2020—2021年北师大版七年级数学下册5.3 第3课时 角平分线的性质教案(精品教学案).doc

第3课时角平分线的性质
1．经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理；(重点)
2．能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题．(难点)
一、情境导入
问题：在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．
问题1：怎样修建道路最短？
问题2：往哪条路走更近呢？
二、合作探究
探究点一：角平分线的性质
【类型一】利用角平分线的性质证明线段相等
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，∠FDC＝∠BDE.试说明：(1)CF＝EB；(2)AB ＝AF＋2EB.
解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离，即DE ＝DC.再根据△CDF ≌△EDB ，得CF ＝EB ；(2)利用角平分线的性质可得△ADC 和△ADE 全等，从而得到AC ＝AE ，然后通过线段之间的相互转化进行求解．
解：(1)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DE ＝DC.∵在△CDF 和△EDB
中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠C ＝∠DEB ＝90°，DC ＝DE ，∠FDC ＝∠BDE ，
∴△CDF ≌△EDB(ASA)．∴CF ＝EB ； (2)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴∠CAD ＝∠EAD ，∠ACD ＝∠AED ＝
90°.在△ADC 和△ADE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠CAD ＝∠EAD ，∠ACD ＝∠AED ，AD ＝AD ，
∴△ADC ≌ △ADE(AAS)，∴AC ＝AE ，∴AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋EB ＝AF ＋CF ＋EB ＝AF ＋2EB.
方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在运用时一定要注意是两条垂线段相等．
【类型二】 角平分线的性质与三角形面积的综合运用
如图，AD是△ABC的角平分线，DE ⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是( )
A．6 B．5 C．4 D．3
解析：过点D作DF⊥AC于F.∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，∴
S△ABC＝1
2
×4×2＋
1
2
AC×2＝7，解得AC＝3.故选D.
方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出
线段的长度是常用的方法．
【类型三】 角平分线的性质与全等三角形综合
如图所示，D 是△ABC 外角∠ACG 的平
分线上的一点．DE ⊥AC ，DF ⊥CG ，垂足分别为E ，F.试说明：CE ＝CF.
解析：由△DEC ≌△DFC 得出CD 平分∠EDF ，根据角平分线的性质，得出CE ＝CF.
解：∵CD 是∠ACG 的平分线，∴∠ECD ＝∠FCD.在△DEC 和△DFC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠DEC ＝∠DFC ＝90°，∠ECD ＝∠FCD ，
DC ＝DC ，
∴△DEC ≌△DFC(AAS)，∠EDC ＝∠FDC.又∵DE ⊥AC ，DF ⊥CG ，∴CE ＝CF.
方法总结：全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据，可作为判定三角形全等的条件．
【类型四】角平分线的性质与线段垂直平分线性质的综合运用
如图，在四边形ADBC中，AB与CD 互相垂直平分，垂足为点O.
(1)找出图中相等的线段；
(2)OE，OF分别是点O到∠CAD两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．
解析：(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段；(2)由条件可得△AOC≌△AOD，可得AO平分∠DAC，根据角平分线的性质可得OE＝OF.
解：(1)∵AB 、CD 互相垂直平分，∴OC ＝OD ，AO ＝OB ，AC ＝BC ＝AD ＝BD ；
(2)OE ＝OF ，理由如下：在△AOC 和△AOD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AD ，OC ＝OD ，AO ＝AO ，
∴△AOC ≌△AOD(SSS)，∴∠CAO ＝∠DAO.又∵OE ⊥AC ，OF ⊥AD ，∴OE ＝OF.
方法总结：本题是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质的综合，掌握它们的适用条件和表示方法是解题的关键．
【类型五】 角平分线的性质与等腰三角形的性质综合的探究性问题
如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，
∠BAC ＝90°，BE 是∠ABC 的平分线，DE ⊥BC ，垂足为D.
(1)请你写出图中所有的等腰三角形；
(2)请你判断AD 与BE 垂直吗？并说明理由．
(3)如果BC ＝10，求AB ＋AE 的长．
解析：(1)由△ABC 是等腰直角三角形，BE 为角平分线，可得△ABE ≌△DBE ，即AB ＝BD ，AE ＝DE ，所以△ABD 和△ADE 均为等腰三角形．由∠C ＝45°，ED ⊥DC ，可知△EDC 也是等腰三角形；(2)BE 是∠ABC 的平分线，AE ⊥AB ，DE ⊥BC ，根据角平分线定理可知△ABE 关于BE 与△DBE 对称，可得出BE ⊥AD ；(3)根据(2)，可知△ABE 关于BE 与△DBE 对称，且△DEC 为等腰直角三角形，可推出AB ＋AE ＝BD ＋DC ＝BC ＝10.
解：(1)△ABC ，△ABD ，△ADE ，△EDC ；
(2)AD 与BE 垂直．理由如下：由BE 为∠ABC 的平分线，知∠ABE ＝∠DBE.又∵∠BAE ＝∠BDE ＝90°，BE ＝BE ，∴△ABE 沿BE 折叠，一定与△DBE 重合，∴A 、D 是对称点，∴AD ⊥BE ；
(3)∵BE 是∠ABC 的平分线，∴∠ABE ＝∠DBE ，∵DE ⊥BC ，EA ⊥AB ，∴∠BAE ＝∠BDE.
在△ABE 和△DBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABE ＝∠DBE ，∠BAE ＝∠BDE ，BE ＝BE ，
∴△ABE ≌△DBE(AAS)，∴AB ＝BD ，AE ＝DE.又∵△
ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴∠C＝45°.又∵ED⊥BC，∴△DCE为等腰直角三角形，∴DE＝DC＝AE，即AB＋AE＝BD＋DC＝BC＝10.
探究点二：角平分线的画法
如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于
AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E、F为圆心，大于1
2
EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M.若∠ACD＝120°，求∠MAB的度数．
解析：根据AB∥CD，∠ACD＝120°，得出∠CAB＝60°.再根据尺规作图得出AM是∠CAB的平分线，即可得出∠MAB的度数．
解：∵AB ∥CD ，∴∠ACD ＋∠CAB ＝180°.又∵∠ACD ＝120°，∴∠CAB ＝60°.由尺规作图
知AM 是∠CAB 的平分线，∴∠MAB ＝12
∠CAB ＝30°. 方法总结：通过本题要掌握角平分线的作图步骤，根据作图明确AM 是∠BAC 的角平分线是解题的关键．
三、板书设计
1．角平分线的性质：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
2．角平分线的作法
本节课由于采用了动手操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生对角以及角平分线的性质的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生在性质的运用上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步的加强巩固和训练。