上海市金山中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题

绝密★启用前
上海市金山中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学试
题
试卷副标题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题)
请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题
1．用数学归纳法证明：“()22
1
*111,1n n
n a a a a
a n N a
++-+++
+=≠∈-”，在验证1n =成立时，左边计算所得结果是（ ）
A ．1
B ．1a +
C ．21a a ++
D ．231a a a +++
2．设函数sin 2()y x x R =∈的图象分别向左平移m (m >0)个单位，向右平移n (n >0>个单位，所得到的两个图象都与函数sin(2)6
y x π
=+的图象重合m n +的最小值为（ ） A ．
23
π
B ．
56
π C ．π D ．43
π
3．已知函数()()arctan 1f x x =-,若存在12,[,]x x a b ∈，且12<x x ，使12()()f x f x ≥成立，则以下对实数,a b 的推述正确的是（ ） A ．<1a
B ．1a ≥
C ．1b ≤
D ．1b ≥
4．已知数列{}n a 是各项均为正数且公比不等于1的等比数列.对于函数()y f x =，若数列{}ln ()n f a 为等差数列，则称函数()f x 为“保比差数列函数”.现有定义在(0,)+∞上的如下函数：①1()f x x
=
； ②2
()f x x =； ③()e x f x =；④()f x =“保比差数列函数”的所有序号为（ ）
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
5．在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为_ ．
6．在数列{n a}中，12
a=，13
n
n
a
a
+=则
3
a=____.
7．已知角α的终边上一点P的坐标为(3,4)(>0)
t t t
-，则2sin cos
αα
+=____. 8．在△ABC中，若222
sin sin<sin C
A B
+，则△ABC的形状是____.
9．若
4
sin()
5
πα
+=-，其中α是第二象限角，则cos(2)
πα
-=____.
10．设sin2sin,(,)
2
π
αααπ
=-∈,则tan(2)
πα
-的值是____.
11．已知{n a}是等差数列，n S是它的前n项和，且8
3
7
5
a
a
=，则15
5
S
S
=____.
12．函数sin cos
22
x x
y=+在(2,2)
ππ
-内的单调递增区间为____.
13．数列{}n a中，若11
a=，()
1
1
2
n n n
a a n N*
+
+=∈，则()
122
lim
n
n
a a a
→∞
+++= ______；
14．数列{}n a的前n项和为n S，已知11
5
a=，且对任意正整数,m n，都有
+
=⋅
m n m n
a a a，若n S t<恒成立，则实数t的最小值为________.
15．数列{n a}的前n项和为n S，若1cos()
2
n
n
a n n N
π
*
=+∈，则{
n
a}的前2019项和2019
S=____.
16．已知数列{n a}满足1211
1,>,2()
n
n n
a a a a a n N*
+
=-=∈，若数列{
2n
a}单调递增，
数列{21
n
a
-
}单调递减，数列{n a}的通项公式为____.
三、解答题
17．已知等差数列{}n a中，17
a=-，
3
15
S=-．
（1）求数列{}n a的通项公式；
（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ． 18．已知函数2()sin 22sin f x x x =-. (1)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间：
(2)求函数()f x 在区间[0,2]π上的最大值及()f x 取最大值时x 的集合. 19．已知数列{n a }的首项1133
,()521
n n n a a a n N a *+=
=∈+. (1)求证：数列11n a ⎧⎫
-⎨⎬⎩⎭
为等比数列；
(2)记12111
...n n
S a a a =
+++，若<100n S ，求最大正整数n . 20．设等比数列{n a }的首项为1
2a =，公比为q (q 为正整数),且满足33a 是18a 与5a 的等差中项；数列{n b }满足2
3
2()0(,)2
n n n t
b n b t R n N *-++=∈∈. (1)求数列{n a }的通项公式;
(2)试确定t 的值，使得数列{n b }为等差数列：
(3)当{n b }为等差数列时，对每个正整数是k ，在k a 与1k a +之间插入k b 个2,得到一个新数列{n C }，设n T 是数列{n C }的前n 项和，试求满足13m m T c +=的所有正整数m . 21．已知函数(),y f x x R =∈的值域为A ，2())1g x x x θ=-+. (1)当()sin()f x x φ=+的为偶函数时，求φ的值； (2) 当()sin(2)63
f x x x π
π
=+++时, ()g x 在A 上是单调递增函数，求θ的取值范围；
(3)当1122()sin()sin()...sin()n n f x a x a x a x φφφφφφ=++++++时，（其中
1,>0,i 1,2,3,...n)a R φ∈=)，若22
(0)(
02f f π
ω+≠，且函数()f x 的图象关于点(,0)2
