西北工业大学附属中学数学圆 几何综合检测题(Word版 含答案)

西北工业大学附属中学数学圆 几何综合检测题（Word 版 含答案）
一、初三数学 圆易错题压轴题（难）
1．如图，∠ABC=45°，△ADE 是等腰直角三角形，AE=AD ，顶点A 、D 分别在∠ABC 的两边BA 、BC 上滑动（不与点B 重合），△ADE 的外接圆交BC 于点F ，点D 在点F 的右侧，O 为圆心．
（1）求证：△ABD ≌△AFE
（2）若AB=42，82＜BE ≤413，求⊙O 的面积S 的取值范围．
【答案】（1）证明见解析（2）16π＜S ≤40π
【解析】试题分析：（1）利用同弧所对的圆周角相等得出两组相等的角，再利用已知AE=AD ，得出三角形全等；（2）利用△ABD ≌△AFE ，和已知条件得出BF 的长，利用勾股定理和2＜BE 13EF,DF 的取值范围， 24
S DE π
=
，所以利用二次函
数的性质求出最值. 试题解析：（1）连接EF ，
∵△ADE 是等腰直角三角形，AE=AD ， ∴∠EAD=90°，∠AED=∠ADE=45°， ∵AE AE = ， ∴∠ADE=∠AFE=45°， ∵∠ABD=45°， ∴∠ABD=∠AFE ， ∵AF AF =， ∴∠AEF=∠ADB ， ∵AE=AD ， ∴△ABD ≌△AFE ； （2）∵△ABD ≌△AFE ， ∴BD=EF ，∠EAF=∠BAD ， ∴∠BAF=∠EAD=90°， ∵42AB =， ∴BF=
2
cos cos45
AB ABF =∠=8，
设BD=x ，则EF=x ，DF=x ﹣8，
∵BE 2
=EF 2
+BF 2
， 82＜BE ≤413 ，
∴128＜EF 2+82
≤208， ∴8＜EF ≤12，即8＜x ≤12， 则()22284
4S DE x x π
π⎡⎤==
+-⎣
⎦=()2
482
x ππ-+，
∵
2
π
＞0， ∴抛物线的开口向上， 又∵对称轴为直线x=4，
∴当8＜x ≤12时，S 随x 的增大而增大， ∴16π＜S ≤40π．
点睛：本题的第一问解题关键是找到同弧所对的圆周角，第二问的解题关键是根据第一问的结论计算得出有关线段的长度，由于出现线段的取值范围，所以在这个问题中要考虑勾股定理的问题，还要考虑圆的面积问题，得出二次函数，利用二次函数的性质求出最值.
2．如图，已知直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA ＝OB ，CA ＝CB ， （1）求证：直线AB 是⊙O 的切线；
（2）OA ，OB 分别交⊙O 于点D ，E ，AO 的延长线交⊙O 于点F ，若AB ＝4AD ，求sin ∠CFE 的值．
【答案】（1）见解析；（25 【解析】 【分析】
（1）根据等腰三角形性质得出OC ⊥AB ，根据切线的判定得出即可；
（2）连接OC 、DC ，证△ADC ∽△ACF ，求出AF=4x ，CF=2DC ，根据勾股定理求出DC=
35
5
x ，DF=3x ，解直角三角形求出sin ∠AFC ，即可求出答案．
【详解】
（1）证明：连接OC，如图1，
∵OA＝OB，AC＝BC，
∴OC⊥AB，
∵OC过O，
∴直线AB是⊙O的切线；
（2）解：连接OC、DC，如图2，
∵AB＝4AD，
∴设AD＝x，则AB＝4x，AC＝BC＝2x，∵DF为直径，
∴∠DCF＝90°，
∵OC⊥AB，
∴∠ACO＝∠DCF＝90°，
∴∠OCF＝∠ACD＝90°﹣∠DCO，
∵OF＝OC，
∴∠AFC＝∠OCF，
∴∠ACD＝∠AFC，
∵∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACF，
∴
1
22 AC AD DC x
AF AC CF x
====，
∴AF＝2AC＝4x，FC＝2DC，
∵AD＝x，
∴DF＝4x﹣x＝3x，
在Rt△DCF中，（3x）2＝DC2+（2DC）2，
解得：DC＝35
5
x，
∵OA ＝OB
，AC ＝BC ， ∴∠AOC ＝∠BOC ， ∴DC EC =， ∴∠CFE ＝∠AFC ，
∴sin ∠CFE ＝sin ∠AFC ＝DC DF
＝355535
x x =．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，解直角三角形，圆心角、弧、弦之间的关系，相似三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，难度偏大．
3．四边形ABCD 的对角线交于点E ，有AE =EC ，BE =ED ，以AB 为直径的O 过点E ．
（1）求证：四边形ABCD 是菱形．
（2）若CD 的延长线与圆相切于点F ，已知直径AB =4．求阴影部分的面积.
