北京第四中学2022年高一数学文期末试卷含解析

北京第四中学2021-2022学年高一数学文期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列命题正确的是（）
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱
D．用一个平面去截棱锥，截面与底面之间的部分组成的几何体叫棱台
参考答案：
C
【考点】L2：棱柱的结构特征．
【分析】对于A，B，C，只须根据棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱进行判断即可．对于D，则须根据棱锥的概念：棱锥的底面和平行于底面的一个截面间的部分，叫做棱台．进行判断．
【解答】解：对于A，它的每相邻两个四边形的公共边不一定互相平行，故错；
对于B，也是它的每相邻两个四边形的公共边不一定互相平行，故错；
对于C，它符合棱柱的定义，故对；
对于D，它的截面与底面不一定互相平行，故错；
故选C．
2. 若，，，，则等于（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
【分析】
利用同角三角函数的基本关系求出与，然后利用两角差的余弦公式求出
值。

【详解】，，则，，则，所以，，
因此，
，
故选：C。

3. 在△ABC中,内角A，B，C所对的边为,其面积,则c= ( )
A. 15
B. 16
C. 20
D.
参考答案：
C
【分析】
由题意结合三角形面积公式求解c的值即可.
【详解】由三角形面积公式可得：，
据此可得：.
本题选择C选项.
【点睛】本题主要考查三角形面积公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4. 已知m，n是不重合的直线，是不重合的平面，给出下列命题：
①若；
②若；
③如果是异面直线，则相交；
④若
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
B
5. 的值等于( )
A．B．C．D．
参考答案：
A
6. 已知向量，，那么向量的坐标是（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
7. 若不等式|ax+1|≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}，则实数a=（）
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
B
【考点】绝对值不等式的解法．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】由题意可得﹣3≤ax≤2，即﹣2≤x≤1，由此可得a的值．
【解答】解：由题意可得，不等式|ax+1|≤3，即﹣3≤ax+1≤3，即﹣4≤ax≤2，即﹣2≤x≤1，∴a=2，
故选：B．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题．
8. 命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是
（）
A.存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0无实根；
B.不存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根；
C.对任意的实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根；
D.至多有一个实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根；参考答案：
B
9. 集合,,那么( )
A. B. C. D.
参考答案：
A
10. 如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量=（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
【分析】
利用向量加法的三角形法则可得，化简后可得正确选项.
【详解】，故选C.
【点睛】本题考查向量的线性运算，属于基础题.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在等比数列{a n}中，，则
．参考答案：
由等比数列的性质得，
∴，
∴.
12. 若，则=____________.参考答案：
-4
略
13. 等差数列{an}中，，若在每相邻两项之间各插入一个数，使之成为等差数列，那么新的等差数列的公差是________．
参考答案：
略
14.
(用数字作答) ．
参考答案：
333300
略
15. 银川一中开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若命题“?x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的范围．王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若命题“?x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求m的范围．你认为，两位同学题中m的范围是否一致？
________(填“是”“否”中的一个)
参考答案：
是
解析：因为命题“?x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“?x∈R，x2＋2x＋m>0”，而命题“?x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“?x∈R，x2＋2x＋m>0”为真命题，所以两位同学题中的m的范围是一致的．
16. 一个几何体的三视图如右图所示（单位：），则该几何体的体积为__________
参考答案：17. 若，则= .
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 函数．
（I）若是偶函数，求实数的值；
（II）当时，求在区间上的值域．
参考答案：
（I）；
（4分）
（II）当时，令，
（8分）
则值域为．（14分）
略
19. （本小题满分13分）某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为20000元，每生产意见“玉兔”需要增加投入100元，根据初步测算，总收益（单位：元）
满足分段函数，其中是“玉兔”的月产量（单位：件），总收益=成本+利润
（1）试将利用元表示为月产量的函数；
（2）当月产量为多少件时利润最大？最大利润是多少？
参考答案：
（Ⅰ）依题设，总成本为，
则……6分
（Ⅱ）当时，，
则当时，
; ……9分
当时，是减函数，
则，……12分所以，当时，有最大利润
元. ……13分
20. （12分）（2010秋?淄博校级期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知=（cos，sin），=（cos，sin），且满足|+|=．
（1）求角A的大小；
（2）若||+||=||，试判断△ABC的形状．
参考答案：
考点：三角形的形状判断；向量的模；同角三角函数基本关系的运用．
专题：计算题．
分析：（1）由得整理可得cosA=结合0＜A＜π可求A=．（2）由已知可得b+c=a结合正弦定理可得，sinB+sinC=sinA，从而有sinB+sin（﹣B）=×，sin（B+）=．由0＜B＜可得＜B+＜，结合正弦函数的性质可求B，进一步可求C，判断三角形的形状
解答：解：（1）由得
即1+1+2（cos cos+sin sin）=3，
∴cosA=，∵0＜A＜π，∴A=．
（2）∵||+||=||，
∴b+c=a，
由正弦定理可得，sinB+sinC=sinA，
∴sinB+sin（﹣B）=×，
即sinB+cosB=，
∴sin（B+）=．
∵0＜B＜，∴＜B+＜，
∴B+=或，故B=或．
当B=时，C=；当B=时，C=．
故△ABC是直角三角形．
点评：本题主要考查了向量的向量的模的求解，向量数量积的运算，和角的三角函数及正弦定理的应用，由特殊角的三角函数值求解角等知识的综合运用，属于综合试题．
21. 已知函数f（x）=ax2﹣（a+1）x+2（a∈R）．
（I）当a=2时，解不等式f（x）＞1；
（Ⅱ）若对任意x∈[﹣1，3]，都有f（x）≥0成立，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】一元二次不等式的解法；二次函数的性质．
【分析】（Ⅰ）a=2时，函数f（x）=2x2﹣3x+2，求不等式f（x）＞1的解集即可；（Ⅱ）讨论a=0与a＞0、a＜0时，函数f（x）在区间[﹣1，3]上的最小值是什么，由此建立不等式求出a的集合即可．
【解答】解：（Ⅰ）a=2时，函数f（x）=2x2﹣3x+2，
不等式f（x）＞1化为2x2﹣3x+1＞0，
解得x＜或x＞1；
所以该不等式的解集为{x|x＜或x＞1}；
（Ⅱ）由对任意x∈[﹣1，3]，都有f（x）≥0成立；
讨论：①当a=0时，f（x）=﹣x+2在区间[﹣1，3]上是单调减函数，
且f（3）=﹣3+2=﹣1＜0，不满足题意；
②当a＞0时，二次函数f（x）图象的对称轴为x=+＞，
若+＜3，则a＞，函数f（x）在区间[﹣1，3]上的最小值为f（+）≥0，即a2﹣6a+1≤0，解得3﹣2≤a≤3+2，取＜a≤3+2；
若+≥3，则0＜a≤，函数f（x）在区间[﹣1，3]上的最小值为f（3）≥0，解得a≥，取≤a≤；
当a＜0时，二次函数f（x）图象的对称轴为x=+＜，
函数f（x）在区间[﹣1，3]上的最小值为f（3）≥0，解得a≥，此时a不存在；综上，实数a的取值范围是≤a≤3+2．
22. （12分）已知函数.
（1）求的定义域；
（2）讨论函数的单调性.
参考答案：
（1）由得：
当时，
当时，…………5分
（2）令，则
当时，为减函数，为减函数
∴为增函数；
当时，为增函数，为增函数
∴为增函数.
综上,当,为增函数.………………12分
（或利用单调性定义证明也可）。