2021_2022年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2
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又∵ EF 平面BB1DD1，Ｄ1Ｏ 平面 BB1DD1
E
F
O
∴ＯＥ DC,Ｄ1Ｆ Ｃ1Ｄ1 ∴Ｄ1Ｆ ＯＥ
=
∥
=
∥
=
∥
P
Q
M、N 是AC，BF上的点且AM=FN
D
A
N
M
C
B
F
E
MP = NQ MP ∥ NQ
求证：MN ∥面BCE
引申
1）‘直线和另一直线平行，它就和经过另一 直线的任何平面平行’。判断并说明理由。
——直线与平面平行
记作：a∥ α
记作：a α
∩
α
a
α
a
直线不在平面内
记作：a α
∩
知识点
a
b
源于生活
天花板平面
a
α
b
如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行
何时用：判断或证明线面平行时
关键：在平面内找(或作)一条直线与面外的直线平行
D
A
N
M
C
B
F
E
所以： MN ∥面BCE
2.已知E、F分别为正方体ABCD-A1B1C1D1棱BC、Ｃ1Ｄ1的中点，求证:EF ∥平面BB1DD1
D
A
B
C
A1
C1
D1
B1
证明：取BD中点O，则OE 为△ BDC 的中位线
∴Ｄ1ＯＥＦ为平行四边形
∴EF ∥Ｄ1Ｏ
∴ EF ∥平面BB1DD1
2）平面α与直线a,则α 中至少有一条直线与a （ ）
A平行 B异面 C相交 D垂直
3）直线a与平面α内无数条直线平行，则a与平面α的位置关系( )
(错)
判断下列命题是否正确，若正确，请简述理由，若不正确，请给出反例
(1)如果a、b是两条直线，且a∥b,那么a 平行于经过b的任何平面；
F
分析：要证明线面平行只需证明线线平行，即在平面BCD内找一条直线 平行于EF，由已知的条件怎样找这条直线？
定理应用
证明：连结BD. ∵AE=EB,AF=FD ∴EF∥BD（三角形中位线性质）
例1. 如图，空间四边形ABCD中， E、F分别是 AB，AD的中点. 求证：EF∥平面BCD.
（2）如果直线a和平面α 满足a∥平面α ,那么a 与平面α内的任何直线平行
（3）如果直线a、b和平面α 满足a ∥ α,b ∥ α,那么a ∥ b ;
(4)如果直线a、b和平面α 满足a ∥ b,a ∥ α,b α, 那么 b ∥ α;
(5)过平面外一点和这个平面平行的直线只有一条
（2）若两直线a、b相交，且a ∥ α，则b与α的位置关系可能是
人教版 必修2
第二章 点、直线平面之间的位置关系
2.2 直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面的判定
直线与平面的位置关系
1.直线与平面有无数多个公共点
——直线在平面内
2 直线与平面只有一个公共点
——直线与平面相交
A
α
a
记作: a∩α =A
3 直线与平面没有公共点
b ∥ α，b与 α相交
b ∥ α，或b α，
或b与 α相交
（1）若两直线a、b异面，且 a ∥ α,则b与α的位置关系可能是
填空
判定定理
2、线线平行
线面平行
线线平行是条件的核心.
3、判定线ห้องสมุดไป่ตู้平行的常用方法：
（1）定义法（ 2）判定定理
1.线面平行的判定定理的数学符号表示，其中三个条件缺一不可.
例1. 如图，空间四边形ABCD中，E、F分别是 AB，AD的中点. 求证：EF∥平面BCD.
A
B
C
D
E
A
B
D
E
F
如图，在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，若 ，则EF与平面BCD的位置关系是 .
EF//平面BCD
变式1
A
B
C
D
E
D
1
C
1
B
1
A
1
D
C
B
A
O
1.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，求证:BD1//平面AEC.
巩固练习
2 两个全等的正方形ABCD、ABEF不在同 一平面内,M、N是对角线AC、BF的中点 求证：MN ∥面BCE
分析：连接AE,CE 由M、N是中点知： MN ∥ CE
B
D
F
O
如图,四棱锥A—DBCE中,O为底面正方形DBCE对角线的交点,F为AE的中点. 求证:AB//平面DCF.
证明:连结OF,
A
E
变式3
证明:连结BD交AC于O,连结EO. ∵O 为矩形ABCD对角线的交点, ∴DO=OB, 又∵DE=ED1, ∴BD1//EO.
E
F
变式2
A
B
C
D
F
O
E
如图,四棱锥A—DBCE中,O为底面正方形DBCE对角线的交点,F为AE的中点. 求证:AB//平面DCF
分析:连结OF,
可知OF为
△ABE的中位线,所以得到AB//OF.
