几何体的体积，需要知道什么？ 提示：底面积和高．
柱体、锥体、台体的体积公式
(1)柱体体积：V 柱体＝_S_h_.其中 S 为柱体的底面积，h 为高． 1
(2)锥体体积：V 锥体＝_3_S_h_.其中 S 为锥体的底面积，h 为高． (3)台体体积：V 台体＝_13_h_(_S_＋____S_S_′__＋__S_′__)．其中 S，S′分
(2)如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝ 2.求此四棱 锥的体积．
[思路点拨] (1)由条件求出高和底面边长，再利用公式 求体积；(2)解本题的关键是求四棱锥的高，可证明 PA⊥底面 ABCD，再利用公式求体积．
[精解详析] (1)如图，由条件知此三棱柱为正三棱柱．
于是 S 圆台侧＝π(r＋r′)l＝100π(cm2)． 圆台的高 h＝BC ＝ BD2－OD－AB2 ＝ 102－6－42＝4 6(cm)， V 圆台＝13h(S＋ SS′＋S′)＝13×4 6×(16π＋ 16π×36π ＋36π)＝3043 6π(cm3)．
[一点通] 求台体的体积关键是求高，为此常将有关计 算转化为平面图形(三角形或特殊四边形)来计算．对于棱台 往往要构造直角梯形和直角三角形；在旋转体中通常要过旋 转轴作截面得到直角三角形、矩形或等腰梯形．
因为圆 O2 的面积为 49π， 即 π·O2B2＝49π，所以 O2B＝7. 同理，因为 π·O1A2＝400π，所以 O1A＝20. 设 O1O＝x，则 OO2＝(9－x)． 在 Rt△OO1A 中，R2＝x2＋202， 在 Rt△OO2B 中，R2＝(9－x)2＋72. 所以 x2＋400＝(9－x)2＋49，解得 x＝－15，不合题意， 舍去． 综上所述，球的表面积为 2 500π cm2.
提示：比赛中的足球是空心的，而数学中的球是实体球．
问题 2：给你一个足球能否计算出这个足球表皮面积和体积？
提示：能，只要知道球的半径即可求出．
1．球的表面积 设球的半径为 R，则球的表面积 S＝_4_π_R_2_，即球的表面积等 于它的大圆面积的_4_倍． 2．球的体积 设球的半径为 R，则球的体积 V＝_43_π_R__3 .
别为台体的两底面面积，h 为台体的高.
2009 年 12 月 4 日，阿迪达斯和国际足联在开普敦共同发布 2010 年南非世界杯官方比赛用球“JABULANI”，“JABULANI” 源于非洲祖鲁语，意为“普天同庆”，新的比赛用球在技术上取 得历史性突破，设计上融入了南非元素．
问题 1：根据球的形成定义，体育比赛中用到的足球与数学 中的球有何不同？
[一点通] 球的截面性质：球心与截面圆心的连线垂直 于截面，本题利用球的截面将立体几何问题转化为平面几 何问题，借助于直角三角形中的勾股定理解决问题．
4．(新课标全国卷Ⅰ)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方 体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内 注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，如果不计 容器的厚度，则球的体积为________ cm3.
[例 3] 一个球内有相距 9 cm 的两个平行截面，它们的 面积分别为 49π cm2 和 400π cm2.求球的表面积．
[思路点拨] 由于题中没有说明截面的位置，故需分类 讨论．
[精解详析] (1)当截面在球心的同侧时，如图所示为球 的轴截面．由球的截面性质知，AO1∥BO2，
且 O1，O2 分别为两截面圆的圆心， 则 OO1⊥AO1，OO2⊥BO2. 设球的半径为 R. 因为圆 O2 的面积为 49π， 即 π·O2B2＝49π，所以 O2B＝7. 同理，因为 π·O1A2＝400π，所以 O1A＝20. 设 OO1＝x，则 OO2＝(x＋9)．
S 侧＝4×12×(10＋20)·E1E，即 780＝60E1E，解得 E1E＝13 cm. 在直角梯形 EOO1E1 中，O1E1＝12A1B1＝5 cm，OE＝12AB＝10 cm，所以 O1O＝ E1E2－OE－O1E12＝ 132－52＝12(cm)． 所以 V＝13×12×(102＋202＋ 102×202) ＝2 800(cm3).
解析：设球半径为 R cm，根据已知条件知正方体的上底面与 球相交所得截面圆的半径为 4 cm，球心到截面的距离为(R－ 2) cm，所以由 42＋(R－2)2＝R2，得 R＝5，所以球的体积 V＝ 43πR3＝43π×53＝5030π cm3. 答案：5030π
5．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所
答案：4815π
2．一个正方体和一个圆柱等高并且侧面积相等，则正方体与圆 柱的体积之比为________．
解析：设正方体棱长为 1，则 S ＝S 正方体侧 圆柱侧＝4， 设圆柱的底面半径为 r，则 2πr×1＝4，r＝π2， V 正方体＝1，V 圆柱＝ππ22·1＝π4. ∴V 正方体∶V 圆柱＝π∶4. 答案：π∶4
得截面的面积与球的表面积的比为________． 解析：过球心作球的截面，如图所示，设球的
半径为R，截面圆的半径为r，则有r＝
R2－R2 2＝ 23R，
则球的表面积为4πR2，截面的面积为π
23R 2＝
3 4
πR2，所以
截面的面积与球的表面积的比为344ππRR22＝136.
答案：136
6．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3,4,5，且它的 八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积和体积 是多少？ 解：设球的半径为R， 则由已知得(2R)2＝32＋42＋52， 故R2＝225，∴R＝52 2，∴S球＝4πR2＝50π， ∴V球＝43πR3＝43π·(52 2)3＝1235 2π.