π对称，在x π=处取 得最小值，试探讨ω应该满足的条件.
参考答案
1．C 【解析】 【分析】
根据1n =，给等式左边赋值，由此得出正确选项. 【详解】
当1n =时，左边为11211a a a a +++=++，故选C. 【点睛】
本小题主要考查数学归纳法的理解，考查阅读与理解能力，属于基础题. 2．C 【解析】 【分析】
求出函数sin 2()y x x R =∈的图象分别向左平移(0)m m >个单位，向右平移(0)n n >个单位后的函数解析式，再根据其图象与函数sin(2)6
y x π
=+的图象重合，可分别得关于m ，n 的方程，解之即可． 【详解】
解：将函数sin 2()y x x R =∈的图象向左平移(0)m m >个单位，得函数
sin 2()sin(22)y x m x m =+=+，
其图象与sin(2)6
y x π
=+
的图象重合， sin(22)sin(2)6x m x π∴+=+，226m k ππ∴=+，k z ∈，故12
m k π
π=+，k z ∈，
()k ∈Z ， 当0k =时，m 取得最小值为
12
π
．
将函数sin 2()y x x R =∈的图象向右平移(0)n n >个单位，得到函数
sin 2()sin(22)y x n x n =-=-，
其图象与sin(2)6
y x π
=+
的图象重合， sin(22)sin(2)6x n x π∴-=+，226
n k π
π∴-=+，k z ∈，
故12
n k π
π=-
-，k z ∈，当1k =-时，n 取得最小值为
1112
π
， m n ∴+的最小值为π，
故答案为：C ． 【点睛】
本题主要考查诱导公式，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题． 3．A 【解析】 【分析】
先根据()arctan f x x =的图象性质，推得函数()|arctan(1)|f x x =-的单调区间，再依据条件分析求解． 【详解】 解：
()arctan f x x =是把()arctan f x x =的图象中x 轴下方的部分对称到x 轴上方，
∴函数在(,0)-∞上递减；在(0,)+∞上递增．
函数()|arctan(1)|f x x =-的图象可由()arctan f x x =的图象向右平移1个单位而得，
∴在(-∞，1]上递减，在[1，)+∞上递增，
若存在1x ，2[x a ∈，]b ，12x x <，使12()()f x f x …
成立，1a ∴< 故选：A ． 【点睛】
本题考查单调函数的性质、反正切函数的图象性质及函数的图象的平移．()f x a +图象可由()f x 的图象向左(0)a >、向右(0)a <平移||a 个单位得到，属于基础题.
4．C 【解析】 【详解】
①()()111111
ln ln ln ln ln ln n n n n n n a f a f a a a a q ----=-==，()1f x x
∴=为“保比差数列函数” ；
②()()22
111
ln ln ln ln 2ln
2ln n
n n n n n a f a f a a a q a ----=-==，()2f x x ∴=为“保比差数列函数” ；
③()()1
11ln ln ln ln ln n n n n a
a a a n n f a f a e e
e -----=-=不是定值，()x
f x e ∴=不是“保比差
数列函数” ；
④()(
)1ln ln n n f a f a --==111
ln ln 22
n n a q a -=，(
)f x ∴=是“保比差数列函数”，故选C.
考点：等差数列的判定及对数运算公式
点评：数列{}n a ，若有1n n a a --是定值常数，则{}n a 是等差数列 5．2 【解析】
试题分析：由题意可得：．
考点：扇形的面积公式． 6．18 【解析】 【分析】
直接利用等比数列的通项公式得答案． 【详解】
解：在等比数列{}n a 中，由12a =，公比1
3n n
a q a +==，得22312318a a q ==⨯=． 故答案为：18． 【点睛】
本题考查等比数列的通项公式，是基础题． 7．1- 【解析】 【分析】
由已知先求=r=5t OP ，再由三角函数的定义可得sin ,αcos α即可得解．
【详解】
解：由题意可得点P 到原点的距离5r t ==
0t >，5r t ∴=，
由三角函数的定义可得，4sin 5y r α==-，3cos 5
x r α==， 此时2sin cos 1αα+=-； 故答案为：1-． 【点睛】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 8．钝角三角形 【解析】 【分析】
由222sin sin sin A B C +<，结合正弦定理可得，222a b c +<，由余弦定理可得
222
cos 2a b c C ab
+-=
可判断C 的取值范围 【详解】 解：
222sin sin sin A B C +<，
由正弦定理可得，222a b c +<
由余弦定理可得222
cos 02a b c C ab +-=<
∴
2
C π
π<<
ABC ∆∴是钝角三角形
故答案为：钝角三角形． 【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合应用在三角形的形状判断中的应用，属于基础题 9．3
5
-
【解析】 【分析】
首先要用诱导公式得到角的正弦值，根据角是第二象限的角得到角的余弦值，再用诱导公式即可得到结果． 【详解】
解：4sin()5a π+=-4
sin 5
α∴-=-
4sin 5
α∴=，又α是第二象限角故3
cos 5α=-，
3
cos(2)cos 5
a πα∴-==-
故答案为：3
5
-． 【点睛】
本题考查同角的三角函数的关系，本题解题的关键是诱导公式的应用，熟练应用诱导公式是解决三角函数问题的必备技能，属于基础题．
10【解析】 【分析】
根据二倍角公式得出tan α=，再根据诱导公式即可得解。

