罗素悖论的产生原因及排除方法

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数学学习与研究㊀２０２１ １２罗素悖论的产生原因及排除方法罗素悖论的产生原因及排除方法Һ王海东㊀（天津市北方调查策划事务所㊀天津㊀３０００５０）
㊀㊀ʌ摘要ɔ罗素悖论的产生原因在于没有将每个数学对象都视为属于自身存在的数学对象．罗素悖论的排除方法在于将每个数学对象都视为属于自身存在的数学对象，要想将每个数学对象都视为属于自身存在的数学对象，就必须在集合论中引入自我归属定理．
ʌ关键词ɔ罗素悖论；属于关系；自我归属定理
一个 幽灵 在集合论中徘徊．这个幽灵就是罗素悖论．
罗素悖论：是指属于一个集合的元素不属于自己，或属于自己的元素不属于一个集合．二者必居其一．
罗素悖论可以用以下公式表示：
∃ｘ∀ｙ（ｙɪｘ↔ｙ∉ｙᶱｙɪｙ↔ｙ∉ｘ）
从这个公式来看，如果罗素悖论成立，那么属于一个集合的元素不属于自己，包含这个元素的集合也不属于自己了．因为，在集合论的逻辑推理过程中，任何一个集合都有可能被定义为另一个集合的元素．这样一来，集合论就产生了一个集合都不属于自己的逻辑矛盾．
有人认为，集合论公理系统（ＺＦＣ）能够从集合论中排除罗素悖论．因为，集合论公理系统（ＺＦＣ）包括外延公理㊁配对公理㊁并集公理㊁幂集公理㊁无穷公理㊁概括公理㊁替换公理㊁正则公理㊁选择公理等九个公理．
外延公理可以用以下公式表示：
∀ｘ∀ｙ（ｘ＝ｙ↔∀ｚ（ｚɪｘ↔ｚɪｙ））
配对公理可以用以下公式表示：
∀ｘ∀ｙ∃ｚ（ｚ＝（ｘ，ｙ））
并集公理可以用以下公式表示：
∀ｘ∃ｙ（ｙ＝ɣｘ＝（ａ｜∃ｂ（ｂɪｘɡａɪｂ）））幂集公理可以用以下公式表示：
∀ｘ∃ｙ（ｙ＝ｐ（ｘ）＝（ａ｜ａ⊆ｘ））
无穷公理可以用以下公式表示：
∃ｘ（（∃ａ（ａɪｘ））ɡ（∀ｙ（ｙɪｘңｙɣ｛ｙ｝ɪｘ）））
概括公理可以用以下公式表示：
∀ｙ∃ｘ∀ｚ（ｙɪｘ↔ｙɪｚɡｐ（ｙ））
替换公理可以用以下公式表示：
∀ｕ∀ｖ∀ｗ（φ（ｕ，ｖ）ɡφ（ｕ，ｗ）ңｖ＝ｗ）ң∀ｘ∃ｙ（ｙ＝（ｖ｜∃ｕ（ｕɪｘɡφ（ｕ，ｖ））））
正则公理可以用以下公式表示：
∀ｘ（ｘʂφң∃ｙ（ｙɪｘɡｘɘｙ＝φ））
选择公理可以用以下公式表示：
∀ｘ（φ∉ｘ⇒∃ｆ：ｘңɣｘ＝∀ａ（ａɪｘ（ｆ（ａ）ɪａ））
在这九个公理中，概括公理就是针对罗素悖论提出的一个公理．因为概括公理规定了集合概念的概括方法，所以概括公理限制了任意规定集合概念的现象．因为概括公理限制了任意规定集合概念的现象，所以概括公理消除了形成罗素悖论的可能性．又因为概括公理消除了形成罗素悖论的可能性，所以概括公理就把罗素悖论从集合论中排除出去了．
但是，实际情况并非如此．即使有了概括公理，我们仍然消除不了形成罗素悖论的可能性．不管我们怎样在集合论中挥舞概括公理的 保护伞 ，罗素悖论的阴影仍然神出鬼没㊁无处不在．因为，我们可以从概括公理中推出以下公式：
∀ｙ∃ｘ∀ｚ（ｙɪｘ↔ｙɪｚɡｐ（ｘ）↔ｚɪｐ（ｙ）↔ｙɪｐ（ｙ）↔ｙ∉ｙ）
从这个公式来看，概括公理只是把罗素悖论从一个集合推向了另一个集合．如果这样推下去，罗素悖论将会出现在所有集合之中．
由此可见，概括公理不仅没有把罗素悖论从集合论中排除出去，还把罗素悖论从集合论带进了集合论公理系统（ＺＦＣ）．因为，出现在概括公理之中的罗素悖论，同样可以出现在其他八个公理之中．
我们可以从外延公理中推出以下公式：
∀ｘ∀ｙ（ｘ＝ｙ↔∀ｚ（ｚɪｘ↔ｚɪｙ）↔ｚ∉ｚ）
我们可以从配对公理中推出以下公式：