【答案】（1）证明见解析；（2）513
π- 【解析】
试题分析：（1）先由AE=EC 、BE=ED 可判定四边形为平行四边形，再根据∠AEB=90°可判定该平行四边形为菱形；
（2）连接OF ，过点D 作DP ,AB P E EQ AB ⊥⊥于过点作于Q ，分别求出扇形BOE 、△AOE、半圆O 的面积，即可得出答案. 试题解析：（1）
AE =EC ，BE =ED
∴ABCD 四边形为平行四边形 ∵90AB AEB ∠∴=︒是直径 ∴ABCD 平行四边形是菱形
（2）连接OF ，过点D 作DP ,AB P E EQ AB ⊥⊥于过点作于Q
CF 切O 于点F
∴90OFC ∠=︒ ∵ABCD 四边形是菱形，
∴,90CD AB BOF OFD DPO ∠∠∠∴===︒ ∴FOPD DP OF ∴=四边形是矩形
ABCD 四边形是菱形，AB AD ∴=
∵11
,3022
OF AB DP AD DAB ∠=
∴=∴=︒ ∴ABCD 四边形是菱形
∴1
152
CAB DAB ∠=∠=︒ ∴180215150AOE ∠=︒-⨯︒=︒ ∴3090EOB EQO ∠∠=︒=︒
∴1
12
EQ OE =
= 21502360
S 阴影
π⨯∴=
-1
521123π⨯⨯=- 点睛：本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键．
4．如图1，四边形ABCD 中，
、
为它的对角线，E 为AB 边上一动点（点E 不与点
A 、
B 重合），EF ∥A
C 交BC 于点F ，FG ∥B
D 交DC 于点G ，GH ∥AC 交AD 于点H ，连接H
E ．记四边形EFGH 的周长为，如果在点的运动过程中，的值不变，则我们称四边形ABCD 为“四边形”， 此时的值称为它的“值”．经过探究，可得矩形是“四边形”．如图2，矩形ABCD 中，若AB=4，BC=3，则它的“值”为 ．
（1）等腰梯形（填“是”或“不是”）“四边形”；
（2）如图3，是⊙O的直径，A是⊙O上一点，，点为上的一动点，将△沿的中垂线翻折，得到△．当点运动到某一位置时，以、、、、、中的任意四个点为顶点的“四边形”最多，最多有个．
【答案】“值”为10；（1）是；（2）最多有5个．
【解析】
试题分析：仔细分析题中“四边形”的定义结合矩形的性质求解即可；
（1）根据题中“四边形”的定义结合等腰梯形的性质即可作出判断；
（2）根据题中“四边形”的定义结合中垂线的性质、圆的基本性质即可作出判断.
矩形ABCD中，若AB=4，BC=3，则它的“值”为10；
（1）等腰梯形是“四边形”；
（2）由题意得当点运动到某一位置时，以、、、、、中的任意四个点为顶点的“四边形”最多，最多有5个.
考点：动点问题的综合题
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．
5．如图，点A在直线l上，点Q沿着直线l以3厘米/秒的速度由点A向右运动，以AQ为
边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，tan∠ABQ= 3
4
，点C在点Q右侧，CQ=1厘米，过点C作直
线m⊥l，过△ABQ的外接圆圆心O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上
取点F，使DF=1
3
CD，以DE、DF为邻边作矩形DEGF．设运动时间为t秒．
（1）直接用含t的代数式表示BQ、DF；
（2）当0＜t＜1时，求矩形DEGF的最大面积；
（3）点Q在整个运动过程中，当矩形DEGF为正方形时，求t的值．
【答案】（1）BQ=5t，DF=2
3
t;（2）
1
6
;（3）t的值为
3
5
或3．
【解析】
试题分析：（1）AB与OD交于点H ，根据题中的比例关系和勾股定理可表示出BQ的长；根据垂直于同一条直线的两直线平行和三角形的中位线定理可求得AH的长，再根据矩形的判定定理和矩形的性质可求CD的长，即可表示出FD；
（2）根据题意表示出矩形的长和宽，然后构造二次函数，通过二次函数的最值可求解；
（3）当矩形为正方形时，分别让其长与宽相等，列方程求解即可. 试题解析：（1）5t BQ =，2
DF=
t 3
； （2）DE=OD-OE=32t+1-52t=1-t ，()2
2211
·t 13326
S DF DE t t ⎛⎫==-=--+ ⎪⎝⎭，∴当t=
12时，矩形DEGF 的最大面积为
1
6
； （3）当矩形DEGF 为正方形时，221133t t t t -=
-=或,解得3
35
t t ==或.