【详解】
解：由题意知：sin 22sin cos sin αααα==-
(,)2
π
απ∈sin 0α∴≠
故2cos 1α=-，
∴1
cos 2α=-即sin α=
tan α=()
tan 2tan παα∴-=-=
【点睛】
本题考查了二倍角公式和诱导公式的应用，属于基础题。

11．
215
【解析】 【分析】
根据等差数列的性质得15815S a =⨯，535S a =⨯由此得解. 【详解】
解：由题意可知，()
1158
158********
2
a a a S a +⨯=
=
=⨯；同理535S a =⨯。

故
15885331521355
S a a S a a === . 故答案为：21
5
【点睛】
本题考查了等差数列的性质，属于基础题. 12．3,22ππ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭ 【解析】 【分析】
将函数进行化简为24x y π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，求出其单调增区间再结合()2,2ππ-，可得结论.
【详解】
解：sin
cos sin cos cos sin 22242424x x x x x y πππ⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎭⎝⎭
， 递增区间为：222
242
x k k π
ππ
ππ-<
+<+， 可得322424
x k k ππ
ππ-
<<+ 34422
k x k ππππ∴-
<<+， 在[]2,2ππ-范围内单调递增区间为3,22ππ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭。

故答案为：3,22ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查了正弦函数的单调区间，属于基础题。

13．
23
【解析】 【分析】
先分组求和得122n a a a +++，再根据极限定义得结果.
【详解】 因为121
2a a +=
，34312a a +=，……，2122112
n n n a a --+=， 所以12211
12124113414n
n n a a a -+++==-- 则()1222
lim 3
n n a a a →∞+++=. 【点睛】
本题考查分组求和法、等比数列求和、以及数列极限，考查基本求解能力. 14．
1
4
【解析】
令1m =，可得{}11
,5n n n a a a +=
∴是首项为15，公比为15
的等比数列，所以1115511111454
15
n
n n S ⎡⎤⎛⎫
-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=
=-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，14t ≥，实数t 的最小值为14，故答案为14.
15．1009 【解析】 【分析】 根据cos
2
n π
周期性，对2019项进行分类计算，可得结果。

【详解】
解：根据题意，cos
2
n π
()n *∈N 的值以0,1,0,1-为循环周期， 2019122019...S a a a =+++
320192019cos
2cos
3cos
...2019cos
2
2
22
π
π
ππ
=+++++ ()()201720182019201902040608...2017cos 2018cos 2019cos 222πππ⎛
⎫=+-+++-+++++ ⎪
⎝⎭
()20192504020180=+⨯+-+
=1009
故答案为：1009. 【点睛】
本题考查了周期性在数列中的应用，属于中档题。