∀ｘ∀ｙ∃ｚ（ｚ＝（ｘ，ｙ）↔（ｘɪｚ，ｙɪｚ）↔（ｘ∉ｘ，ｙ∉ｙ））
我们可以从并集公理中推出以下公式：
∀ｘ∃ｙ（ｙ＝ɣｘ＝（ａ｜∃ｂ（（ｂɪｘ↔ｂ∉ｂ）ɡ（ａɪｂ↔ａ∉ａ））））
我们可以从幂集公理中推出以下公式：
∀ｘ∃ｙ（ｙ＝ｐ（ｘ）＝（ａ｜ａ⊆ｘ↔ａɪｘ↔ａ∉ａ））
我们可以从无穷公理中推出以下公式：
∃ｘ（（∃ａ（ａɪｘ↔ａ∉ａ））ɡ（∀ｙ（（ｙɪｘ↔ｙ∉ｙ）ң（ｙɣ｛ｙ｝ɪｘ））））
我们可以从替换公理中推出以下公式：
∀ｕ∀ｖ∀ｗ（φ（ｕ，ｖ）ɡφ（ｕ，ｗ）ңｖ＝ｗ）ң∀ｘ∃ｙ（ｙ＝（ｖ｜∃ｕ（（ｕɪｘ↔ｕ∉ｕ）ɡφ（ｕ，ｖ））））
我们可以从正则公理中推出以下公式：
∀ｘ（ｘʂφң∃ｙ（（ｙɪｘ↔ｙ∉ｙ）ɡｘɘｙ＝φ））
我们可以从选择公理中推出以下公式：
∀ｘ（φ∉ｘ⇒∃ｆ：ｘңɣｘ＝∀ａ（ａɪｘ（ｆ（ａ）ɪａ）↔ａ∉ａ））
从这些公式来看，集合论公理系统（ＺＦＣ）如同一个包含罗素悖论的公理系统．这个包含罗素悖论的公理系统肯定不是一个合理的公理系统，所以集合论公理系统（ＺＦＣ）的合理性将会受到严重质疑．
那么，怎样才能从集合论中排除罗素悖论呢？显然，要想从集合论中排除罗素悖论，就必须找到罗素悖论的产生原因．只有找到罗素悖论的产生原因，才能找到罗素悖论的排除方法．只有找到罗素悖论的排除方法，才能从集合论中排除罗素悖论．
那么，怎样才能找到罗素悖论的产生原因呢？显然，要想找到罗素悖论的产生原因，就必须从集合论的一个二元关系说起．这个二元关系就是在规定集合概念的数学公式中必须阐明的属于关系．属于关系就是某个数学对象属于另一个数学对象的二元关系．
从属于关系来看，当某个数学对象属于另一个数学对
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象的时候，这个数学对象就被包含在另一个数学对象之中了．因此，属于关系可以被理解为包含关系．包含关系就是某个数学对象包含另一个数学对象的二元关系．但是，属于关系不仅可以被理解为包含关系，而且还可以被理解为等于关系．等于关系就是某个数学对象等于另一个数学对象的二元关系．包含关系可以推广到等于关系．当某个数学对象等于另一个数学对象的时候，这个数学对象就如同被包含在另一个数学对象之中了．这种推广到等于关系的包含关系称为包含等于关系．包含等于关系就是某个数学对象包含等于另一个数学对象的二元关系．
由于属于关系有两种理解方法，所以罗素悖论也有两种评价标准．如果我们把属于关系理解为包含关系，罗素悖论就是一个可以成立的悖论．如果我们把属于关系理解为等于关系，罗素悖论就是一个不能成立的悖论．
由此可见，罗素悖论隐含着一个理论假设：某个数学对象既可以属于另一个数学对象，也可以属于某些包含另一个数学对象的数学对象，但是不能属于任何一个不包含另一个数学对象的数学对象．这个理论假设称为罗素假设．罗素假设就是罗素悖论的理论依据．罗素悖论就是根据罗素假设提出的．
那么，罗素假设是否可以成立呢？显然，如果罗素假设可以成立，我们不仅可以从中推出罗素悖论，而且可以从中推出罗素悖论的悖论．
罗素悖论的悖论可以用以下公式表示：
∃ｘ∀ｙ∀ｚ（ｙɪｘ↔ｙ∉ｙ↔ｙɪｚ↔ｚɪｘ↔ｚ∉ｚ↔ｚɪｙ↔ｙɪｘ ）
从这个公式来看，如果属于一个集合的元素不属于自
己，这个元素就属于另一个元素了．如果这个元素属于另一个元素，属于一个集合的元素就不是这个元素了．按照这个推论不断推导下去，我们会陷入一个永无止境的循环推理过程．在这个永无止境的循环推理过程中，每一个罗素悖论都会遭到下一个罗素悖论的否定．
