频率特性分析法

6、闭环系统的频域指标
教学重点
1、振荡环节的频率特性曲线 2、开环幅相曲线绘制 3、开环对数频率特性曲线 4、频域稳定判据，奈奎斯特判据，对数频率稳定判据 5、稳定裕度的概念
要求与学时
1、掌握频域分析的基本概念，分析方法
2、绘制开环频率特性，重点是绘制开环对数频率特性
3、频率稳定判据，重点是用对数频率特性图（Bode图）分析系统 的稳定性。 4、稳定裕度与系统稳定性能的关系 5、闭环系统的频域指标
1)对数幅值，纵坐标均匀刻 度 ，单位是分贝(dB）。
L( ) 20lgG( j ) 20lg A( )
10
15
20
25 0
( ) G( j )
( ) /()
2)对数相频特性的纵坐标为相角 ，单位是度(°)。
45
90 0.1 / T
优点： 1) 将乘除运算转化为加减运算，故可通过简单的图像叠加快速 绘制高阶系统的伯德图 ； 若考虑G(j )= A1() ej1() ×A2()ej 2()，则有 |G(j )|= lgA1()+lgA2() φ()= φ1()+ φ2() 2) 伯德图还可通过实验方法绘制，经分段直线近似整理后，很 容易得到实验对象的频率特性表达式或传递函数.
例：RC电路的频率特性为
A() 1 1 T 2 2
: 0 A()、() P()、Q()
() tg 1T
() 0

0： A() 1
j Im[G(jω)]
0

1 ： A() 0.707 () 45 T
Re[G(jω)] 1
可用模值和幅角表示，也可在直角坐标中用实部 和虚部表示。即：
G( j) A()e j ( ) P() jQ()
用极坐标和直角坐标表示频率特性：
G( j ) | G( j ) | G( j ) A( ) ( ) P ( ) jQ( ) (6 - 16)
X X X ( s) 2 2 ( s j)(s j) s
N ( s) X ( s p1 )(s p2 ) ( s pn ) ( s j)(s j)
kn kc k k1 k2 c s p1 s p2 s pn s j s j
??????????????jskjskpskpskpskccnn?2211tjctjctpntptpekekekekektyn???????????????2121假设系统是稳定的tjctjctssekektyty?????????limjxjgjsjsjsxsgkjsc2???????????????xjgjsxsgkj??????jjsjsjssgkjsc2?????????????jeajg设???????jeajg则22????????????jcjceajxkeajxk????????sinsin2???????????????????????tytxajeexaytjtjss?????jgaxy????jgjgsgjgjs?????????sinsin???????????tytxayss?????jgxy????实验方法输入
二、频率特性与传递函数的关系
设系统的传递函数为
Y ( s) N ( s) G( s) X ( s) (s p1 )(s p2 ) ( s pn )
假设 p j ( j 1,, n) 输入： x(t ) X sin t 输出： Y ( s)

互不相同且为实数。
Y A() G ( j) X
y x () G( j)
G ( j ) G ( s ) s j G ( j ) G ( j )
实验方法
输入： x(t ) X sin t 稳态输出： y(t ) t Y sint y
y(t ) k1e p1t k 2 e p2t k n e pnt kc e jt k c e jt
jt jt y ( t ) lim y ( t ) k e k e 假设系统是稳定的， ss c c t
k c G( s)
6、学时：12学时
5-1 频率特性的基本概念
（1）频率特性具有明确的物理意义，它可以用 实验的方法来确定，这对于难以列写微分方程式的 元部件或系统来说，具有重要的实际意义。 （2）由于频率响应法主要通过开环频率特性的 图形对系统进行分析，因而具有形象直观和计算量 少的特点。
（3）频率响应法不仅适用于线性定常系统，而 且还适用于传递函数不是有理数的纯滞后系统和部 分非线性系统的分析。
ImΒιβλιοθήκη 00 ( )
Re
G ( j )
A( )
RC电路 : A( ) 1 1 (T ) 2
( ) - arctan T ( )
2、
对数频率特性曲线（伯德图，对数坐标曲线） G( j ) | G( j ) | G( j ) A( ) ( ) P( ) jQ( ) 横坐标： lg()的均匀刻度，但直接标注 ，单位：rad/s 十倍频程： 变化10倍称一个十倍频程(记dec）；
0
G ( j )
4/T
8/T

频率特性的实验测量方法 按频率特性的定义，系统（或元件）的频率特性也可方便地通 过实验方法求得，能通过实验方法来建立系统的数学模型是频 率特性法的突出特点。
双踪示波器
正弦信号发生器
线性定常系统或元件 （实验对象）
在所关心的频率范围，按一定间隔改变输入信号的频率值， 分别测得对应的幅值比和相位差即可求得系统的频率特性曲 线。
10
Phase (deg) : - 48.2 Gain (dB) : - 3.54 Freq (rad/sec) :1.12/T


一个稳定的线性定常系统，如果对其输入一个正弦信号， 系统的稳态输出(稳态响应)也是同一频率的正弦信号，只是 在幅值和相位上发生了变化。 2、频率特性
输入： x(t ) X sin t x
稳态输出： y(t ) t Y sin t y