16．(2)5
3
n -+
【解析】 【分析】
分别求出{2n a }、{21n a -}的通项公式，再统一形式即可得解。

【详解】
解：根据题意，1
212a a -=
212,3a a a >∴=
又
{}21n a -单调递减， {2n a }单调递减增
22211,n n a a a a -<> 212212n n n a a --∴-= …① 2221222n n n a a ----=- …②
①+②,得22
2222n n n a a ---=，2n ≥
故22222224422...n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+-+
242222...2n n a --=++++
(
)1
414314
n --=
+-
252,23
n n +=≥
代入1n =，有23a =成立，2*252,3
n
n a n N +∴=∈
又22
21222
n n n a a ----=- …③ 2322232n n n a a ----= …④
③+④，得23
21232n n n a a ----=-，2n ≥
故21212323311...n n n n a a a a a a a ----=-+++-+
2325122...2n n a --=----+
2152,23
n n --=≥
代入1n =，11a =成立。

21
21523
n n a ---∴=
，*n N ∈ 综上，()*52,3
n
n a n N +-=∈
【点睛】
本题考查了等比数列性质的灵活运用，考查了分类思想和运算能力，属于难题。

17．（1）29n a n =-（2）(8)n S n n =- 【解析】 【分析】
（1）先设等差数列的公差为d ，根据题中条件求出公差，即可得出通项公式； （2）根据前n 项和公式，即可求出结果. 【详解】
（1）依题意，设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为32315S a ==-，所以25a =-，又17a =-， 所以公差2d =，
所以1(1)n a a n d =+-=72(1)29n n -+-=-． （2）由（1）知17a =-，2d =， 所以1(1)2n n n S na d -=+=(1)
72(8)2
n n n n n --+⨯=- 【点睛】
本题主要考查等差数列，熟记等差数列的通项公式与前n 项和公式即可，属于基础题型.
18．（1）T π=, 单调递增区间为3,()88k k k Z ππππ⎡
⎤
-
+∈⎢⎥⎣
⎦
；（21, ()f x 取最大值时，x 的集合为9,88ππ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
. 【解析】 【分析】
（1）对2
()sin 22sin
f x x x =-进行化简转换为正弦函数，可得其最小正周期和递增区间；
（2）根据（1）的结果，可得正弦函数的最大值和此时的x 的集合. 【详解】 解：（1）
()
2()sin 22sin sin 2cos 21sin 2cos cos 2sin 121
444f x x x x x x x x πππ⎫⎛
⎫=-=+-=+-=+-⎪ ⎪⎭⎝
⎭ ∴T π=. 增区间为：2222
4
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
即388
k x k ππππ-
≤≤+ 单调递增区间为3,()88k k k Z ππππ⎡
⎤
-+∈⎢⎥⎣
⎦
（2）当224
2
π
π
π+
=+
x k 时，()f x 1，
此时()8
x k k Z π
π=+
∈，
[0,2]x π∈
∴()f x 取最大值时，x 的集合为9,88ππ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
. 【点睛】
本题考查二倍角公式和辅助角公式以及正弦函数的性质，属于基础题. 19．（1）详见解析；（2）99. 【解析】 【分析】
（1）利用数列递推公式取倒数，变形可得11111(1)3n n a a +-=-，从而可证数列11n a ⎧⎫
-⎨⎬⎩⎭
为等比数列；（2）确定数列的通项，利用等比数列的求和公式求和，即可求最大的正整数n ． 【详解】
解（1）∵112133n n a a +=+，∴111111
11333n n n a a a +⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭
， ∵
1110a -≠，∴()*1
10n
n N a -≠∈ ∴数列11n a ⎧⎫
-⎨⎬⎩⎭为等比数列.
（2）由（1）可求得1
121133n n a -⎛⎫
-=⨯ ⎪
⎝⎭
，∴11213n
n a ⎛⎫
=⨯+ ⎪⎝⎭
.
∴1
21211
1111111332211333313
n n n n
n S n n n a a a +-⎛⎫=++⋯+=+++⋯+=+⋅=+- ⎪⎝⎭-. 因为n S 在*n N ∈上单调递增，又因为99100S <，100100S > ∴max 99n = 【点睛】
本题考查数列递推公式，考查等比数列的证明，考查等比数列的求和公式，属于中档题．
20．（1）2n
n a =；（2）3t =；（3）2m =.
【解析】 【分析】
（1）由已知可求出q 的值，从而可求数列{}n a 的通项公式；
（2）由已知可求2232
n n tn b n -=
-，从而可依次写出1b ，2b ，3b 若数列{}n b 为等差数列，则
有1322b b b +=，从而可确定t 的值；
（3）因为1232c c c ===，44c =，562c c ==，检验知1m =，3，4不合题意，2m =适
合题意．当5m …时，若后添入的数12m c +=则一定不适合题意，从而1m c +必定是数列{}n a 中的某一项，设11m k c a ++=则2210k k k --+=误解，即有5m …
都不合题意．故满足题意的正整数只有2m =． 【详解】
解（1）因为31568a a a =+，所以24
68q q =+，
解得24q =或2
2q =（舍），则2q =
又12a =，所以2n n a =
（2）由()2
3202
n n n t b n b -++=，得2232
n n tn
b n -=-，
所以124b t =-，2164b t =-，3122b t =-， 则由1322b b b +=，得3t =
而当3t =时，2n b n =，由12n n b b +-=（常数）知此时数列{}n b 为等差数列 （3）因为1232c c c ===，易知1m =不合题意，2m =适合题意
当3m ≥时，若后添入的数12m c -=，则一定不适合题意，从而1m c -必是数列{}n a 中的某一项1k a +， 则12()4(12)m k T a a a k =++
++++
+
111222(1)222k k m k k c +++=-++==⋅.
整理得2
21(1)1k
k k k k =+-=+-，等式左边为偶数，等式右边为奇数，所以无解。

