2019年浙江高三数学二轮复习_专题五 直线与圆_圆锥曲线第1讲 直线与圆

方程 y= kx+b . y-y0=k(x-x0) .
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
x y 1 ab
Ax+By+C=0 (A2+B2≠0)
适用条件
与x轴不垂直的直线
与两坐标轴均不垂直 的直线 不过原点且与两坐标 轴均不垂直的直线
所有直线
2.两条直线平行与垂直的判定
3
3
当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x=-1,也符合题意. 故所求直线 l 的方程为 x+3y-5=0 或 x=-1.
法二 当 AB∥l 时,有 k=kAB=- 1 , 3
直线 l 的方程为 y-2=- 1 (x+1),即 x+3y-5=0. 3
当 l 过 AB 的中点时,AB 的中点为(-1,4). 所以直线 l 的方程为 x=-1. 故所求直线 l 的方程为 x+3y-5=0 或 x=-1.
为
.
解析:法一 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y-2=k(x+1),即 kx-y+k+2=0.
由题意知 2k 3 k 2 = 4k 5 k 2 ,
k2 1
k2 1
即|3k-1|=|-3k-3|,
所以 k=- 1 .所以直线 l 的方程为 y-2=- 1 (x+1),即 x+3y-5=0.
3.圆的方程 (1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),圆心为 (a,b) ,半径为 r .

(2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),圆心为

D 2
,

E 2

半径为
D2 E2 4F 2
.
4.直线与圆相关问题的两个关键点
(1)三个定理:切线的性质定理,切线长定理,垂径定理.
S= 1 ×2×(2-a)+ 1 ×2×(a2+2)=a2-a+4=(a- 1 )2+ 15 ,当 a= 1 时,面积最小.
2
2
24
2
考点二 圆的方程
【例2】 已知圆C和直线x-6y-10=0相切于点(4,-1),且经过点(9,6),则圆C的
方程为
.
解析:因为圆 C 和直线 x-6y-10=0 相切于点(4,-1), 所以过点(4,-1 )的直径所在直线的斜率为-6, 其方程为 y+1=-6(x-4),即 y=-6x+23.
直线与椭圆的位置关系、椭圆几 何性质、点到直线距离
中
2016年以前文理科题序相同时没有特别标注,题序不同时进行标 注,文理只是考查难度不同,涉及知识点基本一致
第1讲 直线与圆
1.直线方程的五种形式
核心整合
名称 斜截式 点斜式 两点式
截距式
一般式
几何条件 纵截距、斜率 过一点、斜率
过两点
纵、横截距
又因为圆心在以(4,-1),(9,6)两点为端点的线段的中垂线 y- 5 =- 5 (x- 13 ), 27 2
即 5x+7y-50=0 上,
由
y 6x 23, 5x 7 y 50
0,
解得圆心坐标为( 3,5),所以半径为
9 32 6 52 =
37 ,故所求圆的方程为(x-3)2+(y-5)2=37.
A B


1,
A

aLeabharlann 2mB

b
2
n

C

0.
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
【题组训练】 1.已知点P(-2,0)和直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y-(2+5λ)=0(λ∈R),则点P到直 线l的距离d的最大值为( B )
(A)2 3 (B) 10 (C) 14 (D)2 15 解析:由(1+3λ )x+(1+2λ)y-(2+5λ)=0, 得(x+y-2)+λ(3x+2y-5)= 0,此方程
是过直线
x+y-2=0
和
3x+2y
-5=0
交点的直线系方程.解方程组
x y 2 0, 3x 2y 5
0,
可知两直线的交点为 Q(1,1),故直线 l 恒过定点 Q(1,1),如图所示,可知
d=|PH|≤|PQ|= 10 ,即 d 的最大值为 10 .故选 B.
2.直线l过点P(-1,2)且到点A(2,3)和点B(-4,5)的距离相等,则直线l的方程
难度 易 易 中 易 中 易 易
中
2015 2014 说明
选择题·5·5分
抛物线的定义,直线与抛物线的 位置关系,三角形面积公式
易
填空题·9·6分
双曲线的几何性质
易
解答题·19·15分
椭圆的几何性质、直线与椭圆的 位置关系、对称问题
中
填空题·16·4分
直线与双曲线的位置关系、双曲 线几何性质
易
解答题·21·15分
2
l2:y=
1
1
a
x-(a+ 1),l1∥l2⇔

a 2

1 1
3 a
, a
1,
解得
a=-1,
综上可知,a=-1 时,l1∥l2.
法二 由 A1B2-A2B1=0, 得 a(a-1)-1×2=0, 由 A1C2-A2C1≠0,得 a(a2-1)-1×6≠0,
所以
由方程组

