电路(汪晶慧)第十章

M=4H
b
2H
3H
M=1H
电气学院学习部资料库
§10-3 空心变压器
I1
+
j M R1 * * R2 j L 1 j L 2
US
I2
Z=R+jX
–
初级线圈（原边）+次级线圈（副边）
Z11I 1 + jM I 2 U S jM I 1 + Z 22 I 2 0
原边回路抗阻 Z11=R1+j L1 付边回路阻抗 Z22=(R2+R)+j(L2+X)
Pmax
U oc (50 2) 2 25W 4 Req 电气学院学习部资料库 4 50
i2 2 °
i3
° 3
电气学院学习部资料库
例：
i
+ u – M
i1 * L1
*
i2 L2
I
jM j(L1－M)
I1
I2
j(L2－M)
电气学院学习部资料库
例：
i1 + u – * L1 M i2
*
L2
+ u –
I1
j(L1－M) jM
I2
j(L2－M)
电气学院学习部资料库
例：
M=3H a 2H 4H 0.5H b 6H a 5H 6H
第十章 含有耦合电感的电路
重点：
1、含有互感电路的计算 2、理想变压器
电气学院学习部资料库
§ 10.1 互感
一、自感和自感电压
i + u –

i
u
L

i
di u L dt
U j LI
电气学院学习部资料库
二、互感和互感电压
11
21
N1 i1 N2
+
u11
–
+
u21
–
21 M 21i1
电气学院学习部资料库
例3、
已知 L2 120， M
1 20, uS (t ) 100 2 cos t C
问Z为何值时其上获得最大功率，求出最大功率。
100
L1
*
M
＋ －
L2
*
Z C
uS(t)
电气学院学习部资料库
100 j(L-20) ＋ － j100 －j20
3、磁导率
m ， L1 ,M, L2 ，L1/L2
1
i1
22
i2
2
u2 2'
u1
1'
11
N1
N2
d 1 u1 N 1 dt
d 2 , u2 N 2 dt
1 2 11 + 22
电气学院学习部资料库
I1
+
j M R1 * * R2 j L 1 j L 2
R
+
I1
j L1
j M * *
I2
j L2
R
1
u1
–° º
C
U1
–
jc
方法一：端口加电压求电流
• • U1 = j L1I 1 + j M I 2 • j M I1 +（R + j L1 ）I + 2 = 0 jc
1
•
U1
•
•
I1
= Z =j L1+ •
M） （
2
R+
jc
u2
–
i1 - 1 i 2 n
1 p u1 i1 + u2 i 2 u1 i1 + u1 ( - ni1 ) 0 n
由此可以看出，理想变压器既不储能，也不耗能， 在电路中只起传递信号和能量的作用。
电气学院学习部资料库
例：
求U2 .
1
+
+

1 : 10
U1

* *
+
100 V
电气学院学习部资料库




US I1 (M ) 2 Z 11 + Z 22


j M U S / Z11 I2 ( M ) 2 Z 22 + Z11

I1

Z11
US

+ –
(ω M )2 Z 22
原边等效电路
(M ) Z 22
2
副边反映在 原边回路中 的阻抗（引 入阻抗）。
M1
i2
u
di 1 di -M 2 dt dt di 1 di 2 + u2 M L2 dt dt u1 L1
M2
电气学院学习部资料库
五、耦合系数k (coupling coefficient)
定义：
k
M L1 L2
全耦合: K = 1 无耦合: K = 0
电气学院学习部资料库
例：
不知道绕向，通过实验的方法确定同名端。
U L1 UM 1
U
U L2 UM 2
U R2
u U –
R R1 + R2 L L1 + L2 + 2M
U I[R1 + R2 + j(L1 + L2 + 2M )]
电气学院学习部资料库
2、反接 M
I
L2 * R2
I
R1
* L1
U R1
U L1 UM 1
U
U L2 UM 2
U R2
U
* +
u21
–
电气学院学习部资料库
例：
i1 + u1 _
1
M * L1
M1
i2
* L2
uL u
2
+ u2 _
M2
u1 L1
di 1 di +M 2 dt dt di 1 di + L2 2 dt dt
u2 M
uL u
i1 + u1 _
1
M
i2 L2 u2 2 _ *
uL +
* L1
uL u
M L1 L2 , k 1
1 u1 2 u2 1 u1 2 u2
3、磁导率
L1 L2 N1 N2
m ， L1 ,M, L2 ，L1/L2
L1 i1 N1 i2 N2 L2
电气学院学习部资料库
I1
+

n : 1
* *
I2

+
nU U 1 2
o
U2
–

100
–
–
电气学院学习部资料库
例： 已知电阻 R S =1k ，负载电阻 R L =10 。为使 RL上获得最大功率，求理想变压器的变比n。
RS
+ uS n:1
**
RS
+
RL –
uS
n2RL
–
电气学院学习部资料库
习题
例1. 已知如图，求入端阻抗 Z = ?
º +°
i1
M * L1 * L2
L2