综上：符合题意的正整数2m =.
【点睛】
本题主要考察了等差数列与等比数列的综合应用，考察了函数单调性的证明，属于中档题． 21．（1）2,k k Z π
ϕπ=+
∈；（2）1,arctan ,22k k k Z πθππ⎛
⎤∈--∈ ⎥⎝⎦
；（3）
*21,k k N ω=-∈.
【解析】 【分析】
（1）由函数()sin()f x x ϕ=+为偶函数，可得2sin cos 0x ϕ=，故c
o s 0ϕ=，由此可得ϕ
的值．
（2）化简函数())f x x α=
+，求出A ，化简
22()()128tan g x x θθ=-+-，由题意可知：θθ的取
值范围．
（3）由条件得(21)42T n ππ-=-，再由*n N ∈，(21)22
n ππ
ω-=，可得21n ω=-．由()f x 的图象关于点(
2
π
，0)对称求得12
x k π
ωϕπ+=+
，可得12
k π
ϕπ=+
．再由()f x 的
图象关于直线x π=成轴对称，所以1sin()1πωϕ+=±，可得2
2
k k π
π
πϕππ++
='+
，
k z '∈，由此求得ω 满足的条件．
【详解】
解：（1）因为函数()sin()f x x ϕ=+为偶函数，所以sin()sin()x x ϕϕ+=-+， 得2sin cos 0x ϕ=对x ∈R 恒成立，即cos 0ϕ=， 所以2
,k k Z π
ϕπ=+
∈.
（2）()sin 2263f x x x ππ⎛⎫
⎛
⎫=+
++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
()
122cos22[x x x ϕ+=+∈，即 [A =，
222())1()128tan g x x x x θθθ=-+=-+-，
由题意可知：θ≤1
tan 2
θ≤-
，
∴1,arctan ,22k k k Z π
θππ⎛⎤
∈-
-∈ ⎥⎝
⎦
. （3）()()()1122()sin sin sin n n f x a x a x a x ωϕωϕωϕ=++++++
()()111222sin cos cos sin sin cos cos sin a x x a x x ωϕωϕωϕωϕ=++++
()sin cos cos sin
n n n a x x ωϕωϕ++ ()()11221122cos cos cos sin sin sin sin cos n n n n a a a x a a a x
ϕϕϕωϕϕϕω=++
+++++
又∵2
2
(0)02f f πω⎛⎫
+≠
⎪⎝⎭
，1122(0)sin sin sin n n f a a a ϕϕϕ=+++，
1122cos cos cos 2n n f a a a πϕϕϕω⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭
，
不妨设1122cos cos cos s n a a a p ϕϕϕ+++=，1122sin sin sin n n a a a q ϕϕϕ+++=，
则()sin cos )f x p x q x x ωωωϕ=+=+，其中22
0p q +≠，
由函数()f x 的图像关于点,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，在x π=处取得最小值得2142k T ππ-=-，
即
21242
k ππ
ω-⋅=，故*21,k k N ω=-∈. 【点睛】
本题主要考查三角函数的奇偶性，单调性和对称性的综合应用，属于中档题．。