人教新课标版数学高二-必修5课件 2.1 数列的概念与简单表示法(二)

名师点评
递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系．对于通项公式，已知n 的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依 次求得其他的项．若项数很大，则应考虑数列是否有规律性．
命题角度2 由递推公式求通项 例3 (1)对于任意数列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－ an－1)＝an(n≥2，n∈N*)都成立．试根据这一结论，完成问题：已知数 列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝2，求通项an；
①通项公式法：an＝2n. ②递推公式法：aa1n＝ ＋1＝2，an＋2，n∈N*.
③列表法：
n
1
2
3
…
k
…
an
2
4
6
…
2k
…
④图象法：
探究点1 数列的函数特性
例1 图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在四个三角形图案中， 着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的 一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象．
n≥2时， an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝1＋ 2＋2＋…＋2＝2(n－1)＋1＝2n－1.
(n－1)个2
a1＝1也适合上式，
所以数列{an}的通项公式是an＝2n－1.
(2)若数列{an}中各项均不为零，则有 a1·aa21·aa32·…·aan－n 1＝an(n≥2，n∈N*) 成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，aan－n 1＝ n－n 1(n≥2，n∈N*)，求通项 an.
2．数列递推公式与通项公式的关系
递推公式
通项公式
区别
表示an与它的前一项 前几项)之间的关系
an－1
(或
表示an与 n 之间的关 系
联系
(1)都是表示 数列 的一种方法； (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式
合作探究
问题1
(1) 已 知 数 列 {an} 的 首 项 a1 ＝ 1 ， 且 有 an ＝ 3an － 1 ＋ 2(n>1 ， n∈N*)，则a4＝_5_3__. (2) 已知数列{an}中，a1＝a2＝1，且有an＋2＝an＋an＋1(n∈N*)， 则a4＝_3__.
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2.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N*)，则此数列的通项an
等于
A.n2＋1
B.n＋1
C.1－n
√D.3－n
∵an＋1－an＝－1. ∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝2＋ (－1)＋(－1)＋…＋(－1)
共(n－1)个
＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n.
问题2
我们已经知道通项公式和递推公式都能表示数列，那么通项 公式和递推公式有什么不同呢？
通项公式和递推公式都是表示数列的方法．已知数列的通项公 式，可以直接求出任意一项；已知递推公式，要求某一项，则 必须依次求出该项前面所有的项．
问题3 以数列2,4,6,8,10,12，…为例，你能用几种方法表示这个数列？
自主学习
教材整理 数列的递推公式
[基础·初探]
阅读教材 P30 最后一行～P31 例 3，完成下列问题． 1．数列递推公式
(1)两个条件：
①已知数列的第 1 项(或前 n 项)；
－1(或前几项)间的关 系可以用一个公式来表示．
(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的 递推 公式．
情景导入:
(中国古题) 浮屠增级歌
远看巍巍塔七层 红光点点倍加倍 共灯三百八十一 请问尖头几盏灯
选自明.程大位<<算法统宗>>
宝塔古称浮屠. 本题是说有一七层宝塔,每层悬挂的红灯数是上一层的2倍,
a1,a2,,a7
问塔顶有几盏灯?
教学目标
1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列. 2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项．
1.{an}与an是不同的两种表示，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，是数 列的一种简记形式.而an只表示数列{an}的第n项，an与{an}是“个体”与 “整体”的从属关系. 2.数列的表示方法：(1)图象法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公 式法. 3.通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映an和n之间的关系，即 an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递 推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之 间的推导关系，不能由n直接得出an.
n≥2 时，an＝a1·aa21·aa32·…·aan－n 1＝1·12·23·…·n－n 1＝1n. a1＝1也适合上式， 所以数列{an}的通项公式是 an＝1n.
名师点评
形如 an＋1－an＝f(n)的递推公式，可以利用 a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an －an－1)＝an(n≥2，n∈N*)求通项公式；形如aan＋n 1＝f(n)的递推公式，可以 利用 a1·aa21·aa32·…·aan－n 1＝an(n≥2，n∈N*)求通项公式．
如题图，这四个三角形图案中着色的小三角形的个数依次为1,3,9,27.则 所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.所以，这个数列的 一个通项公式是an＝3n－1.在直角坐标系中的图象为一些孤立的点(如图 所示)．
名师点评
数列的通项公式不外乎把常见的函数式中的x换成n，且n∈N*，所以善 于利用我们熟知的一些基本函数，通过合理的联想、转化，从而达到 解决问题的目的．
探究点2 数列的递推公式 命题角度1 由递推公式求前若干项 a1＝1， 例 2 设数列{an}满足an＝1＋an1－1n>1，n∈N*. 写出这个数列的前5项．
由题意可知 a1＝1，a2＝1＋a11＝2，a3＝1＋a12＝32，a4＝1＋a13＝53，a5＝1 ＋a14＝1＋35＝85.
变式探究
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3.用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的 关系式可以是_a_n_＝__2_n_＋__1_，__n_∈__N_*_. a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7， a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴an＝2n＋1，n∈N*.
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课堂小结
数列{an}满足 a1＝2，an＋1＝11＋ －aann，求 a2 016. a2＝11＋－aa11＝11＋ －22＝－3，a3＝11＋ －aa22＝11－＋33＝－12，
a4＝11＋－aa33＝11＋－1212＝13，a5＝11＋－aa44＝11－＋1313＝2＝a1. 故{an}是周期为4的数列． ∴a2 016＝a4×503＋4＝a4＝13.
当堂测试
1.数列1,3,6,10,15，…的递推公式是 A.an＋1＝an＋n，n∈N*
√B.an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2
C.an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N* D.an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2
由已知得a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4， a5－a4＝5，…，an－an－1＝n，n∈N*，n≥2，故选B.