由此可见，罗素假设是不能成立的，所以罗素悖论也是不能成立的．
但是，问题并没有到此结束．因为，罗素假设不能成立并非意味着罗素假设绝对不能成立．罗素假设在一定条件下是可以成立的．这个假设是否成立是由某个数学对象的自身存在决定的．如果罗素假设不涉及某个数学对象的自身存在，罗素假设就是一个可以成立的假设．罗素假设如果涉及某个数学对象的自身存在，就是一个不能成立的假设．
那么，这个成立条件又是怎样形成的呢？显然，要想回答这个问题，就必须从属于关系说到等价关系．等价关系也是集合论中的一个二元关系．这个二元关系具有自反性㊁对称性和传递性三个基本特征．
自反性可以用以下公式表示：
ａ＝ａ
对称性可以用以下公式表示：
ａ＝ｂ，ｂ＝ａ
传递性可以用以下公式表示：
ａ＝ｂ㊀ｂ＝ｃ⇒ａ＝ｃ
如果上述三个公式都可以成立，等价关系可以用以下公式表示：
ａ ｂ
由此可见，等价关系是从等于关系中推导出来的．只要
把属于关系理解为等于关系，我们就可以将自反性㊁对称性和传递性纳入属于关系．只要将自反性㊁对称性和传递性纳入属于关系，我们就可以使属于关系成为一种等价关系．
属于关系的自反性可以用以下公式表示：
ａɪａ
属于关系的对称性可以用以下公式表示：
ａɪｂ，ｂɪａ
属于关系的传递性可以用以下公式表示：
ａɪｂ㊀ｂɪｃ⇒ａɪｃ
这样一来，我们就发现了一个十分重要的数学定理：在属于关系成为一种等价关系的条件下，某个数学对象在属于另一个数学对象的同时，不仅可以属于某些包含另一个数学对象的数学对象，而且可以属于一个不包含另一个数学对象的数学对象．这个不包含另一个数学对象的数学对象就是这个数学对象的自身存在．这个数学定理就是自我归属定理．
我们可以用以下公式证明自我归属定理：已知
ｐɪｑ，
又知
ｐ＝∃ｐ∀ｐ（ｐɪｐ↔ｐ＝ｐ）；ｑ＝∃ｑ∀ｑ（ｑɪｑ↔ｑ＝ｑ）
因此
∃ｐ∀ｐ（ｐɪｐ↔ｐ＝ｐ）ɪ∃ｑ∀ｑ（ｑɪｑ↔ｑ＝ｑ）．证毕．
从这个证明过程来看，某个数学对象在属于另一个数学对象之前就已经属于自身存在了．某个数学对象只有在属于自身存在的条件下才能属于另一个数学对象．这种数学现象如同发生在我们身边的一种社会现象．在这种社会现象中，我们每一个人只有在属于自己的条件下才能属于一个社会组织，才能使自己成为一个社会组织的合法成员．除非这个社会组织是一个奴隶制的社会组织．因为，在一个奴隶制的社会组织中，奴隶主属于自己而奴隶不属于自己．这种不属于自己的人只能被视为奴隶主的一种财产，而不能被视为这个社会组织的合法成员．
由此可见，如果将每个数学对象都视为属于自身存在的数学对象，任何两个数学对象之间的属于关系都不会产生罗素悖论．如果不将每个数学对象都视为属于自身存在的数学对象，任何两个数学对象之间的属于关系都会产生罗素悖论．
综上所述，罗素悖论的产生原因在于没有将每个数学对象都视为属于自身存在的数学对象，罗素悖论的排除方法在于将每个数学对象都视为属于自身存在的数学对象．要想将每个数学对象都视为属于自身存在的数学对象，就必须在集合论中引入自我归属定理．
ʌ参考文献ɔ
［１］王元，文兰，陈木法．数学大辞典［Ｍ］．北京：科学出版社，２０１７．
［２］冯琦著．集合论导引［Ｍ］．北京：科学出版社，２０１９．［３］石纯一．数理逻辑与集合论［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２０００．
［４］汪芳庭．数理逻辑．［Ｍ］北京：中国科技大学出版社，２０１０．
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