Y 幅频特性：A() X 频率特性 相频特性：() y x
Im
A(): 幅频特性 : 相频特性 P(): 实频特性 Q(): 虚频特性
Im
Q( ) A( )
G ( j )
G ( j1 )
A(1)
G ( j 2 )
( )
0
P( )
Re
0
(1 )
A(2 )
( 2 )
Re
G(j)复平面上的表示
G(j)在复平面上滑过的轨迹
频率特性：线性定常系统在正弦输入作用下，输 出的稳态分量与输入的复数比。
频率特性的物理意义 电路的输入电压和输出电压分 别为ui(t)和uo(t)，对应的拉普 拉斯变换分别为Ui(s)和Uo(s)
输入 : u(t ) Um sinωt 1(t )
U m 1 输出 : uo ( t ) L1[U o ( s )] L1 2 2 Ts 1 s
1 , 2 , 3 ,
Y1 , Y2 , Y3 , y1 , y 2 , y 3 ,
控制系统的三种数 学模型：微分方程、传 递函数、频率特性可以 相互转换，它们的关系 见右图。
三 频率特性的几种图示方法
1、幅相频率特性曲线
奈奎斯特（Nyquist）曲线、极坐标图
G ( j )为复数，在坐标图中，它是一个矢量，既
一、频率特性的定义
1、频率响应 线性系统对正弦输入信号的稳态响应，称为频率响应。 例：RC电路如图所示，
1 G ( s) Ts 1
输入：
T RC
ui (t ) Uim sin t
t U T U im 1 im 输出： T u o (t ) e sin t tg T 2 2 2 2 1 T 1 T U im u ( t ) sin t tg1T U om sint 稳态输出： o t 1 T 2 2


教学目的
频域分析法是经典控制理论中针对控制系统频域模型的分析方 法，讨论控制系统的频率特性，反映正弦信号作用下，系统响应的 性能。 通过本章学习，使学生们掌握频率特性的基本概念，掌握控制
系统的频域分析方法，频率特性曲线的绘制方法，控制系统频率稳
定判据和频域指标的估算。
教学内容
1、频率特性的概念 2、典型环节频率特性 3、开环幅相曲线绘制方法，重点：开环对数频率特性曲线 4、频域稳定判据，奈奎斯特判据，对数频率稳定判据 5、稳定裕度的概念
1 2 4
10
20
40
100
十倍频程 十倍频程 十倍频程
特点： 1）两个频率间的几何距离为：lg2-lg1，而不是2- 1。 2）横坐标采用对数刻度，相对展宽了低频段而压缩了高频段， 既有利于刻画更广频率范围的系统特性，又突出了低频段的特 性细节。

纵坐标：
0
5
Bode Diagram
L( ) /(dB)
则G( j) A()e j()
k c X A()e j( ) 2j
e j t () e j t () y ss A() X A() X sint () Y sint () 2j
yss A() X sint () Y sint ()
t U mT T Um e sin ( t arctanT ) (6 - 12) 2 2 1 (T ) 1 (T )
uR
R
ui (t )
i
C
uC uo (t )
电容上初始电压为0时，
当t 时 , 系统稳态输出为: uoss ( t ) Um 1 (T )
第五章 频率特性分析法
引言

引入频率法的原因：对于某些高阶系统，由于可能包含 数十个以上的储能元件，难于建模和求解。频率法将系 统看作是具有信号处理能力的黑箱，以正弦波为基本激 励信号建立系统的输入输出特性。 频率特性分析法：以不同频率的正弦信号作为输入，通 过研究系统的频率响应特性来分析系统性能，称为频率 特性分析法。 优点：图形方式进行系统分析与设计，简单、直观。将 乘法计算转化为简单的加法计算，在频率域中通过频率 指标直接分析系统的性能。不需要求解时域响应，也不 需按照系统工作原理进行微分方程的建模。
/(rad/sec)
1/ T
10 / T
半对数坐标系
L() [dB]

()

3、对数幅相特性曲线（尼科尔斯（N.B.Nichols）曲线）
横坐标为相位()
纵坐标为对数幅值L()=20lgA() 绘制过程：
L( ) /(dB)
0
Nichols Chart
从伯德图中分别读取各频率 下L()和()的值，
： A() 0
() 90
奈奎斯特曲线：(幅相频率特性曲线，极坐标曲线 ） G(j)随从0变至+在复平面上连续变化而形成一条曲线， 曲线特征: 极坐标：A(), , =0（或者 0）； + ， 箭头表明增大时轨迹的走向 特点： P()和A()为的偶函数, Q()和()关 于的奇函数，因此关于实轴对称； 负频率部分奈奎斯特曲线通常以虚线形 式表示，无物理意义，有几何意义。

相频特性： - arctan( T )
分析：该电路起到了低通滤波的作用。
0
4/T
8/T
1）当频率较低时，稳态输出电压和输入电压幅 值几乎相等，且相位滞后较小，电路主要表现出 0 电阻特性（=0时，输入与稳态输出均为大小相等 的直流电压）。 2）随着增大，稳态输出电压的幅值迅速减小， 相位滞后随之增大，电路电容特性增强。 90 3）当+，输出电压的幅值接近0，而相位滞 后接近90°，电路近似为一电容。
X ( s j) ( s j)(s j)
s j

G ( j) X 2j
k c G ( s )
X ( s j) ( s j)(s j)
s j

G( j) X 2j
设G( j) A()e j()
kc X A()e j( ) 2j
2
si n ( t arctanT ) U om si n ( t ) (6 - 13)
uoss ( t )
Um 1 (T )
2
sin( t arctanT )
Um
1
G ( j )
幅频特性 : A( )
1 (T )2 1 Um 1 (T )2