6．我们把“有两条边和其中一边的对角对应相等的两个三角形”叫做“同族三角形”，如图1，在△ABC 和△ABD 中，AB=AB ，AC=AD ，∠B=∠B ，则△ABC 和△ABD 是“同族三角形”．
（1）如图2，四边形ABCD 内接于圆，点C 是弧BD 的中点，求证：△ABC 和△ACD 是同族三角形；
（2）如图3，△ABC 内接于⊙O ，⊙O 的半径为32AB=6，∠BAC=30°，求AC 的长； （3）如图3，在（2）的条件下，若点D 在⊙O 上，△ADC 与△ABC 是非全等的同族三角形，AD ＞CD ，求
AD
CD
的值． 【答案】（1）详见解析；（2）3；（3）AD CD 62
+62
【解析】 【分析】
(1）由点C 是弧BD 的中点，根据弧与弦的关系，易得BC=CD ，∠BAC=∠DAC ，又由公共边AC ，可证得：△ABC 和△ACD 是同族三角形；
(2）首先连接0A ，OB ，作点B 作BE ⊥AC 于点E ，易得△AOB 是等腰直角三角形，继而求得答案；
(3)分别从当CD=CB 时与当CD=AB 时进行分析求解即可求得答案． 【详解】
（1）证明：∵点C 是弧BD 的中点，即BC CD =， ∴BC=CD ，∠BAC=∠DAC ， ∵AC=AC ，
∴△ABC 和△ACD 是同族三角形.
（2）解：如图1，连接OA ，OB ，作点B 作BE ⊥AC 于点E ，
∵OA=OB=32，AB=6， ∴OA 2+OB 2=AB 2，
∴△AOB 是等腰直角三角形，且∠AOB=90°， ∴∠C=∠AOB=45°， ∵∠BAC=30°， ∴BE=AB=3， ∴AE=
22AB BE -=33，
∵CE=BE=3， ∴AC=AE+CE=33+3.
（3）解：∵∠B=180°﹣∠BAC ﹣∠ACB=180°﹣30°﹣45°=105°， ∴∠ADC=180°﹣∠B=75°，
如图2，当CD=CB 时，∠DAC=∠BAC=30°，
∴∠ACD=75°，
∴AD=AC=33+3，CD=BC=2BE=32， ∴
AD 333CD 32
+=
=62
+； 如图3，当CD=AB 时，过点D 作DF ⊥AC ，交AC 于点F ，
则∠DAC=∠ACB=45°，
∴∠ACD=180°﹣∠DAC ﹣∠ADC=60°，
∴DF=CD•sin60°=6×
3
2
=33， ∴AD=2DF=36， ∴
AD 36CD =
=62
． 综上所述：AD CD =62
2+或62
. 【点睛】
本题考查圆的综合应用问题，综合运用弧与弦的关系，等腰三角形的性质结合图形作辅助线进行分析证明以及求解，难度较大.
