广东省韶关市2021届新高考数学考前模拟卷(3)含解析

广东省韶关市2021届新高考数学考前模拟卷（3）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知纯虚数z 满足()122i z ai -=+，其中i 为虚数单位，则实数a 等于（ ） A ．1- B ．1
C ．2-
D ．2
【答案】B 【解析】 【分析】
先根据复数的除法表示出z ，然后根据z 是纯虚数求解出对应的a 的值即可. 【详解】
因为()122i z ai -=+，所以()()()()()21222421212125
ai i a a i
ai z i i i ++-+++===--+， 又因为z 是纯虚数，所以220a -=，所以1a =. 故选：B. 【点睛】
本题考查复数的除法运算以及根据复数是纯虚数求解参数值，难度较易.若复数z a bi =+为纯虚数，则有
0,0a b =≠.
2．若集合M ＝{1，3}，N ＝{1，3，5}，则满足M ∪X ＝N 的集合X 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】D 【解析】
X 可以是{}{}{}{}5,1,5,3,5,1,3,5共4个，选D.
3．已知不重合的平面,,αβγ 和直线l ，则“//αβ ”的充分不必要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．l α⊥ 且l β⊥
C ．αγ⊥ 且γβ⊥
D ．α内的任何直线都与β平行
【答案】B 【解析】 【分析】
根据充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案. 【详解】
A. α内有无数条直线与β平行，则,αβ相交或//αβ，排除；
B. l α⊥ 且l β⊥，故//αβ，当//αβ，不能得到l α⊥ 且l β⊥，满足；
C. αγ⊥ 且γβ⊥，//αβ，则,αβ相交或//αβ，排除；
D. α内的任何直线都与β平行，故//αβ，若//αβ，则α内的任何直线都与β平行，充要条件，排除. 故选：B . 【点睛】
本题考查了充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的综合应用能力. 4．设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6322S S -=，则2
82
3a a 的最小值为
A ．8
B ．16
C ．24
D ．36
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
方法一：由题意得636332()2S S S S S -=--=，根据等差数列的性质，得96633,,S S S S S --成等差数列，设3(0)S x x =>，则632S S x -=+，964S S x -=+，则
222288789962212333(3)()()=3a a a a a S S a a a a a S ++-==++2(4)x x
+
=168816x x =++≥=，当且仅当4x =时等号成立，从而282
3a a 的最小值为16，故选B ．
方法二：设正项等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的前n 项和公式及6322S S -=，化简可得
11653262(3)222a d a d ⨯⨯+
-+=，即2
9
d =
，则222
2822222243()33(6)163383a a a d a a a a a ++===++≥816=，当且仅当221633a a =，即243a =时等号成立，从而282
3a a 的最小值为16，故选B ．
5．甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去、、A B C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为 （ ） A ．8 B ．7
C ．6
D ．5
【答案】B 【解析】
根据题意满足条件的安排为：A （甲，乙）B （丙）C （丁）；A （甲，乙）B （丁）C （丙）；A （甲，丙）
B（丁）C（乙）；A（甲，丁）B（丙）C（乙）；A（甲）B（丙，丁）C（乙）；A（甲）B（丁）C（乙，丙）；A（甲）B（丙）C（丁，乙）；共7种，选B.
6．已知S n为等比数列{a n}的前n项和，a5＝16，a3a4＝﹣32，则S8＝（）
A．﹣21 B．﹣24 C．85 D．﹣85
【答案】D
【解析】
【分析】
由等比数列的性质求得a1q4＝16，a12q5＝﹣32，通过解该方程求得它们的值，求首项和公比，根据等比数列的前n项和公式解答即可.
