2021河科大离散数学考研真题试题

2021河科大离散数学考研真题试题
河南科技大学
2021年硕士研究生入学考试试题答案及评分标准
考试科目代码：652考试科目名称：离散数学
一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)
在每小题列举的对备选项中只有一个就是合乎题目建议的，错选、多挑选或未选均无分。

1-5：adbdc6-10：cdbab11-15：adabb
二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
1.?p?q或?q?p
2.1
3.p真值为1，q的真值为0
4.(?p?s?r)?(?p??s?r)
5.r={<2,3>,<2,4>,<2,5>,<2,6>,<3,4>,<3,5>,<3,6>,<5,6>}
6.{?,{{?,2}},{{2}},{{?,2} ,{2}}}
7.{,,,,}?ia
8.β，γ
9.2(nt?1)10.v?e?r?2
三、计算题(本大题共5小题，每小题8分后，共40分后)
1．利用主析取范式，求公式?(p?q)?q?r的类型。

(注：重言式、矛盾式或可满足式)
求解：
(pq)qr(pq)(qr)(pq)(qr)pqqrf(6分)
它此非真赋值，所以为矛盾式。

(2分后)
2．给定解释i：d={2，3}，l（x,y）为l(2,2)=l(3,3)=1,l(2,3)=l(3,2)=0，求在解释i下?y?xl(x,y)的真值。

解：
(2分后)(2分后)
yxl(x,y)y(l(2,y)l(3,y))(l(2,2)l(3,2))(l(2,3)l(3,3))(10)(01)0 00
(2分后)(2分后)
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3．设g??z12,??就是模12的整数加群，谋g的生成元和所有子群
解：(1)?(12)?4，小于12且与12互质的数是1,5,7,11；所以，g的生成元是
1,5,7,11(2分)(2)12的正因子有1,2,3,4,6,12，则z12的子群有：11121?0?{0}1阶子群
(1分)?6?{0,6}2阶子群(1分)?4?{0,4,8}3阶子群(1分)?3?{0,3,6,9}4阶子群(1
分)?2?{0,2,4,6,8,10}6阶子群(1分)
1{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}12阶子群(1分后)
1221112312411
12612124．谋右图的邻接矩阵和仅约矩阵。

解：(1)求邻接矩阵(4分)
01a(g)10000000110000001000000
0000??0??0100??1a3(g)??000000000??0?00000??(1
分)?0000??0000?0000??0000?0000??(1分)
(2)谋仅约矩阵
01a2(g)010a4(g)o55(1分)
所以可以超过矩阵
01paa2a3a411000000110000001000000(1分)
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5.如下图所示的赋权图表示某七个城市v1,v2,?,v7及预先算出它们之间的一些直接通信线路造价，试给出一个设计方案，使得各城市之间能够通信而且总造价最小，并计算其总造价。

求解：(1)用kruskal算法谋产生的最优一棵。

算法为：
w(v1,v7)?1w(v7,v2)?4w(v7,v3)?9w(v3,v4)?3w(v4,v5)?17w(v1,v6)?23结果如图：
挑选e1?v1v7挑选e2?v7v2挑选e3?v7v3挑选e?v3v4挑选e?v4v5挑选e?v1v6
(3分)
(3分后)
(2)树权c(t)=23+1+4+9+3+17=57即为总造价。

(2分)
四、证明题(本大题共3小题，每小题10分后，共30分后)
1．设论域d={a,b,c}，求证：?xa(x)??xb(x)??x(a(x)?b(x))。

证明：
xa(x)xb(x)(a(a)a(b)a(c)(b(a)b(b)b(c)(a(a)b(a))(a(a)b(b))(a(a )?b(c))?(a(b)?b(a))?(a(b)?b(b))?(a(b)?b(c))?(a(c)?b(a))?(a(c)?b(b))?(a(c)?b(c) )?(a(a)?b(a))?(a(b)?b(b))?(a(c)?b(c)??x(a(x)?b(x))
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(3分后)(3分后)(3分后)
(1分)
c?a,存有?a,c??r且?c,b??r)}2．设r就是a上一个二元关系，
s?{?a,b?|(a,b?a)?(对于某一个先行证明：若r就是a上一个等价关系，则s也就是a上的一个等价关系。

证明：
（1）s二元关系的(3分后)
aa，由r自反，?(?a,a??r)?(?a,a??r)，??a,a??s
（2）s等距的(3分后)
a,baa,bs(a,cr)(c,br)((ac,,carr))((bc,cbrr)) b,a??s（3）s传递的(3分)
s定义?r等距?r传达
a,b,caa,bsb,cs(a,dr)(d,br)(b,er)(e,cr)(a,br) (?b,c??r)??a,c??s
3.设立就是一代数系统，*就是r上二元运算，?a,b?r，a?b?a?b?a?b，则0就是幺元且就是独异点。

证明：
[幺]?a?r，0*a?0?a?0?a?a,a*0?a?0?a?0
即0*a?a*0?a?0为幺元(3分后)
[乘]?a,b?r，由于+，在r封闭。

所以a*b?a?b?a?b?r，即*在r上封闭。

(3分)[半群]?a,b,c?r
r传达?s定义
由（1）、（2）、（3）得；s是等价关系。

(1分)
(a*b)*c?(a?b?a?b)*c?a?b?a?b?c?(a?b?a?b)?c?a?b?c?a?b?a?c?b?c?a?b?ca*(b*c)?a?b?c abacbcabc所以(a*b)*c?a*(b*c)因此，〈r，*〉就是独异点。

(1分后)
五、应用题(本大题共2小题，每小题15分，共30分)
1．假设英文字母a，e，h，n，p，r，w，y发生的频率分别为12%，8%，15%，7%，6%，10%，5%，10%，谋传输它们的最佳后缀码，并得出happynewyear的编码信息。

解：(1)根据权数构造最优二叉树：(5分)
(3分后)
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(2)传输它们的最佳后缀码如上图右图，(5分后)a―011；e―111；h―10；n―110；p―0101；r―000；w―0100；y―001
(3)happynewyear的编码信息为：(5分)
10011010101010011101110100001111011000
附：最优二叉树求解过程如下：
2．设立子集a={a,b,c,d}上关系r={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}，恳请写下r的关系
矩阵mr和关系图gr，用矩阵运算算出r的传达闭合纸盒t(r)。

解：(1)r的关系矩阵mr
01mr00
100001000??0?1??0??(4分)
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(2)r的关系图gr
(4分后)
(3)用矩阵运算求r的传递闭包t(r)
1010?m101r2?m?0r?mr?0000?0000?(1分
后)??0101?m?m?1010??r3?mr2r00000000(1分
后)??1010?m?m?0101??r4?mr3r00000000(1分
后)??1111?m??1111t(r)?mr?mr2?mr3?mr4?00010000(1分后)
所以，t(r)={,,<a,c>,,,<b,b>,<b,c.>,<b,d>,<c,d>}
第6页（共6页）分)(3。