A
x1
2
x2


B
y1
2
y2


C

0,

A
y1

y2


B

x1

x2
,
可得到点 P1 关于 l 对称的点 P2 的坐标(x2,y2)(其中 A≠0,x1≠x2).
核心突破
考点一 直线的方程及两条直线的位置关系 【例1】(1)如图,已知A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后 再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是 () (A)3 (B)6 (C)2 (D)2
(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2. (2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0b)(y-b)=r2.
(3)以线段AB(A(x1,y1),B(x2,y2))为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+ (y-y1)(y-y2)=0. 6.圆与圆的位置关系的常用结论
①点
P(x,y)关于
Q(a,b)的对称点
P′(x′,y′)满足
x

y

2a 2b

x, y.
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决. 轴对称:
①点 A(a,b)关于直线 Ax+By+C=0(B≠0)的对称点 A′(m,n),则有

n m
b a



4.已知直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,当0<a<2时,直线l1,l2与两坐标轴 围成一个四边形,当四边形的面积最小时,求实数a的值.
解:由题意知直线 l1,l2 恒过定点 P(2,2),直线 l1 在 y 轴上的截距为 2-a,直线 l2 在 x 轴上的截距为 a2+2,所以四边形的面积
专题五 直线与圆、圆锥曲线
年份 2018 2017 2016
题型·题号·分值 选择题·2·4分 填空题·17·4分 解答题·21·15分 选择题·2·4分 解答题·21·15分 选择题·7·5分 填空题·9·4分
解答题·19·15分
考情概览
题涉考点 双曲线的几何性质 直线与椭圆的位置关系 直线与抛物线的位置关系 椭圆的几何性质 直线与抛物线的位置关系、弦长问题 椭圆、双曲线的几何性质 抛物线的定义 直线与椭圆的位置关系、弦长问题、 椭圆的离心率
答案:(x-3)2+(y-5)2=37
方法技巧
(1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程. (2)待定系数法: ①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列 出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值; ②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件 列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.
l1∥l2⇔
a a
a 1 1 2 0,
a2 1 1 6 0
⇔
a 2 a
a 2 0, a2 1 6
⇒
a=-1,
故当 a=-1 时,l1∥l2.
②当l1⊥l2时,求a的值.
解:②法一 当 a=1 时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0, l1 与 l2 不垂直,故 a=1 不成立; 当 a=0 时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1 不垂直于 l2,故 a=0 不成立; 当 a≠1 且 a≠0 时,
a 6, a 14,
故
r2-

a

b 2
1

2=2,依据
上述方程,解得
b 3, r2 52
或
b 7, r2 244.
所以,所求圆的方程为(x-6)2+(y+3)2=52 或(x-14)2+(y+7)2=244.
答案:(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244
(2)两个公式: 点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 d= Ax0 By0 C . A2 B2
弦长公式|AB|=2 r2 d 2 (弦心距 d).
【温馨提示】 讨论两条直线位置关系时,要注意斜率是否存在. 【归纳拓展】 1.直线系方程 (1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R且m≠C). (2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+n=0(n∈R).
l1:y=- a x-3,l2:y= 1 x-(a+1),由(- a )· 1 =-1⇒ a= 2 .
2
1 a
2 1a
3
法二 由 A1A2+B1B2=0,得 a+2(a-1)=0⇒ a= 2 . 3
方法技巧
(1)当直线方程中存在字母参数时,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考 虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含 条件. (2)在判断两直线平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出 结论. (3)解决对称问题的方法 中心对称:
(1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2,则有l1∥l2⇔ k1=k2 .特别地,当直线 l1,l2的斜率都不存在时,l1与l2 平行 . (2)两条直线垂直 如果两条直线l1,l2斜率都存在,设斜率分别为k1,k2,则l1⊥l2⇔ k1·k2=-1 ,当一条直线 斜率为零,另一条直线斜率不存在时,两条直线 垂直 .
3.两直线垂直的充要条件
直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是 A1A2+B1B2=0. 4.过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为 A1x+B1y+ C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2. 5.圆的切线方程常用结论
(1)两圆的位置关系与公切线的条数:①内含:0条;②内切:1条;③相交:2条;④外
(2)当两圆相交时,两圆方程(x2,y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方 程. 7.点关于直线的对称
若两点 P1(x1,y1)与 P2(x2,y2)关于直线 l:Ax+By+C=0 对称,则线段 P1P2 的中点在对 称轴 l 上,且连接 P1P2 的直线垂直于对称轴 l,
答案:x+3y-5=0或x=-1
3.若圆上一点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,且圆与直线x-y+1=0相
交的弦长为2,则圆的方程是
.
解析:设圆的方程为 (x-a)2+(y-b)2=r2,
点 A(2,3)关于直线 x+2y=0 的对称点仍在圆上, 说明圆心在直线 x+2y=0 上,即有 a+2b=0, 又(2-a)2+(3-b)2=r2,而圆与直线 x-y+1=0 相交的弦长为 2 2 ,
(1)解析:直线 AB 的方程为 x+y=4,点 P(2,0)关于直线 AB 的对称点为 D(4,2), 关于 y 轴的对称点为 C(-2,0).则光线经过的路程为 |CD|= 62 22 =2 10 .故选 C.
(2)已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0. ①试判断l1与l2是否平行; (2)解:①法一 当 a=1 时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1 不平行于 l2; 当 a=0 时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1 不平行于 l2; 当 a≠1 且 a≠0 时,两直线可化为 l1:y=- a x-3,