【详解】
设等比数列{a n}的公比为q，
∵a5＝16，a3a4＝﹣32，
∴a1q4＝16，a12q5＝﹣32，
∴q＝﹣2，则
11
a=，
则
8
8
1[1(2)]
85
12
S
⨯--
==-
+
，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查等比数列的前n项和，根据等比数列建立条件关系求出公比是解决本题的关键，属于基础题. 7．某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的外接球表面积为( )
A．12πB．16π
C．24πD．48π
【答案】A
【解析】
【分析】
由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，结合直观图判断外接球球心的位置，求出半径，代入求得表面积公式计算．
【详解】
由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，高为2， 底面为等腰直角三角形，斜边长为22，如图：
ABC ∆∴的外接圆的圆心为斜边AC 的中点D ，OD AC ⊥，且OD ⊂平面SAC ，
2SA AC ==Q ，
SC ∴的中点O 为外接球的球心，
∴半径3R =
∴外接球表面积4312S ππ=⨯=．
故选：A 【点睛】
本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，根据三视图判断几何体的结构特征，利用几何体的结构特征与数据求得外接球的半径是解答本题的关键． 8．已知复数z 满足
1
1i z
=+，则z 的值为（ ） A ．
12
B ．2
C ．
22
D ．2
【答案】C 【解析】 【分析】
由复数的除法运算整理已知求得复数z ，进而求得其模. 【详解】
因为21111111122i i z i z i i -=+⇒===-+-，所以22
112222z ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
故选：C 【点睛】
本题考查复数的除法运算与求复数的模，属于基础题.
9．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，AB DA ⊥，1AB AD ==，2BC =
现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PA AC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）
A ．8π
B ．6π
C ．4π
D ．
82
3
π 【答案】C 【解析】 【分析】
由题意可得PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥，因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥.由此推出三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点，进而算出2CP =，外接球半径为1，得出结果. 【详解】
解：由DA AB ⊥，翻折后得到PA AB ⊥，又PA AC ⊥， 则PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥．
又因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥， 因此三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点．
计算可知2CP =，则外接球半径为1，从而外接球表面积为4π．
故选：C. 【点睛】
本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识，属于中档题． 10．已知函数()1x
f x xe
-=，若对于任意的0(0,]x e ∈，函数()2
0()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内
都有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1,]e B ．2(,]e e e
-
C ．22(,]e e e e
-
+ D ．2
(1,]e e
-
【答案】D 【解析】 【分析】
将原题等价转化为方程()2
0ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根，先求导()'f x ，可判断
()0,1x ∈时，
()0f x '>，()f x 是增函数；
当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤，再令2
()ln 1F x x x ax =-++，求导得
221
()x ax F x x
'
--=-
，结合韦达定理可知，要满足题意，只能是存在零点1x ，使得()0F x '=在()0,e 有解，通过导数可判断当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数；当()1,x x e ∈时()0F x '<，
()F x 在()1,x e 上是减函数；则应满足()()1max 1F x F x =>，再结合211210x ax --=，构造函数()2ln 1m x x x =+-，求导即可求解；
【详解】
函数()2
0()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，
等价于方程()2
0ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根.
111()(1)x x x f x e xe x e '---=-=-，所以当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数；
当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤.
设2
()ln 1F x x x ax =-++，2121()2x ax F x x a x x
'
--=-+=-，
若()0F x '=在()0,e 无解，则()F x 在(0,]e 上是单调函数，不合题意；所以()0F x '=在()0,e 有解，且易知只能有一个解.
设其解为1x ，当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数； 当()1,x x e ∈时()0F x '<，()F x 在()1,x e 上是减函数.
因为0(0,]x e ∀∈，方程()2
0ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内有两个不同的根，
所以()()1max 1F x F x =>，且()0F e ≤.由()0F e ≤，即2ln 10e e ae -++≤，解得2a e e
≤-
. 由()()1max 1F x F x =>，即2111ln 11x x ax -++>，所以2
111ln 0x x ax -+>.
因为2
11210x ax --=，所以11
12a x x =-
，代入2111ln 0x x ax -+>，得2
11ln 10x x +->. 设()2
ln 1m x x x =+-，()1
20m x x x
'=
+>，所以()m x 在()0,e 上是增函数， 而()1ln1110m =+-=，由2
11ln 10x x +->可得()()11m x m >，得11x e <<.
由1112a x x =-
在()1,e 上是增函数，得112a e e
<<-.
