高中数学 高三一轮第四章 平面向量与复数 4.3平面向量的数量积 考向归纳(素材)

第四章平面向量与复数
4.3 平面向量的数量积考向归纳
考向1平面向量数量积的运算
1．（2015·全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝（－1，2），则（2a＋b)·a＝（）
A．－1 B．0
C．1 D．2
【解析】法一∵a＝(1，－1)，b＝(－1，2），∴a2＝2，a·b＝－3，
从而（2a＋b）·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1.
法二∵a＝（1，－1)，b＝(－1，2),
∴2a＋b＝(2，－2）＋(－1，2）＝(1，0)，
从而（2a＋b)·a＝(1,0）·(1，－1)＝1，故选C.
【答案】C
2．(2015·山东高考)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC＝60°，则错误!·错误!＝（)
A．－错误!a2B．－错误!a2
C.错误!a2D。

错误!a2
【解析】由已知条件得错误!·错误!＝错误!·错误!＝
错误!a·a cos 30°＝错误!a2，故选D.
【答案】D
3．(2015·四川高考）设四边形ABCD为平行四
边形，｜错误!|＝6，|错误!｜＝4.若点M,N满足错误!＝3错误!,
错误!＝2错误!，则错误!·错误!＝（）
A．20 B．15
C．9 D．6
【解析】如图所示，由题设知：
错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!,
错误!＝错误!错误!－错误!错误!,
∴错误!·错误!＝错误!·错误!
＝错误!｜错误!｜2－错误!|错误!|2＋错误!错误!·错误!－错误!错误!·错误!
＝1
3
×36－错误!×16＝9。

【答案】C
1．向量数量积的两种计算方法
(1)当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝｜a||b|cos θ.
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝（x1,y1)，b＝(x2，y2），则a·b＝x1x2＋y1y2。

2．转化法求数量积
若向量的模与夹角不能确定,则应把向量用已知模或夹角的向量表示，然后再求数量积．
考向2平面向量数量积的性质
●命题角度1 平面向量的模
1．(2015·浙江高考）已知e1，e2是平面单位向量,且e1·e2＝错误!.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1,则｜b｜＝________。

【解析】∵e1·e2＝错误!,
∴|e1|｜e2|cos<e1，e2〉＝错误!，∴〈e1，e2〉＝60°。

又∵b·e1＝b·e2＝1>0，∴〈b，e1〉＝<b，e2>＝30°。

由b·e1＝1，得|b｜|e1｜cos 30°＝1，∴|b|＝错误!＝错误!.
【答案】错误!
2．已知平面向量a·b的夹角为错误!,且|a|＝错误!,|b|＝2，在△ABC中，错误!＝2a＋2b
，AC→＝2a－6b，D为BC的中点，则｜错误!|＝________。

【解析】错误!＝错误!（错误!＋错误!)＝错误!（2a＋2b ＋2a－6b)＝2a－2b,
所以|错误!｜2＝4（a－b）2＝4（a2－2b·a＋b2）
＝4×错误!＝4，
所以|错误!｜＝2。

【答案】2
●命题角度2 平面向量的夹角
3．（2015·重庆高考)若非零向量a，b满足|a｜＝
错误!|b|,且(a－b)⊥(3a＋2b），则a与b的夹角为（) A。

错误! B.错误!C。

错误!D．π
【解析】由(a－b)⊥(3a＋2b)得（a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0.
又∵｜a｜＝错误!|b｜，
设<a，b〉＝θ,即3｜a|2－|a｜·｜b｜·cos θ－2|b|2＝0，
∴错误!|b｜2－错误!|b｜2·cos θ－2|b｜2＝0。

∴cos θ＝错误!。

又∵0≤θ≤π，∴θ＝错误!。

【答案】A
4．设向量a、b的夹角为θ，a＝（2，1），a＋3b ＝（5,4),则sin θ＝________。

【解析】设b＝（x，y），由已知得a＋3b＝(2＋3x,1＋3y)＝(5,4)，
∴⎩⎨⎧ 2＋3x ＝5，1＋3y ＝4，
∴错误! ∴b ＝（1，1）,从而|a |＝错误!,｜b |＝错误!。

又a ·(a ＋3b ）＝｜a |2＋3a ·b ＝5＋3|a |｜b ｜·cos θ
＝5＋3×错误!×错误!cos θ＝2×5＋1×4，
所以cos θ＝错误!,sin θ＝错误!。

【答案】 错误!
●命题角度3 平面向量的垂直
5．（2015·福建高考)设a ＝（1，2），b ＝（1,1），c ＝a ＋kb .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( ）
A ．－错误!
B ．－错误! C.错误! D.错误!
【解析】 c ＝a ＋kb ＝(1＋k,2＋k ），
又b ⊥c ,
所以1×(1＋k )＋1×（2＋k )＝0，解得k ＝－错误!.
【答案】 A
6．（2015·湖北高考）已知向量错误!⊥错误!，｜错误!｜
＝3，则错误!·错误!＝________。

【解析】因为错误!⊥错误!，所以错误!·错误!＝错误!·（错误!－错误!)＝错误!·错误!－｜错误!|2＝0,所以OA，→·错误!＝|错误!｜2＝｜错误!|2＝9，即错误!·错误!＝9。

【答案】9
平面向量数量积求解问题的策略
1．求两向量的夹角：cos θ＝错误!，要注意θ∈［0，π]．
2．两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔｜a－b｜＝|a＋b|。

3．求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：
（1)a2＝a·a＝｜a|2或｜a｜＝a·a。

(2）|a±b｜＝错误!＝错误!。

（3)若a＝(x,y）,则｜a|＝错误!。