7．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 为直径，AC 和BD 交于点E ，AB ＝BC ． （1）求∠ADB 的度数；
（2）过B 作AD 的平行线，交AC 于F ，试判断线段EA ，CF ，EF 之间满足的等量关系，并说明理由；
（3）在（2）条件下过E ，F 分别作AB ，BC 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接GH ，交BO 于M ，若AG ＝3，S 四边形AGMO ：S 四边形CHMO ＝8：9，求⊙O 的半径．
【答案】（1）45°；（2）EA 2+CF 2＝EF 2，理由见解析；（3）2 【解析】 【分析】
（1）由直径所对的圆周角为直角及等腰三角形的性质和互余关系可得答案； （2）线段EA ，CF ，EF 之间满足的等量关系为：EA 2+CF 2=EF 2．如图2，设∠ABE=α，∠CBF=β，先证明α+β=45°，再过B 作BN ⊥BE ，使BN=BE ，连接NC ，判定△AEB ≌△CNB （SAS ）、△BFE ≌△BFN （SAS ），然后在Rt △NFC 中，由勾股定理得：CF 2+CN 2=NF 2，将相关线段代入即可得出结论；
（3）如图3，延长GE ，HF 交于K ，由（2）知EA 2+CF 2=EF 2，变形推得S △ABC =S 矩形BGKH ，S △BGM =S 四边形COMH ，S △BMH =S 四边形AGMO ，结合已知条件S 四边形AGMO ：S 四边形CHMO =8：9，设BG=9k ，BH=8k ，则CH=3+k ，求得AE 的长，用含k 的式子表示出CF 和EF ，将它们代入EA 2+CF 2=EF 2，解得k 的值，则可求得答案． 【详解】
解：（1）如图1，
∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB+∠BAC＝90°，
∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∴∠ADB＝∠ACB＝45°；
（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下：如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，
∵AD∥BF，
∴∠EBF＝∠ADB＝45°，
又∠ABC＝90°，
∴α+β＝45°，
过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，
∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，
∴△AEB≌△CNB（SAS），
∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，
∴∠FCN＝90°．
∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，
∴△BFE≌△BFN（SAS），
∴EF＝FN，
∵在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，
∴EA2+CF2＝EF2；
（3）如图3，延长GE，HF交于K，
由（2）知EA 2+CF 2＝EF 2，
∴12EA 2+12CF 2＝12
EF 2， ∴S △AGE +S △CFH ＝S △EFK ，
∴S △AGE +S △CFH +S 五边形BGEFH ＝S △EFK +S 五边形BGEFH ，
即S △ABC ＝S 矩形BGKH ，
∴12S △ABC ＝12
S 矩形BGKH ， ∴S △GBH ＝S △ABO ＝S △CBO ，
∴S △BGM ＝S 四边形COMH ，S △BMH ＝S 四边形AGMO ，
∵S 四边形AGMO ：S 四边形CHMO ＝8：9，
∴S △BMH ：S △BGM ＝8：9，
∵BM 平分∠GBH ，
∴BG ：BH ＝9：8，
设BG ＝9k ，BH ＝8k ，
∴CH ＝3+k ，
∵AG ＝3，
∴AE ＝2，
∴CF 2（k+3），EF 2（8k ﹣3），
∵EA 2+CF 2＝EF 2， ∴222(32)2(3)]2(83)]k k ++=-，
整理得：7k 2﹣6k ﹣1＝0，
解得：k 1＝﹣
17（舍去），k 2＝1． ∴AB ＝12，
∴AO ＝22
AB ＝2， ∴⊙O 的半径为2．
【点睛】
本题属于圆的综合题，考查了圆的相关性质及定理、全等三角形的判定与性质、多边形的面积公式、勾股定理及解一元二次方程等知识点，熟练运用相关性质及定理是解题的关键．
8．已知ABD △内接于圆O ，点C 为弧BD 上一点，连接BC AC AC 、，交BD 于点E ，CED ABC ∠=∠．
（1）如图1，求证：弧AB =弧AD ；
（2）如图2，过B 作BF AC ⊥于点F ，交圆O 点G ，连接AG 交BD 于点H ，且222EH BE DH =+，求CAG ∠的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，圆O 上一点M 与点C 关于BD 对称，连接ME ，交AB 于点N ，点P 为弧AD 上一点，PQ BG ∥交AD 于点Q ，交BD 的延长线于点R ，AQ BN =，ANE 的周长为20，52DR =，求圆O 半径．
【答案】（1）见解析；（2）∠CAG=45°；（3）r=62
【解析】
【分析】
（1）证∠ABD=∠ACB 可得；
（2）如下图，△AHD 绕点A 旋转至△ALE 处，使得点D 与点B 重合，证△ALE ≌△AHE ，利用勾股定理逆定理推导角度；
（3）如下图，延长QR 交AB 于点T ，分别过点N 、Q 作BD 的垂线，交于点V ，I ，取QU=AE ，过点U 作UK 垂直BD.先证△AEN ≌△QUD ，再证△NVE ≌△RKU ，可得到NV=KR=DK ，进而求得OB 的长.