综上所述21a e e
<≤-， 故选：D. 【点睛】
本题考查由函数零点个数求解参数取值范围问题，构造函数法，导数法研究函数增减性与最值关系，转化与化归能力，属于难题
11．如图是计算
11111
++++246810
值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )
A ．5k ≥
B ．5k <
C ．5k >
D ．6k ≤ 【答案】B 【解析】 【分析】
根据计算结果，可知该循环结构循环了5次；输出S 前循环体的n 的值为12，k 的值为6，进而可得判断框内的不等式． 【详解】
因为该程序图是计算11111
246810
++++值的一个程序框圈 所以共循环了5次
所以输出S 前循环体的n 的值为12，k 的值为6， 即判断框内的不等式应为6k ≥或5k > 所以选C 【点睛】
本题考查了程序框图的简单应用，根据结果填写判断框，属于基础题．
12．已知抛物线2:4C y x =和点(2,0)D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于另一点E ．给出以下判断：
①以BE 为直径的圆与抛物线准线相离； ②直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-；
③设过点A ，B ，E 的圆的圆心坐标为(,)a b ，半径为r ，则224a r -=． 其中，所有正确判断的序号是（ ） A ．①② B ．①③
C ．②③
D ．①②③
【答案】D 【解析】 【分析】
对于①，利用抛物线的定义，利用12||||||
222
d d BF EF BE d R ++=
=>=可判断； 对于②，设直线DE 的方程为2x my =+，与抛物线联立，用坐标表示直线OB 与直线OE 的斜率乘积，即可判断；
对于③，将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，18A y y =，从而，2A y y =-，利用韦达定理可得
2
4
2
||164832BE m m =++，再由2
22||||2BE r MN ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，可用m 表示2
r ，线段BE 的中垂线与x 轴的
交点（即圆心N ）横坐标为224m +，可得a ，即可判断. 【详解】
如图，设F 为抛物线C 的焦点，以线段BE 为直径的圆为M ，则圆心M 为线段BE 的中点．
设B ，E 到准线的距离分别为1d ，2d ，M e 的半径为R ，点M 到准线的距离为d ， 显然B ，E ，F 三点不共线， 则12||||||
222
d d BF EF BE d R ++=
=>=．所以①正确． 由题意可设直线DE 的方程为2x my =+， 代入抛物线C 的方程，有2
480y my --=． 设点B ，E 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，
则124y y m +=，128y y =-．
所以()()()2
1212121222244x x my my m y y m y y =++=+++=．
则直线OB 与直线OE 的斜率乘积为
12
12
2y y x x =-．所以②正确． 将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，18A y y =，从而，2A y y =-．根据抛物线的对称性可知，
A ，E 两点关于x 轴对称，所以过点A ，
B ，E 的圆的圆心N 在x 轴上．
由上，有124y y m +=，2
1244x x m +=+，
则()()22
24212121212||44164832BE x x x x y y y y m m =+-++-=++．
所以，线段BE 的中垂线与x 轴的交点（即圆心N ）横坐标为224m +，所以224a m =+．
于是，222
22242
1212||||244128222BE x x y y r MN m m m ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭，
代入2
1244x x m +=+，124y y m +=，得24241612r m m =++，
所以()()2
2224
224416124a r m m
m -=+-++=．
所以③正确． 故选：D 【点睛】
本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．某种产品的质量指标值Z 服从正态分布2
(,)N μσ，且(33)P Z μσμσ-<<+0.9974=．某用户购买
了10000件这种产品，则这10000件产品中质量指标值位于区间(3,3)μσμσ-+之外的产品件数为_________． 【答案】26 【解析】 【分析】
直接计算()100001(33)P Z μσμσ⨯--<<+，可得结果. 【详解】
由题可知：(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=
则质量指标值位于区间(3,3)μσμσ-+之外的产品件数：
()100001(33)100000.002626P Z μσμσ⨯--<<+=⨯=
故答案为：26 【点睛】
本题考查正太分布中3σ原则，审清题意，简单计算，属基础题.
14．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()211n n n S a n a -+=+，且25a =.若2
n
n S m >，则实数m 的取值范围为________. 【答案】(2,)+∞ 【解析】 【分析】
根据递推公式，以及,n n a S 之间的关系，即可容易求得,n n a S ，再根据数列2
n
n S 的单调性，求得其最大值，则参数的范围可求. 【详解】
当2n =时，()2222121S a a -+=+，解得28S =.所以13a =. 因为()211n n n S a n a -+=+， 则()11121(1)1n n n S a n a +++-+=++，
两式相减，可得112(2)(1)1n n n a n a n a ++=+-++， 即1(1)10n n na n a +-++=，
则21(1)(2)10n n n a n a +++-++=.两式相减， 可得2120n n n a a a ++-+=.
所以数列{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，
所以21n a n =+，则2222n n n
S n n
+=. 令2n n n S b =，则2
1132
n n n n b b ++--=. 当2n ≥时，10n n b b +-<，数列{}n b 单调递减， 而13
2b =
，22b =，3158
b =， 故2m >，即实数m 的取值范围为(2,)+∞. 故答案为：(2,)+∞.。