高三艺术班数学午间小练113.docx

高三艺术班数学午间小练（113）
直线与圆 姓名__________班级______
1．直线ax ＋by ＋b －a ＝0与圆x 2＋y 2－x －3＝0的位置关系是___________________.
2．(2010年秦州质检)已知直线y ＝3－x 与圆x 2＋y 2＝2相交于A 、B 两点，P 是优弧AB 上任意一点，则∠APB ＝____________.
3．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，a 与b 的夹角为60°，直线x cos α＋y sin α＝0
与圆(x ＋cos β)2＋(y ＋sin β)2＝12
的位置关系是_______________. 4．过点A (11,2)作圆x 2＋y 2＋2x －4y －164＝0的弦，其中弦长为整数的共有______条．
5．若集合A ＝{(x ，y )|y ＝1＋4－x 2}，B ＝{(x ，y )|y ＝k (x －2)＋4}．当集合A ∩B 有4个子集时，实数k 的取值范围是________________．
6．(2009年高考全国卷Ⅱ)已知AC 、BD 为圆O ：x 2＋y 2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M (1，
2)，则四边形ABCD 的面积的最大值为________．
7．(2010年宁波调研)已知圆C ：x 2＋y 2＋bx ＋ay －3＝0(a 、b 为正实数)上任意一点关于直线l ：
x ＋y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则1a ＋3b
的最小值为________． 8．已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0与圆C 2：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0相交于A 、B 两点，
(1)求公共弦AB 所在的直线方程；
(2)求圆心在直线y ＝－x 上，且经过A 、B 两点的圆的方程．
答案
1：直线方程化为
a (x －1)＋
b (y ＋1)＝0，过定点(1，－1)，代入圆
的方程，左侧小于0，则定点在圆内，所以直线与圆总相交．
答案：相交
2.
解析：弦心距长为62，半径为2，所以弦AB 所对的圆心角为π3，
又因为同弦所对的圆周角是圆心角的一半，所以∠APB ＝π6. 答案：π6
3. 解析：cos60°＝cos α·cos β＋sin α·sin β＝cos(α－β)，
d ＝|cos α·cos β＋sin α·sin β|cos 2α＋sin 2α
＝|cos(α－β)|＝32>22＝r . 答案：相离
4. 解析：方程化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝132，圆心为(－1,2)，到点
A (11,2)的距离为12，最短弦长为10，最长弦长为26，所以所求直线条数为2＋2×(25－10)＝32(条)．
答案：32
5. 解析：A ∩B 有4个子集，即A ∩B 有
2个元素，∴半圆x 2＋(y －1)2＝4(y ≥1)与过
P (2,4)点，斜率为k 的直线有两个交点，如图：
A (－2,1)，k P A ＝34，过P 与半圆相切时，k ＝512，
∴512<k ≤34.
答案：512＜k ≤34
6. 解析：设圆心O 到AC 、BD 的距离分别为d 1、d 2，则d 12＋d 22
＝OM 2＝3.
四边形ABCD 的面积S ＝12|AB |·|CD |＝2(4－d 12)(4－d 22)≤8－(d 12
＋d 22)＝5.
答案：5
7. 解析：由题意，知圆心在直线上，所以－b 2＋(－a 2
)＋2＝0， ∴a 4＋b 4＝1，则(1a ＋3b )(a 4＋b 4)＝1＋b 4a ＋3a 4b ≥1＋2 b 4a ·3a 4b ＝1＋
3
2.
8. 解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0
x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0
⇒x －2y ＋4＝0. (2)由(1)得x ＝2y －4，代入x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0中得： y 2－2y ＝0.
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0y ＝2
，即A (－4,0)，B (0,2)， 又圆心在直线y ＝－x 上，
设圆心为M (x ，－x )，
则|MA |＝|MB |，解得M (－3,3)，
∴⊙M ：(x ＋3)2＋(y －3)2＝10.。