【详解】
（1）∵∠CED 是△BEC 的外角，∴∠CED=∠EBC+∠BCA
∵∠ABC=∠ABD+∠EBC
又∵∠CED=∠ABC
∴∠ABD=∠ACB
∴弧AB=弧AD
（2）如下图，△AHD 绕点A 旋转至△ALE 处，使得点D 与点B 重合
∵△ALB 是△AHD 旋转所得
∴∠ABL=∠ADB ，AL=AH
设∠CAG=a，则∠CBG=a
∵BG⊥AC
∴∠BCA=90°-a，∴∠ADB=∠ABD=90°-a
∴在△BAD中，BAE+∠HAD=180-a-(90°-a)-(90°-a)=a
∴∠LAE=∠EAH=a
∵LA=AH，AE=AE
∴△ALE≌△AHE，∴LE=EH
∵HD=LB，222
EH BE DH
=+
∴△LBE为直角三角形
∴∠LBE=(90°-a)+(90°-a)=90°，解得：a=45°
∴∠CAG=45°
（3）如下图，延长QR交AB于点T，分别过点N、Q作BD的垂线，交于点V，I，取QU=AE，过点U作UK垂直BD
由（2）得∠BAD=90°
∴点O在BD上
设∠R=n，则∠SER=∠BEC=∠MEB=90°-n
∴∠AEN=2n
∵SQ⊥AC
∴∠TAS=∠AQS=∠DQR，AN=QD
∵QU=AE
∴△AEN≌△QUD
∴∠QUD=∠AEN=2n
∴UD=UR=NE，
∵△ANE的周长为20
∴QD+QR=20
在△DQR中，QD=7
∵∠ENR=∠UDK=∠R=n
∴△NVE≌△RKU
∴NV=KR=DK=
2 2
∴BN=5
∴BD=122，OB=62r =
【点睛】
本题考查了圆的证明，涉及到全等、旋转和勾股定理，解题关键是结合图形特点，适当构造全等三角形
9．已知AB 是O 的一条弦，点C 在O 上，联结CO 并延长，交弦AB 于点D ，且CD CB =．
（1）如图1，如果BO 平分ABC ∠，求证：AB BC =； （2）如图2，如果AO OB ⊥，求:AD DB 的值；
（3）延长线段AO 交弦BC 于点E ，如果EOB ∆是等腰三角形，且O 的半径长等于2，求弦BC 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
33
（351和22【解析】
【分析】
（1）由题意利用弦心距即可求证结果，
（2）此题关键先求出AO ，做辅助线构造特殊三角形，并求证出∠AOD ，再根据平行线分线段成比例求出比值即可，
（3）分情况讨论两种情况：OE=BE 时或OB=BE 时两种情况，利用三角形相似即
△COE ~△CBO 找到相似比，利用相似比求解即可．
【详解】
（1）过点O作OP⊥AB，垂足为点P；OQ⊥BC，垂足为点Q，∵BO平分∠ABC，
∴OP=OQ，
∵OP，OQ分别是弦AB、BC 的弦心距，
∴AB= BC；
（2）∵OA=OB，
∴∠A=∠OBD，
∵CD=CB，
∴∠CDB =∠CBD，
∴∠A+∠AOD =∠CBO +∠OBD，
∴∠AOD =∠CBO，
∵OC=OB，
∴∠C =∠CBO，
∴∠DOB =∠C +∠CBO = 2∠CBO = 2∠AOD，
∵AO⊥OB，
∴∠ AOB =∠AOD +∠BOD =3∠AOD = 90°，
∴∠AOD=30°，
过点D作DH⊥AO，垂足为点H，
∴∠AHD=∠DHO=90°，
∴tan∠AOD =HD
OH
3
∵∠AHD=∠AOB=90°，∴HD‖OB，
∴
D
A OB
H AH
O
=，
∵OA=OB，∴HD=AH，∵HD‖OB，
∴
3
AH HD
OH O
AH
DB H
===；
（3）∵∠C=∠CBO ，
∴∠OEB =∠C+∠COE >∠CBO ，
∴OE≠OB ；
若OB = EB =2时，
∵∠C=∠C ，∠COE =∠AOD =∠CBO ，
∴△COE ~△CBO ， ∴
CO CE BC CO =， ∴222
BC BC =-， ∴2BC -2BC -4=0，
∴BC =舍去)或，
∴；
若OE = EB 时，
∵∠EOB =∠CBO ，