∵ O为正方形DBCE 对角线的交点, ∴BO=OE, 又AF=FE, ∴AB//OF,
E
F
O
∴ＯＥ DC,Ｄ1Ｆ Ｃ1Ｄ1 ∴Ｄ1Ｆ ＯＥ
=
∥
=
∥
=
∥
P
Q
M、N 是AC，BF上的点且AM=FN
D
A
N
M
C
B
F
E
MP = NQ MP ∥ NQ
求证：MN ∥面BCE
引申
1）‘直线和另一直线平行，它就和经过另一 直线的任何平面平行’。判断并说明理由。
——直线与平面平行
记作：a∥ α
记作：a α
∩
α
a
α
a
直线不在平面内
记作：a α
∩
知识点
a
b
源于生活
天花板平面
a
α
b
如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行
何时用：判断或证明线面平行时
关键：在平面内找(或作)一条直线与面外的直线平行
D
A
N
M
C
B
F
E
所以： MN ∥面BCE
2.已知E、F分别为正方体ABCD-A1B1C1D1棱BC、Ｃ1Ｄ1的中点，求证:EF ∥平面BB1DD1
D
A
B
C
A1
C1
D1
B1
证明：取BD中点O，则OE 为△ BDC 的中位线
∴Ｄ1ＯＥＦ为平行四边形
∴EF ∥Ｄ1Ｏ
∴ EF ∥平面BB1DD1
2）平面α与直线a,则α 中至少有一条直线与a （ ）
A平行 B异面 C相交 D垂直
3）直线a与平面α内无数条直线平行，则a与平面α的位置关系( )
(错)
判断下列命题是否正确，若正确，请简述理由，若不正确，请给出反例
(1)如果a、b是两条直线，且a∥b,那么a 平行于经过b的任何平面；
F
分析：要证明线面平行只需证明线线平行，即在平面BCD内找一条直线 平行于EF，由已知的条件怎样找这条直线？
定理应用
证明：连结BD. ∵AE=EB,AF=FD ∴EF∥BD（三角形中位线性质）
例1. 如图，空间四边形ABCD中， E、F分别是 AB，AD的中点. 求证：EF∥平面BCD.
（2）如果直线a和平面α 满足a∥平面α ,那么a 与平面α内的任何直线平行
（3）如果直线a、b和平面α 满足a ∥ α,b ∥ α,那么a ∥ b ;
(4)如果直线a、b和平面α 满足a ∥ b,a ∥ α,b α, 那么 b ∥ α;
(5)过平面外一点和这个平面平行的直线只有一条
（2）若两直线a、b相交，且a ∥ α，则b与α的位置关系可能是
人教版 必修2
第二章 点、直线平面之间的位置关系
2.2 直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面的判定
直线与平面的位置关系
1.直线与平面有无数多个公共点
——直线在平面内
2 直线与平面只有一个公共点
——直线与平面相交
A
α
a
记作: a∩α =A
3 直线与平面没有公共点
b ∥ α，b与 α相交
b ∥ α，或b α，
或b与 α相交
（1）若两直线a、b异面，且 a ∥ α,则b与α的位置关系可能是
填空
判定定理
2、线线平行
线面平行
线线平行是条件的核心.
3、判定线ห้องสมุดไป่ตู้平行的常用方法：
（1）定义法（ 2）判定定理
1.线面平行的判定定理的数学符号表示，其中三个条件缺一不可.
例1. 如图，空间四边形ABCD中，E、F分别是 AB，AD的中点. 求证：EF∥平面BCD.
A
B
C
D
E
A
B
D
E
F
如图，在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，若 ，则EF与平面BCD的位置关系是 .
EF//平面BCD
变式1
A
B
C
D
E
D
1
C
1
B
1
A
1
D
C
B
A
O
1.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，求证:BD1//平面AEC.
巩固练习
2 两个全等的正方形ABCD、ABEF不在同 一平面内,M、N是对角线AC、BF的中点 求证：MN ∥面BCE
分析：连接AE,CE 由M、N是中点知： MN ∥ CE
B
D
F
O
如图,四棱锥A—DBCE中,O为底面正方形DBCE对角线的交点,F为AE的中点. 求证:AB//平面DCF.
证明:连结OF,
A
E
变式3
证明:连结BD交AC于O,连结EO. ∵O 为矩形ABCD对角线的交点, ∴DO=OB, 又∵DE=ED1, ∴BD1//EO.
E
F
变式2
A
B
C
D
F
O
E
如图,四棱锥A—DBCE中,O为底面正方形DBCE对角线的交点,F为AE的中点. 求证:AB//平面DCF
分析:连结OF,
可知OF为
△ABE的中位线,所以得到AB//OF.
∵ O为正方形DBCE 对角线的交点, ∴BO=OE, 又AF=FE, ∴AB//OF,