R2
I 2
+
_
U S1
+ _
U S2
I 3
电气学院学习部资料库
三、去耦等效法
i1 1° * L1 M i3 ° 3 ° 3 i2 * 2 ° L2 i1 1° º L1－M L2－M M i3 i2 2 °
i1 * 1° L1
M
* L2
i2 2 °
i1 1° º L1＋M
L2＋M -M i3 °
i * L1 M * L2 º
+ V_
º
当两组线圈装在黑盒里，只引出四个端线，要确定其 同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。
电气学院学习部资料库
§ 10.1 含有耦合电感电路的计算
总的原则：支路电流法和回路法 一、耦合电感的串联
1、顺接 M
I
* L1 * L2 R2 +
i R L
I
R1
U R1
R
L
U I[R1 + R2 + j(L1 + L2 - 2M )]
R R1 + R2 L L1 + L2 - 2M
电气学院学习部资料库
二、互感线圈的并联
1、同侧
I
+

I2
U R1
R1
I1
M
R2
*
U R2 U L2 UM 2
U
UM 1 U L1
–
* L1
L2
电气学院学习部资料库
2、异侧

*

2 2'
1 1'
*
2 2'
3 3'
*
注意：1、线圈的同名端必须两两确定。
2、必须注意绕向
电气学院学习部资料库
四、如何根据同名端判断互感电压的正负
结论：如果第一个线圈的电流是从同名端流向非同名端， 而第二个线圈上的互感电压也是从同名端指向非同名端， 那么这个互感电压取正，否则取负
例：
M
* i1
U1
–

U2
–

-1I I 1 n 2
I1
+

I2
+
1 U1 n

+
U1
–

1 - I2 n
–
U2
–

受控源表示的等效电路
电气学院学习部资料库
理想变压器的性质：
I1
+

n:1
* *
I2
+
+

I1

U1
–

U2
–

Z
U1
–

n2Z
电气学院学习部资料库
功率 +
i1
n:1
u1
–
* *
i2
+
u1 nu2
I
+
I2
U R1
R1
I1
M
R2
U R2 U L2 UM 2
U
UM 1 U L1
–
* L1
L2 *
电气学院学习部资料库
例：
+
I
U R1
U L1
R1 * L1 UM 1 I2
I1
U
U R2
R2 * L2 U M 2
s
U L2
–
电气学院学习部资料库
例: 列写下图电路的方程。 M R1
I 1

L1 L3 R3
100 j(L-20) ＋ 10000 － j100
10000 j20
j100U S j100 100 U oc 50 2450V 100 + j100 100 + j100
Zeq 100/ j100 50 + j50
Z Z 50 - j50
* eq
1
+ j L1
电气学院学习部资料库
例2、列写下图电路的方程。
R1 •
+ _

L1
US1
Ia
•
M31
L2 * L3 M23 *
M12
R2 •
+ •
Ib
R3
U _ S2
( R1 + jL1 + • + jM 12 I b ( R2 + jL2 + • + jM 12 I a -
• • jL3 + R3 ) I a + ( R3 + jL3 ) I b • • • • • jM 31 I a - jM 31 I b - jM 31 I a - jM 23 I b U S 1 • • jL3 + R3 ) I b + ( R3 + jL3 ) I a • • • • • j M 23 I a j M 23 I b j M 31 I a j M 23 I b U S 2
US
I2
Z=R+jX
–
1、无损耗
R1 = R2 =0（线圈内阻）
M
+
I1
L1
**
L2
I2
1 L1i1 + Mi2 2 L2i2 + Mi1
US
–
di1 di2 u1 L1 +M dt dt Z=R+jX di2 di1 u2 L2 +M dt dt 电气学院学习部资料库
2、全耦合
di1 u21 M dt
U21 jMI
电气学院学习部资料库
三、同名端
定义：两个线圈中的一对端钮，如果电流都从这一端流进去 （或流出来）产生的磁通方向是一样的，这一对端钮称为同 名端 例： i1
11
* –
i1 *
1
2 3 4
i2 *
22
*
电气学院学习部资料库
例：
i 1 * 1'
副边等效电路
称为原边对副 边的反映阻抗。 （引入阻抗）
电气学院学习部资料库
例： 全耦合互感电路如图，求电路初级端ab间的等效阻抗。
a
+
M
**
L1 L2
a
+ – b
L1－M
L2－M M
US
–
US
b
电气学院学习部资料库
§10-4 理想变压器
1、无损耗 满足条件： 2、全耦合 R1 = R2 =0（线圈内阻） M L1 L2 , k 1