∵∠OEB =∠C+∠COE =2∠C =2∠CBO 且∠OEB +∠CBO +∠EOB = 180°，
∴4∠CBO=180°，∠CBO=45°，
∴∠OEB=90°，
∴cos ∠CBO=
EB OB =， ∵OB=2，
∴ ，
∵OE 过圆心，OE ⊥BC ，
∴．
【点睛】
此题考查圆的相关知识：圆心距及圆内三角形相似的相关知识，属于综合题型，难度较高．
10．AB 是O 直径，,C D 分别是上下半圆上一点，且弧BC =弧BD ，连接,AC BC ，连接CD 交AB 于E ，
（1）如图(1)求证：90AEC ∠=︒；
（2）如图(2)F 是弧AD 一点，点,M N 分别是弧AC 和弧FD 的中点，连接FD ，连接MN 分别交AC ，FD 于,P Q 两点，求证：MPC NQD ∠=∠
（3）如图(3)在(2)问条件下，MN 交AB 于G ，交BF 于L ，过点G 作GH MN ⊥交AF 于H ，连接BH ，若,6,BG HF AG ABH ==∆的面积等于8，求线段MN 的长度
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2410MN =
． 【解析】
【分析】
（1）由垂径定理即可证明； （2）利用等弧所对的圆周角相等和三角形外角性质即可得到结论；
（3）由∠MPC=∠NQD 可得：∠BGL=∠BLG ，BL=BG ，作BR ⊥MN ，GT ⊥AF ，HK ⊥AB ，证明：GH 平分∠AGT ，利用相似三角形性质和角平分线性质求得△AGT 三边关系，再求出HK 与GH ，OS ⊥MN ，再利用相似三角形性质求出OS ，利用勾股定理求MN 即可．
【详解】
解：()1证明：∵BC BD =，AB 为直径，
∴AB ⊥CD
∴∠AEC=90°；
()2连接,OM ON ，
∵点M 是弧AC 的中点，点N 是弧DF 的中点，
∴AM CM =，FN DN =，
∴,OM AC ON FD ⊥⊥，
∵OM=ON ，
∴M N ∠=∠，
∵90M MPC N NQB ∠+∠=∠+∠=︒，
MPC NQD ∴∠=∠；
()3如图3，过G 作GT ⊥AF 于T ，过H 作HK ⊥AB 于K ，过B 作BR ⊥MN 于R ，过O 作OS ⊥MN 于S ，连接OM ，设BG=m ，
∵△ABH 的面积等于8，AG=6 ∴HK=166
m +， ∵BC BD =，
∴∠BAC=∠BFD ，由（2）得∠MPC=∠NQD
∴∠AGM=∠FLN
∴∠BGL=∠BLG
∴BL=BG ，
∵BR ⊥MN
∴∠ABR=∠FBR
∵GH ⊥MN
∴GH ∥BR
∴∠AGH=∠ABR
∵AB 是直径，GT ⊥AF
∴∠AFB=∠ATG=90°
∴GT ∥BF ，
又∵GH ∥BR
∴∠TGH=∠FBR
∴∠AGH=∠TGH ，
又∵HK ⊥AG ，HT ⊥GT ， ∴HT=HK=166
m +， ∵FH=BG=m ， ∴FT=16(8)(2)66m m m m m +--
=++， ∵GT ∥BF ， ∴AT AG FT BG
=， ∴6(8)(2)(6)m m AT m m +-=+，616m AH m -=，48(6)(38)m KG TG m m ==+-， ∵222AT TG AG +=，
代入解得：m=4；
∴AB=10，OM=5，GK=24
5
，HK=
8
5
，OG=1
∴GH=
5
，
∵OS⊥MN
∴∠OSG=∠GKH=90°，GH∥OS ∴∠HGK=∠GOS
∴△HGK∽△GOS，
∴OS GK OG GH
=，
∴OS=
∴MG=
∴MN=
【点睛】
本题考查了圆的性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形判定和性质，勾股定理等，综合性较强，尤其是第（3）问难度很大，计算量大，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，运用数形结合的思想进行解题．。